电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）: V_D = 0.7 V when conducting
放大区: V_BE = 0.7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
固定偏置: I_B = (V_CC − 0.7)/R_B
分压偏置: I_B = (V_TH − 0.7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
分压器的戴维南等效: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
集电极回路: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
饱和: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压: V_o = D·V_in
升压: V_o = V_in/(1 − D)
反相升降压: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
理想功率平衡: V_inI_in = V_oI_o
电感纹波: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
电感平均电流: 降压 I_o；升压和升降压 I_o/(1 − D)
输出纹波: 降压 ΔI_L/(8fC)；升压和升降压 I_o·D/(fC)
CCM 边界: 降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
求开关导通时的电感电压，再求 ΔI_L = V_L·D/(L·f)。
求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔI_L/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
出量: V_ab = V_a − V_b
平衡: R₁/R₂ = R₃/R₄
滑线电桥: R/R_x = l/(100 − l)
戴维南电阻: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
灵敏系数: ΔR/R = GF·ε
电桥输出: 1/4 桥 V_s·GF·ε/4，半桥 V_s·GF·ε/2，全桥 V_s·GF·ε
小变化，一个臂: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
应力: σ = E·ε

方法

把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
对不平衡电桥，由分压器求出 V_a 和 V_b 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 V_s·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等

2 个白色 LED（每个正向电压 3 V）与一个电阻串联，接到 9 V 电源上。求使电流为 25 mA 的电阻 R。

V_s = 9 VV_F = 3 Vn = 2I = 25 mA

R = Ω

2.二极管与晶体管困难

一个 3.3 V 的齐纳稳压器有一个 680 Ω 的串联电阻。输入可能升到 16 V，负载可能被断开。求齐纳管必须耗散的最大功率 P_Z,max。

V_in,max = 16 VV_Z = 3.3 VR = 680 Ω

P_Z,max = mW

3.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = −0.7 VR₁ = 2 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

4.运放电路困难

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。电阻比不匹配。求输出电压 V_out。

V₁ = 0.1 VV₂ = −0.3 VR₁ = 10 kΩR₂ = 1 kΩR₃ = 1 kΩR₄ = 2 kΩ

V_out = V

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 10 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。

V_s = 20 VR = 5 ΩL = 33 mHt = 10 ms

W = mJ

6.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 30 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 10.8 V？求 t。

V_s = 6 VR = 2.2 kΩC = 100 µFv_C(0) = 30 V

t = ms

7.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 18 VR₁ = 20 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

8.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 25 Ω

I_R2 = A

9.DC-DC 变换器中等

某理想降压变换器把 36 V 变成 25.2 V，开关频率为 40 kHz。求把电感纹波电流峰峰值保持在 0.8 A 的电感量 L。

Vin = 36 VVo = 25.2 Vf = 40 kHzΔI_L = 0.8 A

L = µH

10.DC-DC 变换器困难

某降压变换器在 500 kHz 下把 9 V 变成 3.6 V，负载为 10 Ω，L = 10 µH，C = 220 µF。求输出电压纹波的峰峰值 ΔV_o，单位为 mV。

Vin = 9 VVo = 3.6 Vf = 500 kHzL = 10 µHC = 220 µF

ΔV_o = mV

11.惠斯通电桥与应变片中等

求图示电桥从输出端 a、b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V_s = 2 VR₁ = 10 ΩR₂ = 60 ΩR₃ = 50 ΩR₄ = 1000 Ω

R_th = Ω

12.惠斯通电桥与应变片困难

某称重传感器（应变片全桥）在额定载荷 100 kg 时的额定输出为 2 mV/V。激励电压为 10 V。求它在 60 kg 载荷下的输出 V_o。

2 mV/VF_rated = 100 kgV_s = 10 VF = 60 kg

V_o = mV

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(2, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15) 的最简积之和 (SOP) 形式。它总共包含多少个文字 L（带撇的变量算一个文字）？

F(A, B, C, D) = Σm(2, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15)

L =

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

对于 F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 8, 12, 14, 15) + d(2, 10)（其中 d 表示无关项），求必要质蕴涵项的个数 N。

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 8, 12, 14, 15) + d(2, 10)

N =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: R = 120 Ω

LED 与二极管电路：正向偏置的 LED 无论电流多大，压降都约为其正向电压 V_F（红光约 2 V，蓝光或白光约 3 V）。串联电阻决定电流：n 个 LED 串联时 R = (V_s − n·V_F)/I。用更精确的二极管模型 V = V₀ + I·r_d 时，工作点在二极管线与负载线 I = (V_s − V)/R 相交处，所以 I = (V_s − V₀)/(R + r_d)。

电阻两端的电压

V_R = 9 − 2·3 = 3 V

电阻

R = 3/0.025 = 120 Ω

答案

R = 120 Ω

电阻耗散 75 mW。

2.二极管与晶体管

答案: P_Z,max = 61.63 mW

齐纳稳压器：反向偏置的齐纳二极管在电流保持高于最小值 I_Z,min 时维持其电压 V_Z。串联电阻 R 承担输入与输出之间的差值：I_R = (V_in − V_Z)/R。该电流分给负载 I_L = V_Z/R_L 和齐纳管 I_Z = I_R − I_L。按最坏情况设计：最低输入与最大负载时仍须留有 I_Z,min，而最高输入与空载时齐纳管功率最大，P_Z = V_Z·I_Z。

