电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）: V_D = 0.7 V when conducting
放大区: V_BE = 0.7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
固定偏置: I_B = (V_CC − 0.7)/R_B
分压偏置: I_B = (V_TH − 0.7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
分压器的戴维南等效: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
集电极回路: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
饱和: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压: V_o = D·V_in
升压: V_o = V_in/(1 − D)
反相升降压: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
理想功率平衡: V_inI_in = V_oI_o
电感纹波: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
电感平均电流: 降压 I_o；升压和升降压 I_o/(1 − D)
输出纹波: 降压 ΔI_L/(8fC)；升压和升降压 I_o·D/(fC)
CCM 边界: 降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
求开关导通时的电感电压，再求 ΔI_L = V_L·D/(L·f)。
求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔI_L/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
出量: V_ab = V_a − V_b
平衡: R₁/R₂ = R₃/R₄
滑线电桥: R/R_x = l/(100 − l)
戴维南电阻: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
灵敏系数: ΔR/R = GF·ε
电桥输出: 1/4 桥 V_s·GF·ε/4，半桥 V_s·GF·ε/2，全桥 V_s·GF·ε
小变化，一个臂: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
应力: σ = E·ε

方法

把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
对不平衡电桥，由分压器求出 V_a 和 V_b 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 V_s·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等

一只 β = 80 的 NPN 晶体管由电源 V_CC = 15 V 经基极电阻 R_B = 150 kΩ 偏置。集电极电阻为 R_C = 1 kΩ，发射极接地。取 V_BE = 0.7 V，并假设晶体管工作在放大区。求集电极电流 I_C，以 mA 计。

V_CC = 15 VR_B = 150 kΩR_C = 1 kΩβ = 80V_BE = 0.7 V

I_C = mA

2.二极管与晶体管困难

一个 3.3 V 的齐纳稳压器有一个 150 Ω 的串联电阻。输入可能升到 18 V，负载可能被断开。求齐纳管必须耗散的最大功率 P_Z,max。

V_in,max = 18 VV_Z = 3.3 VR = 150 Ω

P_Z,max = mW

3.运放电路中等

差分放大器使用采用 ±15 V 电源的理想运放，其中 R₃ = R₁，R₄ = R₂。求输出电压 V_out。

V₁ = 1.8 VV₂ = 1 VR₁ = R₃ = 2 kΩR₂ = R₄ = 1 kΩ

V_out = V

4.运放电路困难

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R₁，R_f1），后接一个同相放大器（R₂ 接地，R_f2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。输入为 V_in = 0.15 V。求输出电压 V_out。

R₁ = 1 kΩR_f1 = 1 kΩR₂ = 4.7 kΩR_f2 = 4.7 kΩV_in = 0.15 V

V_out = V

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求电路稳定后电感中储存的能量 W(∞)，以 mJ 表示。

V_s = 12 VR = 47 ΩL = 10 mH

W(∞) = mJ

6.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 5 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 3.16 V 时它必须触发，恰好在开始后 25 ms。已知 R = 1 kΩ，求所需的电容 C。

V_s = 5 VV_th = 3.16 VT = 25 msR = 1 kΩ

C = µF

7.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 12 VR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 8 Ω

I_R1 = A

8.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 10 VR₁ = 3 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 8 Ω

I_R2 = A

9.DC-DC 变换器中等

某理想降压变换器把 24 V 变成 18 V，开关频率为 20 kHz。求把电感纹波电流峰峰值保持在 1.5 A 的电感量 L。

Vin = 24 VVo = 18 Vf = 20 kHzΔI_L = 1.5 A

L = µH

10.DC-DC 变换器困难

某降压变换器在 500 kHz、L = 68 µH 下把 15 V 变成 10.5 V。求把输出纹波峰峰值限制在 50 mV 的输出电容 C。

Vin = 15 VVo = 10.5 Vf = 500 kHzL = 68 µHΔV_o = 50 mV

C = µF

11.惠斯通电桥与应变片中等

一个电阻为 200 Ω 的检流计接在图示电桥的 a 和 b 之间（V_s = 5 V）。求从 a 流向 b 的检流计电流 I_g，单位为 µA。

V_s = 5 VR₁ = 300 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 50 ΩR₄ = 250 ΩR_g = 200 Ω

