电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）
VD = 0.7 V when conducting
放大区
VBE = 0.7 V, IC = β·IB, IE = (β + 1)·IB
固定偏置
IB = (VCC − 0.7)/RB
分压偏置
IB = (VTH − 0.7)/(RTH + (β + 1)RE)
分压器的戴维南等效
VTH = VCC·R2/(R1 + R2), RTH = R1∥R2
集电极回路
VCE = VCC − ICRC − IERE
饱和
IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC, IB ≥ IC(sat)/β

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压
Vo = D·Vin
升压
Vo = Vin/(1 − D)
反相升降压
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
理想功率平衡
VinIin = VoIo
电感纹波
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
电感平均电流
降压 Io；升压和升降压 Io/(1 − D)
输出纹波
降压 ΔIL/(8fC)；升压和升降压 Io·D/(fC)
CCM 边界
降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

  1. 判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
  2. 对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
  3. 求开关导通时的电感电压，再求 ΔIL = VL·D/(L·f)。
  4. 求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔIL/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等
RC​ = 1 kΩβ = 150IC​ = ?RE​ = 470 ΩVCC​ = 15 VR1​ = 47 kΩR2​ = 15 kΩ

一只 β = 150 的 NPN 晶体管由 VCC = 15 V 分压偏置：R₁ = 47 kΩ 接在 VCC 与基极之间，R₂ = 15 kΩ 接在基极与地之间。集电极电阻为 RC = 1 kΩ，发射极电阻为 RE = 470 Ω。取 VBE = 0.7 V，并使用分压器的戴维南等效电路（不忽略基极电流）。 求集电极电流 IC，以 mA 计。

VCC = 15 VR1 = 47 kΩR2 = 15 kΩRC = 1 kΩRE = 470 Ωβ = 150
IC = mA
2.二极管与晶体管困难
RC​ = 1 kΩβ = 150VCC​ = 5 V3.3 VRB​ = ?

一只 β = 150 的 NPN 晶体管控制一个接在 VCC = 5 V 与其集电极之间的 1 kΩ 负载电阻。发射极接地。基极由 3.3 V 逻辑输出经基极电阻 RB 驱动。取 VBE = 0.7 V，VCE(sat) = 0.2 V。 求仍能使晶体管刚好进入饱和的最大基极电阻 RB，以 kΩ 计。

VCC = 5 VRC = 1 kΩβ = 150Vin = 3.3 VVBE = 0.7 VVCE(sat) = 0.2 V
RB = kΩ
3.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = ?R1​ = 22 kΩVin​

选择反馈电阻 Rf，使该同相放大器的电压增益为 2。

R1 = 22 kΩAv = 2
Rf = kΩ
4.运放电路困难
−+Vout​R2​ = 4.7 kΩV1​ = 1.9 VR1​ = 1 kΩV2​ = 0.4 VR3​ = 47 kΩR4​ = 100 kΩ

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。 电阻比不匹配。求输出电压 Vout。

V1 = 1.9 VV2 = 0.4 VR1 = 1 kΩR2 = 4.7 kΩR3 = 47 kΩR4 = 100 kΩ
Vout = V
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​20 Vt = 0R = 15 ΩL100 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 15 ms 时的电流 i。

Vs = 20 VR = 15 ΩL = 100 mHt = 15 ms
i = A
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​9 Vt = 0R = 6.8 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 15 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 15 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 12 V？求 t。

Vs = 9 VR = 6.8 kΩC = 47 µFvC(0) = 15 V
t = ms
7.串并联电阻中等
R1​ = 4 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​6 VR2​10 ΩIR2​AR4​4 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 6 VR1 = 4 ΩR2 = 10 ΩR3 = 2 ΩR4 = 4 Ω
IR2 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 8 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​6 ΩAR4​5 ΩBR6​25 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 24 VR1 = 8 ΩR2 = 6 ΩR3 = 2 ΩR4 = 5 ΩR5 = 8 ΩR6 = 25 Ω
Req = Ω
9.DC-DC 变换器中等
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

