电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）
VD = 0.7 V when conducting
放大区
VBE = 0.7 V, IC = β·IB, IE = (β + 1)·IB
固定偏置
IB = (VCC − 0.7)/RB
分压偏置
IB = (VTH − 0.7)/(RTH + (β + 1)RE)
分压器的戴维南等效
VTH = VCC·R2/(R1 + R2), RTH = R1∥R2
集电极回路
VCE = VCC − ICRC − IERE
饱和
IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC, IB ≥ IC(sat)/β

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压
Vo = D·Vin
升压
Vo = Vin/(1 − D)
反相升降压
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
理想功率平衡
VinIin = VoIo
电感纹波
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
电感平均电流
降压 Io；升压和升降压 Io/(1 − D)
输出纹波
降压 ΔIL/(8fC)；升压和升降压 Io·D/(fC)
CCM 边界
降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

  1. 判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
  2. 对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
  3. 求开关导通时的电感电压，再求 ΔIL = VL·D/(L·f)。
  4. 求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔIL/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等
+−24 VR = ?2 × 2.1 V5 mA

2 个黄色 LED（每个正向电压 2.1 V）与一个电阻串联，接到 24 V 电源上。求使电流为 5 mA 的电阻 R。

Vs = 24 VVF = 2.1 Vn = 2I = 5 mA
R = Ω
2.二极管与晶体管困难
+−≤ 24 V100 Ω3.3 V

一个 3.3 V 的齐纳稳压器有一个 100 Ω 的串联电阻。输入可能升到 24 V，负载可能被断开。求齐纳管必须耗散的最大功率 PZ,max。

Vin,max = 24 VVZ = 3.3 VR = 100 Ω
PZ,max = mW
3.运放电路中等
−+Vout​R2​ = 47 kΩV1​ = −2.2 VR1​ = 22 kΩV2​ = 1.8 VR3​ = 22 kΩR4​ = 47 kΩ

差分放大器使用采用 ±15 V 电源的理想运放，其中 R3 = R1，R4 = R2。 求输出电压 Vout。

V1 = −2.2 VV2 = 1.8 VR1 = R3 = 22 kΩR2 = R4 = 47 kΩ
Vout = V
4.运放电路困难
−+Vout​Rf​ = 10 kΩV1​ = 2 VR1​ = 100 kΩV2​ = −1.3 VR2​ = 1 kΩ

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。 求输出电压 Vout。

V1 = 2 VV2 = −1.3 VR1 = 100 kΩR2 = 1 kΩRf = 10 kΩ
Vout = V
5.RC 和 RL 暂态中等
R = 22 Ωt = 0L10 mHi(t)

电感中流过 1.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 电流降到 0.75 A 需要多长时间？求 t。

i(0) = 1.5 AR = 22 ΩL = 10 mH
t = ms
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​10 Vt = 0R = 4.7 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 6 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 6 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 8 V？求 t。

Vs = 10 VR = 4.7 kΩC = 220 µFvC(0) = 6 V
t = ms
7.串并联电阻中等
R1​ = 3 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​9 VR2​10 ΩAR4​12 ΩB

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 9 VR1 = 3 ΩR2 = 10 ΩR3 = 12 ΩR4 = 12 Ω
Req = Ω
8.串并联电阻困难
R1​ = 6 ΩIR1​R3​ = 15 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​9 VR2​20 ΩAR4​25 ΩBR6​12 Ω

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 9 VR1 = 6 ΩR2 = 20 ΩR3 = 15 ΩR4 = 25 ΩR5 = 20 ΩR6 = 12 Ω
IR1 = A
9.DC-DC 变换器中等
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

某理想 降压 变换器在 25 kHz、L = 220 µH 下把 48 V 变成 19.2 V。求电感纹波电流的峰峰值 ΔIL。

Vin​ = 48 VVo​ = 19.2 Vf = 25 kHzL = 220 µH
ΔIL = A
10.DC-DC 变换器困难
tiL​Imax​IL​DTT2T

某理想反相升降压变换器在 100 kHz 下把 15 V 变成 −15 V，负载为 12 Ω。求连续导通所需的最小电感 Lcrit。

Vin​ = 15 VVo​ = −15 Vf = 100 kHzR = 12 Ω
Lcrit = µH
11.惠斯通电桥与应变片中等
+−6 VR1​ = 20 ΩR2​ = 50 ΩR3​ = 40 ΩR4​ = 150 ΩabGRg​ = 200 Ω

一个电阻为 200 Ω 的检流计接在图示电桥的 a 和 b 之间（Vs = 6 V）。求从 a 流向 b 的检流计电流 Ig，单位为 µA。

Vs = 6 VR1 = 20 ΩR2 = 50 ΩR3 = 40 ΩR4 = 150 ΩRg = 200 Ω
Ig = µA
12.惠斯通电桥与应变片困难
+−12 V120 Ω − ΔR120 Ω + ΔR120 Ω + ΔR120 Ω − ΔRab+−Vo​ = ?