I_g = µA

12.惠斯通电桥与应变片困难

某 1/4 桥有一个工作应变片（GF = 2），激励电压为 2.5 V。受载时输出读数为 1 mV。求应变 ε，单位为 µε。

V_s = 2.5 VGF = 2V_o = 1 mV

ε = µε

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

把 F = A′B + ABC + A′B′C′ + A′B′ 化简为最简积之和形式。化简后的表达式包含多少个文字 L？

F = A′B + ABC + A′B′C′ + A′B′

L =

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

一个上升沿触发的 JK 触发器从 Q = 0 开始，在 6 个时钟上升沿接收到所示的输入。Q 改变状态的次数 N 是多少？

Q₀ = 0JK

N =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: I_C = 7.627 mA

BJT 静态工作点：在放大区，V_BE = 0.7 V，I_C = β·I_B，I_E = (β + 1)·I_B。用 KVL 由基极回路求 I_B，再求 I_C，然后由集电极–发射极回路求 V_CE。基极的分压器用其戴维南等效电路代替：V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂)，R_TH = R₁∥R₂；发射极电阻在基极回路中相当于放大了 (β + 1) 倍。

基极电流

I_B = (V_CC − V_BE)/R_B = (15 − 0.7)/150 kΩ = 95.33 µA

集电极电流

I_C = β·I_B = 80·95.33 µA = 7.627 mA

答案

I_C = 7.627 mA

验算：V_CE = 7.373 V 远高于 0.2 V，所以晶体管确实工作在放大区。

2.二极管与晶体管

答案: P_Z,max = 323.4 mW

齐纳稳压器：反向偏置的齐纳二极管在电流保持高于最小值 I_Z,min 时维持其电压 V_Z。串联电阻 R 承担输入与输出之间的差值：I_R = (V_in − V_Z)/R。该电流分给负载 I_L = V_Z/R_L 和齐纳管 I_Z = I_R − I_L。按最坏情况设计：最低输入与最大负载时仍须留有 I_Z,min，而最高输入与空载时齐纳管功率最大，P_Z = V_Z·I_Z。

最坏情况的齐纳电流

I_Z = 14.7/150 = 98 mA

齐纳功率

P_Z = 3.3·98 = 323.4 mW

答案

P_Z,max = 323.4 mW

3.运放电路

答案: V_out = −0.4 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入端的电压

R₃ 和 R₄ 流过相同的电流，所以构成分压器；反馈使 V₋ = V₊。

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 1·1/(2 + 1) = 0.3333 V

V₋ = V₊

反相输入端的 KCL

(1.8 − 0.3333)/2 = (0.3333 − V_out)/1

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (1/2)·(1 − 1.8) = −0.4 V

答案

V_out = −0.4 V

4.运放电路

答案: V_out = −0.3 V

各级的增益

A₁ = −R_f1/R₁ = −1/1 = −1

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 4.7/4.7 = 2

逐级计算

V₁ = −1·0.15 = −0.15 V

V_out = 2·(−0.15) = −0.3 V

答案

V_out = −0.3 V

5.RC 和 RL 暂态

答案: W(∞) = 0.3259 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 10 mH / 47 Ω = 0.2128 ms

i(∞) = V_s/R = 12/47 = 0.2553 A

储存的能量

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·10·0.2553² = 0.3259 mJ

答案

W(∞) = 0.3259 mJ

6.RC 和 RL 暂态

答案: C = 25.01 µF

所需的时间常数

3.16 = 5·(1 − e^−25/τ) → τ = 25/ln(5/(5 − 3.16))

τ = 25/0.9997 = 25.01 ms

电容

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

C = τ/R = 25.01/1 = 25.01 µF

答案

C = 25.01 µF

7.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.5245 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 5 + 8 = 13 Ω