某理想 降压 变换器在 100 kHz、L = 150 µH 下把 36 V 变成 18 V。求电感纹波电流的峰峰值 ΔIL。

Vin​ = 36 VVo​ = 18 Vf = 100 kHzL = 150 µH
ΔIL = A
10.DC-DC 变换器困难
+−48 VSL = 150 µHC = ?R+−36 V

某降压变换器在 50 kHz、L = 150 µH 下把 48 V 变成 36 V。求把输出纹波峰峰值限制在 5 mV 的输出电容 C。

Vin​ = 48 VVo​ = 36 Vf = 50 kHzL = 150 µHΔVo = 5 mV
C = µF
11.惠斯通电桥与应变片中等
+−2 V300 Ω300 Ω + ΔR300 Ω300 Ωab+−24.39 mV

某电桥的四个臂均为 300 Ω，由 2 V 供电。当传感器 R₂ 变化时，输出读数为 Vab = 24.39 mV。求 R₂ 的精确变化量 ΔR。

Vs = 2 VR = 300 ΩVab = 24.39 mV
ΔR = Ω
12.惠斯通电桥与应变片困难
+−2.5 V120 Ω120 Ω + ΔR120 Ω120 Ωab+−0.795 mV

某 1/4 桥有一个工作应变片（GF = 2.12），激励电压为 2.5 V。受载时输出读数为 0.795 mV。求应变 ε，单位为 µε。

Vs = 2.5 VGF = 2.12Vo = 0.795 mV
ε = µε
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABCD000111100001111010010312140517060120131150140809111110

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 4, 7, 10, 11, 15) 的最简积之和 (SOP) 形式。它有多少个乘积项 N？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 4, 7, 10, 11, 15)
N =
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
ABCD0001111000011110X00103121405070611211311501408X9111X10

求 F(A, B, C, D) = Σm(2, 4, 11, 12, 13, 15) + d(0, 9, 10) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它包含多少个文字 L？

F(A, B, C, D) = Σm(2, 4, 11, 12, 13, 15) + d(0, 9, 10)
L =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: IC = 5.336 mA

BJT 静态工作点：在放大区，VBE = 0.7 V，IC = β·IB，IE = (β + 1)·IB。用 KVL 由基极回路求 IB，再求 IC，然后由集电极–发射极回路求 VCE。基极的分压器用其戴维南等效电路代替：VTH = VCC·R₂/(R₁ + R₂)，RTH = R₁∥R₂；发射极电阻在基极回路中相当于放大了 (β + 1) 倍。

分压器的戴维南等效

VTH = 15·15/(47 + 15) = 3.629 V
RTH = 47·15/(47 + 15) = 11.37 kΩ

基极电流

沿基极回路列 KVL；发射极电流为 (β + 1)·IB。

IB = (3.629 − 0.7)/(11.37 + 151·0.47) = 35.57 µA

集电极电流

IC = 150·35.57 µA = 5.336 mA
IE = 151·35.57 µA = 5.371 mA

答案

IC = 5.336 mA
2.二极管与晶体管

答案: RB = 81.25 kΩ

BJT 用作开关：要使负载完全导通，晶体管须驱动到饱和，此时 VCE = VCE(sat)，集电极电流由负载决定：IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC。饱和至少需要 IB = IC(sat)/β。若基极电流更小，晶体管仍处于放大区，IC = β·IB。

饱和时的集电极电流

IC(sat) = (5 − 0.2)/1000 = 4.8 mA

最小基极电流

IB(min) = IC(sat)/β = 4.8/150 = 32 µA

基极电阻

RB = (3.3 − 0.7)/IB = 2.6 V/0.032 mA = 81.25 kΩ

答案

RB = 81.25 kΩ

任何更小的基极电阻也能使晶体管饱和；实际中通常选小几倍的电阻。

3.运放电路

答案: Rf = 22 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = Vin，且流过 R₁ 的电流也流过 Rf，所以 Vout = Vin·(1 + Rf/R₁)。