最坏情况的齐纳电流

I_Z = 12.7/680 = 18.68 mA

齐纳功率

P_Z = 3.3·18.68 = 61.63 mW

答案

P_Z,max = 61.63 mW

3.运放电路

答案: V_out = −8.4 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = −0.7 V

I = V₋/R₁ = −0.7/2 = −0.35 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = −0.7 + (−0.35)·22 = −8.4 V

答案

V_out = −8.4 V

4.运放电路

答案: V_out = −0.23 V

+ 输入端的电压

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = −0.3·2/(1 + 2) = −0.2 V

叠加两个输入

V₂ = 0 时，V₁ 看到的是反相放大器。V₁ = 0 时，V₊ 被同相增益 1 + R₂/R₁ 放大。

V_out = −(1/10)·0.1 + (1 + 1/10)·(−0.2) = −0.01 + (−0.22) = −0.23 V

答案

V_out = −0.23 V

5.RC 和 RL 暂态

答案: W = 160.7 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 33 mH / 5 Ω = 6.6 ms

i(∞) = V_s/R = 20/5 = 4 A

给定时刻的电流

i(t) = 4·(1 − e^−10/6.6) = 3.121 A

储存的能量

W = ½·L·i² = ½·33·3.121² = 160.7 mJ

答案

W = 160.7 mJ

6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 354.1 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 2.2 kΩ · 100 µF = 220 ms

v_C(t) = 6 + (30 − 6)·e^−t/τ

求解时间

10.8 = 6 + (24)·e^−t/τ → e^−t/τ = (10.8 − 6)/(30 − 6) = 0.2

t = τ·ln((30 − 6)/(10.8 − 6)) = 220·ln(5) = 354.1 ms

答案

t = 354.1 ms

7.串并联电阻

答案: R_eq = 23.08 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 4 + 4 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 5·8/(5+8) = 3.077 Ω

R_eq = R₁ + 3.077 = 20 + 3.077 = 23.08 Ω

答案

R_eq = 23.08 Ω

8.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.8385 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 8 + 25 = 33 Ω

R₄ ∥ 33 = 4.342 Ω

R₃ + 4.342 = 12.34 Ω

R₂ ∥ 12.34 = 4.854 Ω

R_eq = R₁ + 4.854 = 6 + 4.854 = 10.85 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/10.85 = 1.382 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 1.382·6 = 6.708 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6.708/8 = 0.8385 A

答案

I_R2 = 0.8385 A

9.DC-DC 变换器

答案: L = 236.3 µH

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）V_o = D·V_in，升压（boost）V_o = V_in/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|V_o| = V_in·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：V_in·I_in = V_o·I_o。开关导通期间，电感电流上升 ΔI_L = V_L·D·T/L，其中降压变换器的 V_L = V_in − V_o，升压和升降压变换器为 V_in。输出纹波对降压变换器为 ΔV_o = ΔI_L/(8fC)，对升压和升降压变换器为 I_o·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔI_L/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 25.2/36 = 0.7

电感

L = 10.8·0.7/(0.8·40·10³) = 236.3 µH

答案

L = 236.3 µH

10.DC-DC 变换器

答案: ΔV_o = 0.4909 mV

占空比

D = 3.6/9 = 0.4

电感纹波电流

ΔI_L = (9 − 3.6)·0.4/(10·10⁻⁶·500·10³) = 0.432 A

输出纹波

ΔV_o = 0.432/(8·500·10³·220·10⁻⁶) = 0.4909 mV

答案

ΔV_o = 0.4909 mV

11.惠斯通电桥与应变片

答案: R_th = 56.19 Ω

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 V_s。左侧分压器 R₁–R₂ 给出 V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂)，右侧分压器 R₃–R₄ 给出 V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)；输出为 V_ab = V_a − V_b。当 R₁/R₂ = R₃/R₄，即 R₁·R₄ = R₂·R₃ 时，电桥平衡（V_ab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄。

电源短路

R₁∥R₂ = 10·60/70 = 8.571 Ω

R₃∥R₄ = 50·1000/1050 = 47.62 Ω

戴维南电阻

R_th = 56.19 Ω

答案

R_th = 56.19 Ω

12.惠斯通电桥与应变片

答案: V_o = 12 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 V_o ≈ V_s·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 V_s·GF·ε/2，四个（全桥）给出 V_s·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

满量程输出

2·10 = 20 mV

该载荷下的输出

V_o = 20·60/100 = 12 mV

答案

V_o = 12 mV

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 14

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

CD′

AD′

AB′C′

ABC

A′BC′D

最简 SOP 形式

F = CD′ + AD′ + AB′C′ + ABC + A′BC′D

L = 14

答案

L = 14

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

B′D′, AD′, A′B′C′, ABC

必要质蕴涵项

AD′, A′B′C′, ABC

N = 3

答案

N = 3

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