电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）
VD = 0.7 V when conducting
放大区
VBE = 0.7 V, IC = β·IB, IE = (β + 1)·IB
固定偏置
IB = (VCC − 0.7)/RB
分压偏置
IB = (VTH − 0.7)/(RTH + (β + 1)RE)
分压器的戴维南等效
VTH = VCC·R2/(R1 + R2), RTH = R1∥R2
集电极回路
VCE = VCC − ICRC − IERE
饱和
IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC, IB ≥ IC(sat)/β

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压
Vo = D·Vin
升压
Vo = Vin/(1 − D)
反相升降压
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
理想功率平衡
VinIin = VoIo
电感纹波
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
电感平均电流
降压 Io；升压和升降压 Io/(1 − D)
输出纹波
降压 ΔIL/(8fC)；升压和升降压 Io·D/(fC)
CCM 边界
降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

  1. 判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
  2. 对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
  3. 求开关导通时的电感电压，再求 ΔIL = VL·D/(L·f)。
  4. 求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔIL/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等
RC​ = 4.7 kΩβ = 120IC​ = ?RE​ = 1 kΩVCC​ = 15 VR1​ = 47 kΩR2​ = 12 kΩ

一只 β = 120 的 NPN 晶体管由 VCC = 15 V 分压偏置：R₁ = 47 kΩ 接在 VCC 与基极之间，R₂ = 12 kΩ 接在基极与地之间。集电极电阻为 RC = 4.7 kΩ，发射极电阻为 RE = 1 kΩ。取 VBE = 0.7 V，并使用分压器的戴维南等效电路（不忽略基极电流）。 求集电极电流 IC，以 mA 计。

VCC = 15 VR1 = 47 kΩR2 = 12 kΩRC = 4.7 kΩRE = 1 kΩβ = 120
IC = mA
2.二极管与晶体管困难
+−≥ 15 VR = ?3.3 V≤ 50 mA

一个 3.3 V 的齐纳稳压器必须向负载提供最多 50 mA。输入可能降到 15 V，齐纳管至少需要 2 mA 才能稳压。求能保持稳压的最大串联电阻 Rmax。

Vin,min = 15 VVZ = 3.3 VIL,max = 50 mAIZ,min = 2 mA
Rmax = Ω
3.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = ?R1​ = 100 kΩVin​

选择反馈电阻 Rf，使该同相放大器的电压增益为 25。

R1 = 100 kΩAv = 25
Rf = kΩ
4.运放电路困难
−+Vout​Rf​ = 2 kΩV1​ = 0.4 VR1​ = 100 kΩV2​ = −1.7 VR2​ = 4.7 kΩ

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。 求输出电压 Vout。

V1 = 0.4 VV2 = −1.7 VR1 = 100 kΩR2 = 4.7 kΩRf = 2 kΩ
Vout = V
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​9 Vt = 0R = 47 ΩL22 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。

Vs = 9 VR = 47 ΩL = 22 mHt = 1 ms
W = mJ
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​12 V在 t = 0 断开R1​ = 1 kΩR2​ = 2.2 kΩC68 µF+−vC​

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。 求 t = 250 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 12 VR1 = 1 kΩR2 = 2.2 kΩC = 68 µFt = 250 ms
vC = V
7.串并联电阻中等
R1​ = 3 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​10 VR2​10 ΩIR2​AR4​20 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 10 VR1 = 3 ΩR2 = 10 ΩR3 = 10 ΩR4 = 20 Ω
IR2 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 8 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​24 VR2​4 ΩAR4​6 ΩBR6​30 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 24 VR1 = 8 ΩR2 = 4 ΩR3 = 12 ΩR4 = 6 ΩR5 = 4 ΩR6 = 30 Ω
Req = Ω
9.DC-DC 变换器中等
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

某理想 降压 变换器在 20 kHz、L = 68 µH 下把 12 V 变成 8.4 V。求电感纹波电流的峰峰值 ΔIL。

Vin​ = 12 VVo​ = 8.4 Vf = 20 kHzL = 68 µH
ΔIL = A
10.DC-DC 变换器困难
+−15 VLSC = 47 µFR = 8 Ω+−25 V

某理想 升压 变换器在 200 kHz 下把 15 V 变成 25 V，负载为 8 Ω。输出电容为 47 µF。求输出电压纹波的峰峰值 ΔVo，单位为 mV。

Vin​ = 15 VVo​ = 25 Vf = 200 kHzC = 47 µFR = 8 Ω
ΔVo = mV
11.惠斯通电桥与应变片中等
+−6 V250 Ω250 Ω + ΔR250 Ω250 Ωab+−Vab​ = ?

