电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）
VD = 0.7 V when conducting
放大区
VBE = 0.7 V, IC = β·IB, IE = (β + 1)·IB
固定偏置
IB = (VCC − 0.7)/RB
分压偏置
IB = (VTH − 0.7)/(RTH + (β + 1)RE)
分压器的戴维南等效
VTH = VCC·R2/(R1 + R2), RTH = R1∥R2
集电极回路
VCE = VCC − ICRC − IERE
饱和
IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC, IB ≥ IC(sat)/β

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压
Vo = D·Vin
升压
Vo = Vin/(1 − D)
反相升降压
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
理想功率平衡
VinIin = VoIo
电感纹波
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
电感平均电流
降压 Io；升压和升降压 Io/(1 − D)
输出纹波
降压 ΔIL/(8fC)；升压和升降压 Io·D/(fC)
CCM 边界
降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

  1. 判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
  2. 对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
  3. 求开关导通时的电感电压，再求 ΔIL = VL·D/(L·f)。
  4. 求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔIL/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等
+−12 VR = ?5 × 2.2 V10 mA

5 个绿球 LED（每个正向电压 2.2 V）与一个电阻串联，接到 12 V 电源上。求使电流为 10 mA 的电阻 R。

Vs = 12 VVF = 2.2 Vn = 5I = 10 mA
R = Ω
2.二极管与晶体管困难
RC​ = 1 kΩβ = 200IC​ = ?VCC​ = 5 V3.3 VRB​ = 4.7 kΩ

一只 β = 200 的 NPN 晶体管控制一个接在 VCC = 5 V 与其集电极之间的 1 kΩ 负载电阻。发射极接地。基极由 3.3 V 逻辑输出经基极电阻 RB = 4.7 kΩ 驱动。取 VBE = 0.7 V，VCE(sat) = 0.2 V。 求输入为高电平时的集电极电流 IC，以 mA 计。先判断晶体管是否饱和。

VCC = 5 VRC = 1 kΩβ = 200Vin = 3.3 VVBE = 0.7 VVCE(sat) = 0.2 VRB = 4.7 kΩ
IC = mA
3.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = ?R1​ = 47 kΩVin​

选择反馈电阻 Rf，使该同相放大器的电压增益为 3。

R1 = 47 kΩAv = 3
Rf = kΩ
4.运放电路困难
−+Vout​R2​ = 2 kΩV1​ = 1.2 VR1​ = 1 kΩV2​ = 1 VR3​ = 4.7 kΩR4​ = 47 kΩ

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。 电阻比不匹配。求输出电压 Vout。

V1 = 1.2 VV2 = 1 VR1 = 1 kΩR2 = 2 kΩR3 = 4.7 kΩR4 = 47 kΩ
Vout = V
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​10 Vt = 0R = 50 ΩL10 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时的电流 i。

Vs = 10 VR = 50 ΩL = 10 mHt = 1 ms
i = A
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​6 Vt = 0R = 3.3 kΩC22 µF+−vC​vC​(0) = 2 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 2 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 3.6 V？求 t。

Vs = 6 VR = 3.3 kΩC = 22 µFvC(0) = 2 V
t = ms
7.串并联电阻中等
R1​ = 8 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​24 VR2​5 ΩIR2​AR4​4 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 24 VR1 = 8 ΩR2 = 5 ΩR3 = 4 ΩR4 = 4 Ω
IR2 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 12 ΩIR1​R3​ = 15 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAR4​8 ΩBR6​30 Ω

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 30 VR1 = 12 ΩR2 = 8 ΩR3 = 15 ΩR4 = 8 ΩR5 = 25 ΩR6 = 30 Ω
IR1 = A
9.DC-DC 变换器中等
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

某理想反相升降压变换器在 50 kHz、L = 68 µH 下把 15 V 变成 −35 V。求电感纹波电流的峰峰值 ΔIL。

Vin​ = 15 VVo​ = −35 Vf = 50 kHzL = 68 µH
ΔIL = A
10.DC-DC 变换器困难
+−12 VSL = 150 µHC = ?R+−4.8 V

某降压变换器在 100 kHz、L = 150 µH 下把 12 V 变成 4.8 V。求把输出纹波峰峰值限制在 20 mV 的输出电容 C。

Vin​ = 12 VVo​ = 4.8 Vf = 100 kHzL = 150 µHΔVo = 20 mV
C = µF
11.惠斯通电桥与应变片中等
+−15 V350 Ω350 Ω + ΔR350 Ω350 Ωab+−Vab​ = ?

某电桥的四个臂均为 350 Ω，Vs = 15 V。传感器 R₂ 增大了 ΔR = 0.7 Ω。用小变化近似求输出 Vab，单位为 mV。

Vs = 15 VR = 350 ΩΔR = 0.7 Ω
Vab = mV
12.惠斯通电桥与应变片困难
+−2.5 V350 Ω − ΔR350 Ω + ΔR350 Ω + ΔR350 Ω − ΔRab+−Vo​ = ?