R₂ ∥ 13 = 20·13/(20+13) = 7.879 Ω

R_eq = R₁ + 7.879 = 15 + 7.879 = 22.88 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 12/22.88 = 0.5245 A

答案

I_R1 = 0.5245 A

8.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.2806 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 30 + 8 = 38 Ω

R₄ ∥ 38 = 9.12 Ω

R₃ + 9.12 = 34.12 Ω

R₂ ∥ 34.12 = 15.96 Ω

R_eq = R₁ + 15.96 = 3 + 15.96 = 18.96 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/18.96 = 0.5273 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0.5273·3 = 8.418 V

I_R2 = V_A/R₂ = 8.418/30 = 0.2806 A

答案

I_R2 = 0.2806 A

9.DC-DC 变换器

答案: L = 150 µH

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）V_o = D·V_in，升压（boost）V_o = V_in/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|V_o| = V_in·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：V_in·I_in = V_o·I_o。开关导通期间，电感电流上升 ΔI_L = V_L·D·T/L，其中降压变换器的 V_L = V_in − V_o，升压和升降压变换器为 V_in。输出纹波对降压变换器为 ΔV_o = ΔI_L/(8fC)，对升压和升降压变换器为 I_o·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔI_L/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 18/24 = 0.75

电感

L = 6·0.75/(1.5·20·10³) = 150 µH

答案

L = 150 µH

10.DC-DC 变换器

答案: C = 0.4632 µF

占空比

D = 10.5/15 = 0.7

电感纹波电流

ΔI_L = (15 − 10.5)·0.7/(68·10⁻⁶·500·10³) = 0.09265 A

电容

C = 0.09265/(8·500·10³·50·10⁻³) = 0.4632 µF

答案

C = 0.4632 µF

11.惠斯通电桥与应变片

答案: I_g = −15936 µA

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 V_s。左侧分压器 R₁–R₂ 给出 V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂)，右侧分压器 R₃–R₄ 给出 V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)；输出为 V_ab = V_a − V_b。当 R₁/R₂ = R₃/R₄，即 R₁·R₄ = R₂·R₃ 时，电桥平衡（V_ab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄。

戴维南电压

V_th = 5·(10/310 − 250/300) = −4.005 V

戴维南电阻

R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 51.34 Ω

检流计电流

I_g = −4.005/(51.34 + 200) = −15936 µA

答案

I_g = −15936 µA

12.惠斯通电桥与应变片

答案: ε = 800 µε

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 V_o ≈ V_s·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 V_s·GF·ε/2，四个（全桥）给出 V_s·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

解 1/4 桥方程

ε = 4·0.001/(2.5·2) = 0.0008

以微应变表示

ε = 800 µε

答案

ε = 800 µε

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 3

布尔代数：化简表达式的规则有 X + X′ = 1 和 X·X′ = 0、X + X = X、吸收律 X + X·Y = X、合并律 X·Y + X·Y′ = X、X + X′Y = X + Y，以及一致性定理 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z。德摩根律把 (X·Y)′ 变成 X′ + Y′，把 (X + Y)′ 变成 X′·Y′。卡诺图以图形方式应用这些规则：每个由两个相邻格子组成的圈，就是一次使用 XY + XY′ = X。

表达式的最小项

A′B → m(2, 3)

ABC → m(7)

A′B′C′ → m(0)

A′B′ → m(0, 1)

圈组并读出结果

F = BC + A′

数出文字个数

L = 3

答案

L = 3

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的 Q

JK 触发器：00 保持，01 复位 (Q = 0)，10 置位 (Q = 1)，11 翻转。

1: J = 1, K = 1 → Q = 1

2: J = 1, K = 1 → Q = 0

3: J = 1, K = 0 → Q = 1

4: J = 1, K = 0 → Q = 1

5: J = 0, K = 0 → Q = 1

6: J = 1, K = 0 → Q = 1

数出变化的次数

0 → 1 → 0 → 1 → 1 → 1 → 1

N = 3

答案

N = 3

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