某电桥的四个臂均为 250 Ω，Vs = 6 V。传感器 R₂ 增大了 ΔR = 20 Ω。求精确输出 Vab，单位为 mV。

Vs = 6 VR = 250 ΩΔR = 20 Ω
Vab = mV
12.惠斯通电桥与应变片困难
+−10 V120 Ω − ΔR120 Ω + ΔR120 Ω + ΔR120 Ω − ΔRab+−Vo​ = ?

某电桥的各臂为 120 Ω，激励电压为 10 V，采用 四个工作应变片，两个受拉、两个受压（全桥）。灵敏系数为 2，应变为 1500 µε。求电桥输出 Vo，单位为 mV。

Vs = 10 VGF = 2ε = 1500 µε
Vo = mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
MUX0I0​C′I1​0I2​0I3​ABS1​S0​F

一个 4 选 1 多路选择器的选择输入为 S₁ = A 和 S₀ = B，数据输入分别接 I₀ = 0，I₁ = C′，I₂ = 0，I₃ = 0。在 A、B、C 的 8 种组合中，有多少种使输出 F = 1？求 N。

I₀ = 0I₁ = C′I₂ = 0I₃ = 0
N =
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
DQ0​Q0​DQ1​Q1​DQ2​Q2​DQ3​Q3​DQ4​Q4​CLKRING

一个环形计数器由 5 个 D 触发器构成，最后一个输出反馈到第一个输入，并从单个 1 开始。它经历多少种不同的状态 N？

n = 5
N =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: IC = 2.161 mA

BJT 静态工作点：在放大区，VBE = 0.7 V，IC = β·IB，IE = (β + 1)·IB。用 KVL 由基极回路求 IB，再求 IC，然后由集电极–发射极回路求 VCE。基极的分压器用其戴维南等效电路代替：VTH = VCC·R₂/(R₁ + R₂)，RTH = R₁∥R₂；发射极电阻在基极回路中相当于放大了 (β + 1) 倍。

分压器的戴维南等效

VTH = 15·12/(47 + 12) = 3.051 V
RTH = 47·12/(47 + 12) = 9.559 kΩ

基极电流

沿基极回路列 KVL；发射极电流为 (β + 1)·IB。

IB = (3.051 − 0.7)/(9.559 + 121·1) = 18.01 µA

集电极电流

IC = 120·18.01 µA = 2.161 mA
IE = 121·18.01 µA = 2.179 mA

答案

IC = 2.161 mA
2.二极管与晶体管

答案: Rmax = 225 Ω

齐纳稳压器：反向偏置的齐纳二极管在电流保持高于最小值 IZ,min 时维持其电压 VZ。串联电阻 R 承担输入与输出之间的差值：IR = (Vin − VZ)/R。该电流分给负载 IL = VZ/RL 和齐纳管 IZ = IR − IL。按最坏情况设计：最低输入与最大负载时仍须留有 IZ,min，而最高输入与空载时齐纳管功率最大，PZ = VZ·IZ。

最坏情况的电流

IR = 50 + 2 = 52 mA

最大电阻

Rmax = 11.7/0.052 = 225 Ω

答案

Rmax = 225 Ω
3.运放电路

答案: Rf = 2400 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = Vin，且流过 R₁ 的电流也流过 Rf，所以 Vout = Vin·(1 + Rf/R₁)。