某电桥的各臂为 350 Ω，激励电压为 2.5 V，采用 四个工作应变片，两个受拉、两个受压（全桥）。灵敏系数为 2，应变为 400 µε。求电桥输出 Vo，单位为 mV。

Vs = 2.5 VGF = 2ε = 400 µε
Vo = mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABCD000111100001111010110312040517161120131151141809111110

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14, 15) 的最简积之和 (SOP) 形式。它有多少个乘积项 N？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14, 15)
N =
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
FFQ0​Q0​FFQ1​Q1​FFQ2​Q2​FFQ3​Q3​FFQ4​Q4​FFQ5​Q5​CLKMOD-50

模 50 计数器必须依次经过 50 个不同的状态。它至少需要多少个触发器 n？

N = 50
n =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: R = 100 Ω

LED 与二极管电路：正向偏置的 LED 无论电流多大，压降都约为其正向电压 VF（红光约 2 V，蓝光或白光约 3 V）。串联电阻决定电流：n 个 LED 串联时 R = (Vs − n·VF)/I。用更精确的二极管模型 V = V₀ + I·rd 时，工作点在二极管线与负载线 I = (Vs − V)/R 相交处，所以 I = (Vs − V₀)/(R + rd)。

电阻两端的电压

VR = 12 − 5·2.2 = 1 V

电阻

R = 1/0.01 = 100 Ω

答案

R = 100 Ω

电阻耗散 10 mW。

2.二极管与晶体管

答案: IC = 4.8 mA

BJT 用作开关：要使负载完全导通，晶体管须驱动到饱和，此时 VCE = VCE(sat)，集电极电流由负载决定：IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC。饱和至少需要 IB = IC(sat)/β。若基极电流更小，晶体管仍处于放大区，IC = β·IB。

基极电流

IB = (3.3 − 0.7)/4.7 kΩ = 553.2 µA

饱和还是放大？

β·IB 大于 IC(sat)，所以晶体管饱和。

β·IB = 110.6 mA
IC(sat) = (5 − 0.2)/1000 = 4.8 mA

集电极电流

IC = IC(sat) = 4.8 mA

答案

IC = 4.8 mA

晶体管处于饱和状态。

3.运放电路

答案: Rf = 94 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = Vin，且流过 R₁ 的电流也流过 Rf，所以 Vout = Vin·(1 + Rf/R₁)。

Av = 1 + Rf/R1
Rf = (3 − 1)·47 = 94 kΩ

答案

Rf = 94 kΩ
4.运放电路

答案: Vout = 0.3273 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 1·47/(4.7 + 47) = 0.9091 V

叠加两个输入

V₂ = 0 时，V₁ 看到的是反相放大器。V₁ = 0 时，V₊ 被同相增益 1 + R₂/R₁ 放大。

Vout = −(2/1)·1.2 + (1 + 2/1)·0.9091 = −2.4 + 2.727 = 0.3273 V

答案

Vout = 0.3273 V
5.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.1987 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 10 mH / 50 Ω = 0.2 ms
i(∞) = Vs/R = 10/50 = 0.2 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.2·(1 − e−1/0.2) = 0.1987 A

答案

i = 0.1987 A
6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 37.09 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 2 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 3.3 kΩ · 22 µF = 72.6 ms
vC(t) = 6 + (2 − 6)·e−t/τ

求解时间

3.6 = 6 + (−4)·e−t/τ → e−t/τ = (3.6 − 6)/(2 − 6) = 0.6
t = τ·ln((2 − 6)/(3.6 − 6)) = 72.6·ln(1.667) = 37.09 ms

答案

t = 37.09 ms
7.串并联电阻

答案: IR2 = 1.333 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 8 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​24 VR2​5 ΩAR4​4 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 4 + 4 = 8 Ω
R2 ∥ 8 = 5·8/(5+8) = 3.077 Ω
Req = R1 + 3.077 = 8 + 3.077 = 11.08 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 24/11.08 = 2.167 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 2.167·8 = 6.667 V
IR2 = VA/R2 = 6.667/5 = 1.333 A

答案

IR2 = 1.333 A
8.串并联电阻

答案: IR1 = 1.679 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 12 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAR4​8 ΩBR6​30 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 25 + 30 = 55 Ω
R4 ∥ 55 = 6.984 Ω
R3 + 6.984 = 21.98 Ω
R2 ∥ 21.98 = 5.866 Ω
Req = R1 + 5.866 = 12 + 5.866 = 17.87 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 30/17.87 = 1.679 A

答案

IR1 = 1.679 A
9.DC-DC 变换器

答案: ΔIL = 3.088 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 35/(15 + 35) = 0.7

导通期间的电感电压

S 导通时，电感直接跨接在 Vin 两端。

VL = 15 V

纹波电流

ΔIL = VL·D/(L·f) = 15·0.7/(68·10⁻⁶·50·10³) = 3.088 A

答案

ΔIL = 3.088 A
10.DC-DC 变换器

答案: C = 12 µF

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 4.8/12 = 0.4

电感纹波电流

ΔIL = (12 − 4.8)·0.4/(150·10⁻⁶·100·10³) = 0.192 A

电容

C = 0.192/(8·100·10³·20·10⁻³) = 12 µF

答案

C = 12 µF
11.惠斯通电桥与应变片

答案: Vab = 7.5 mV

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

相对变化

ΔR/R = 0.7/350 = 0.002

线性化输出

Vab ≈ 15·0.002/4 = 7.5 mV

答案

Vab = 7.5 mV

精确值为 7.493 mV；只要 ΔR/R 很小，这个近似就很好。

12.惠斯通电桥与应变片

答案: Vo = 2 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

电阻相对变化

ΔR/R = 2·400·10⁻⁶ = 0.0008

电桥输出

Vo = Vs·GF·ε = 2.5·0.0008 = 2 mV

答案

Vo = 2 mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 5

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

ABCD000111100001111010110312040517161120131151141809111110

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

CD′
BC
AD′
AC
A′B′C′

最简 SOP 形式

F = CD′ + BC + AD′ + AC + A′B′C′
N = 5

答案

N = 5

还存在另一种大小相同的圈法；它的项数和文字数相同。

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: n = 6

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

触发器的个数

2ⁿ ≥ 50 → n = 6 (2⁶ = 64)

答案

n = 6

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