某称重传感器（应变片全桥）在额定载荷 50 kg 时的额定输出为 3 mV/V。激励电压为 12 V。求它在 25 kg 载荷下的输出 Vo。

3 mV/VFrated = 50 kgVs = 12 VF = 25 kg
Vo = mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABC00011110011011130214150716

用卡诺图求 F(A, B, C) = Σm(0, 1, 3, 4, 5, 6) 的最简积之和 (SOP) 形式。它总共包含多少个文字 L（带撇的变量算一个文字）？

F(A, B, C) = Σm(0, 1, 3, 4, 5, 6)
L =
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
CLKT123456

一个上升沿触发的 T 触发器从 Q = 0 开始，在 6 个时钟上升沿接收到所示的输入。Q 改变状态的次数 N 是多少？

Q₀ = 0T
N =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: R = 3960 Ω

LED 与二极管电路：正向偏置的 LED 无论电流多大，压降都约为其正向电压 VF（红光约 2 V，蓝光或白光约 3 V）。串联电阻决定电流：n 个 LED 串联时 R = (Vs − n·VF)/I。用更精确的二极管模型 V = V₀ + I·rd 时，工作点在二极管线与负载线 I = (Vs − V)/R 相交处，所以 I = (Vs − V₀)/(R + rd)。

电阻两端的电压

VR = 24 − 2·2.1 = 19.8 V

电阻

R = 19.8/0.005 = 3960 Ω

答案

R = 3960 Ω

电阻耗散 99 mW。

2.二极管与晶体管

答案: PZ,max = 683.1 mW

齐纳稳压器：反向偏置的齐纳二极管在电流保持高于最小值 IZ,min 时维持其电压 VZ。串联电阻 R 承担输入与输出之间的差值：IR = (Vin − VZ)/R。该电流分给负载 IL = VZ/RL 和齐纳管 IZ = IR − IL。按最坏情况设计：最低输入与最大负载时仍须留有 IZ,min，而最高输入与空载时齐纳管功率最大，PZ = VZ·IZ。

最坏情况的齐纳电流

IZ = 20.7/100 = 207 mA

齐纳功率

PZ = 3.3·207 = 683.1 mW

答案

PZ,max = 683.1 mW
3.运放电路

答案: Vout = 8.545 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入端的电压

R₃ 和 R₄ 流过相同的电流，所以构成分压器；反馈使 V₋ = V₊。

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 1.8·47/(22 + 47) = 1.226 V
V₋ = V₊

反相输入端的 KCL

(−2.2 − 1.226)/22 = (1.226 − Vout)/47
Vout = (R2/R1)·(V2 − V1) = (47/22)·(1.8 − (−2.2)) = 8.545 V

答案

Vout = 8.545 V
4.运放电路

答案: Vout = 12.8 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I1 = V1/R1 = 2/100 = 0.02 mA
I2 = V2/R2 = −1.3/1 = −1.3 mA
If = I1 + I2 = −1.28 mA

输出电压

Vout = −Rf·If = −10·(−1.28) = 12.8 V

答案

Vout = 12.8 V
5.RC 和 RL 暂态

答案: t = 0.3151 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 10 mH / 22 Ω = 0.4545 ms

求解时间

0.75 = 1.5·e−t/τ → t = τ·ln(1.5/0.75)
t = 0.4545·ln(2) = 0.3151 ms

答案

t = 0.3151 ms
6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 716.7 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 6 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 4.7 kΩ · 220 µF = 1034 ms
vC(t) = 10 + (6 − 10)·e−t/τ

求解时间

8 = 10 + (−4)·e−t/τ → e−t/τ = (8 − 10)/(6 − 10) = 0.5
t = τ·ln((6 − 10)/(8 − 10)) = 1034·ln(2) = 716.7 ms

答案

t = 716.7 ms
7.串并联电阻

答案: Req = 10.06 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 3 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​9 VR2​10 ΩAR4​12 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 12 + 12 = 24 Ω
R2 ∥ 24 = 10·24/(10+24) = 7.059 Ω
Req = R1 + 7.059 = 3 + 7.059 = 10.06 Ω

答案

Req = 10.06 Ω
8.串并联电阻

答案: IR1 = 0.5044 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 6 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​9 VR2​20 ΩAR4​25 ΩBR6​12 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 20 + 12 = 32 Ω
R4 ∥ 32 = 14.04 Ω
R3 + 14.04 = 29.04 Ω
R2 ∥ 29.04 = 11.84 Ω
Req = R1 + 11.84 = 6 + 11.84 = 17.84 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 9/17.84 = 0.5044 A

答案

IR1 = 0.5044 A
9.DC-DC 变换器

答案: ΔIL = 2.095 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 19.2/48 = 0.4

导通期间的电感电压

S 导通时，电感连接在 Vin 和 Vo 之间。

VL = 48 − 19.2 = 28.8 V

纹波电流

ΔIL = VL·D/(L·f) = 28.8·0.4/(220·10⁻⁶·25·10³) = 2.095 A

答案

ΔIL = 2.095 A
10.DC-DC 变换器

答案: Lcrit = 15 µH

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 15/(15 + 15) = 0.5

边界条件

令电感平均电流等于纹波电流的一半，解出 L。

Lcrit = (1 − D)²·R/(2f)

临界电感

Lcrit = (1 − 0.5)²·12/(2100·10³) = 15 µH

答案

Lcrit = 15 µH
11.惠斯通电桥与应变片

答案: Ig = −1835 µA

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

戴维南电压

Vth = 6·(50/70 − 150/190) = −0.4511 V

戴维南电阻

Rth = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 45.86 Ω

检流计电流

Ig = −0.4511/(45.86 + 200) = −1835 µA

答案

Ig = −1835 µA
12.惠斯通电桥与应变片

答案: Vo = 18 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

满量程输出

3·12 = 36 mV

该载荷下的输出

Vo = 36·25/50 = 18 mV

答案

Vo = 18 mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 5

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

ABC00011110011011130214150716

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

B′
A′C
AC′

最简 SOP 形式

F = B′ + A′C + AC′
L = 5

答案

L = 5
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的 Q

T 触发器在 T = 1 时每个上升沿翻转，在 T = 0 时保持。

1: T = 0 → Q = 0
2: T = 1 → Q = 1
3: T = 1 → Q = 0
4: T = 1 → Q = 1
5: T = 0 → Q = 1
6: T = 0 → Q = 1

数出变化的次数

0 → 0 → 1 → 0 → 1 → 1 → 1
N = 3

答案

N = 3

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