Av = 1 + Rf/R1
Rf = (25 − 1)·100 = 2400 kΩ

答案

Rf = 2400 kΩ
4.运放电路

答案: Vout = 0.7154 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I1 = V1/R1 = 0.4/100 = 0.004 mA
I2 = V2/R2 = −1.7/4.7 = −0.3617 mA
If = I1 + I2 = −0.3577 mA

输出电压

Vout = −Rf·If = −2·(−0.3577) = 0.7154 V

答案

Vout = 0.7154 V
5.RC 和 RL 暂态

答案: W = 0.3137 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 22 mH / 47 Ω = 0.4681 ms
i(∞) = Vs/R = 9/47 = 0.1915 A

给定时刻的电流

i(t) = 0.1915·(1 − e−1/0.4681) = 0.1689 A

储存的能量

W = ½·L·i² = ½·22·0.1689² = 0.3137 mJ

答案

W = 0.3137 mJ
6.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 1.551 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

vC(0) = 12·2.2/(1 + 2.2) = 8.25 V

开关断开后的时间常数

τ = R2·C = 2.2·68 = 149.6 ms

放电

vC(t) = 8.25·e−250/149.6 = 1.551 V

答案

vC = 1.551 V
7.串并联电阻

答案: IR2 = 0.7143 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 3 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​10 VR2​10 ΩAR4​20 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 10 + 20 = 30 Ω
R2 ∥ 30 = 10·30/(10+30) = 7.5 Ω
Req = R1 + 7.5 = 3 + 7.5 = 10.5 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 10/10.5 = 0.9524 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 0.9524·3 = 7.143 V
IR2 = VA/R2 = 7.143/10 = 0.7143 A

答案

IR2 = 0.7143 A
8.串并联电阻

答案: Req = 11.24 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 8 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​24 VR2​4 ΩAR4​6 ΩBR6​30 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 4 + 30 = 34 Ω
R4 ∥ 34 = 5.1 Ω
R3 + 5.1 = 17.1 Ω
R2 ∥ 17.1 = 3.242 Ω
Req = R1 + 3.242 = 8 + 3.242 = 11.24 Ω

答案

Req = 11.24 Ω
9.DC-DC 变换器

答案: ΔIL = 1.853 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 8.4/12 = 0.7

导通期间的电感电压

S 导通时，电感连接在 Vin 和 Vo 之间。

VL = 12 − 8.4 = 3.6 V

纹波电流

ΔIL = VL·D/(L·f) = 3.6·0.7/(68·10⁻⁶·20·10³) = 1.853 A

答案

ΔIL = 1.853 A
10.DC-DC 变换器

答案: ΔVo = 133 mV

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 1 − 15/25 = 0.4

负载电流

Io = 25/8 = 3.125 A

输出纹波

ΔVo = 3.125·0.4/(200·10³·47·10⁻⁶) = 133 mV

答案

ΔVo = 133 mV
11.惠斯通电桥与应变片

答案: Vab = 115.4 mV

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

节点电压

Va = 6·270/520 = 3.115 V
Vb = 3 V

出量

Vab = 115.4 mV

答案

Vab = 115.4 mV

线性估计 Vs·ΔR/(4R) = 120 mV 偏高 4 %：1/4 桥并不完全是线性的。

12.惠斯通电桥与应变片

答案: Vo = 30 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

电阻相对变化

ΔR/R = 2·1500·10⁻⁶ = 0.003

电桥输出

Vo = Vs·GF·ε = 10·0.003 = 30 mV

答案

Vo = 30 mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 1

多路选择器：2ⁿ 选 1 多路选择器把其数据输入之一传到输出；选择线按二进制数读取，决定选哪一个。对于选择端 S₁S₀ = AB 的 4 选 1 MUX，F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃。把数据输入接到 0、1、C 或 C′，可使 MUX 产生 A、B、C 的任意函数，这是用一块芯片实现逻辑的常用方法。

输出表达式

F = A′BC′

F = 1 的行

ABC = 010
N = 1

答案

N = 1
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 5

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

5 个触发器的序列

10000 → 01000 → 00100 → 00010 → 00001

状态数

N = 5

答案

N = 5

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