Av = 1 + Rf/R1
Rf = (2 − 1)·22 = 22 kΩ

答案

Rf = 22 kΩ
4.运放电路

答案: Vout = −7.379 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 0.4·100/(47 + 100) = 0.2721 V

叠加两个输入

V₂ = 0 时，V₁ 看到的是反相放大器。V₁ = 0 时，V₊ 被同相增益 1 + R₂/R₁ 放大。

Vout = −(4.7/1)·1.9 + (1 + 4.7/1)·0.2721 = −8.93 + 1.551 = −7.379 V

答案

Vout = −7.379 V
5.RC 和 RL 暂态

答案: i = 1.193 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 100 mH / 15 Ω = 6.667 ms
i(∞) = Vs/R = 20/15 = 1.333 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 1.333·(1 − e−15/6.667) = 1.193 A

答案

i = 1.193 A
6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 221.5 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 15 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 6.8 kΩ · 47 µF = 319.6 ms
vC(t) = 9 + (15 − 9)·e−t/τ

求解时间

12 = 9 + (6)·e−t/τ → e−t/τ = (12 − 9)/(15 − 9) = 0.5
t = τ·ln((15 − 9)/(12 − 9)) = 319.6·ln(2) = 221.5 ms

答案

t = 221.5 ms
7.串并联电阻

答案: IR2 = 0.2903 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 4 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​6 VR2​10 ΩAR4​4 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 2 + 4 = 6 Ω
R2 ∥ 6 = 10·6/(10+6) = 3.75 Ω
Req = R1 + 3.75 = 4 + 3.75 = 7.75 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 6/7.75 = 0.7742 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 0.7742·4 = 2.903 V
IR2 = VA/R2 = 2.903/10 = 0.2903 A

答案

IR2 = 0.2903 A
8.串并联电阻

答案: Req = 11.08 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 8 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​6 ΩAR4​5 ΩBR6​25 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 8 + 25 = 33 Ω
R4 ∥ 33 = 4.342 Ω
R3 + 4.342 = 6.342 Ω
R2 ∥ 6.342 = 3.083 Ω
Req = R1 + 3.083 = 8 + 3.083 = 11.08 Ω

答案

Req = 11.08 Ω
9.DC-DC 变换器

答案: ΔIL = 0.6 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 18/36 = 0.5

导通期间的电感电压

S 导通时，电感连接在 Vin 和 Vo 之间。

VL = 36 − 18 = 18 V

纹波电流

ΔIL = VL·D/(L·f) = 18·0.5/(150·10⁻⁶·100·10³) = 0.6 A

答案

ΔIL = 0.6 A
10.DC-DC 变换器

答案: C = 600 µF

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 36/48 = 0.75

电感纹波电流

ΔIL = (48 − 36)·0.75/(150·10⁻⁶·50·10³) = 1.2 A

电容

C = 1.2/(8·50·10³·5·10⁻³) = 600 µF

答案

C = 600 µF
11.惠斯通电桥与应变片

答案: ΔR = 15 Ω

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

节点电压

Va = 1 + 0.02439 = 1.024 V

解分压公式

R₂ = 300·1.024/(2 − 1.024) = 315 Ω
ΔR = 315 − 300 = 15 Ω

答案

ΔR = 15 Ω
12.惠斯通电桥与应变片

答案: ε = 600 µε

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

解 1/4 桥方程

ε = 4·0.000795/(2.5·2.12) = 0.0006

以微应变表示

ε = 600 µε

答案

ε = 600 µε
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 4

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

ABCD000111100001111010010312140517060120131150140809111110

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

B′CD′
BCD
A′C′D′
ACD

最简 SOP 形式

F = B′CD′ + BCD + A′C′D′ + ACD
N = 4

答案

N = 4

还存在另一种大小相同的圈法；它的项数和文字数相同。

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 8

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

B′CD′, BC′D′, AD, A′C′D′, A′B′D′, AB′C, ABC′
ABCD0001111000011110X00103121405070611211311501408X9111X10

最小覆盖

F = B′CD′ + BC′D′ + AD
L = 8

答案

L = 8

还存在另一种大小相同的圈法；它的项数和文字数相同。

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