电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）
VD = 0.7 V when conducting
放大区
VBE = 0.7 V, IC = β·IB, IE = (β + 1)·IB
固定偏置
IB = (VCC − 0.7)/RB
分压偏置
IB = (VTH − 0.7)/(RTH + (β + 1)RE)
分压器的戴维南等效
VTH = VCC·R2/(R1 + R2), RTH = R1∥R2
集电极回路
VCE = VCC − ICRC − IERE
饱和
IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC, IB ≥ IC(sat)/β

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压
Vo = D·Vin
升压
Vo = Vin/(1 − D)
反相升降压
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
理想功率平衡
VinIin = VoIo
电感纹波
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
电感平均电流
降压 Io；升压和升降压 Io/(1 − D)
输出纹波
降压 ΔIL/(8fC)；升压和升降压 Io·D/(fC)
CCM 边界
降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

  1. 判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
  2. 对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
  3. 求开关导通时的电感电压，再求 ΔIL = VL·D/(L·f)。
  4. 求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔIL/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等
RC​ = 1 kΩβ = 150VCC​ = 12 VRB​ = 680 kΩ

一只 β = 150 的 NPN 晶体管由电源 VCC = 12 V 经基极电阻 RB = 680 kΩ 偏置。集电极电阻为 RC = 1 kΩ，发射极接地。取 VBE = 0.7 V，并假设晶体管工作在放大区。 求集电极–发射极电压 VCE。

VCC = 12 VRB = 680 kΩRC = 1 kΩβ = 150VBE = 0.7 V
VCE = V
2.二极管与晶体管困难
+−≤ 24 V220 Ω12 V

一个 12 V 的齐纳稳压器有一个 220 Ω 的串联电阻。输入可能升到 24 V，负载可能被断开。求齐纳管必须耗散的最大功率 PZ,max。

Vin,max = 24 VVZ = 12 VR = 220 Ω
PZ,max = mW
3.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = 2 kΩR1​ = 2 kΩVin​ = −1.3 V

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。 求输出电压 Vout。

Vin = −1.3 VR1 = 2 kΩRf = 2 kΩ
Vout = V
4.运放电路困难
Vin​V1​Vout​第 1 级：反相R1​ = 10 kΩRf1​ = 22 kΩ第 2 级：同相R2​ = 100 kΩRf2​ = 22 kΩ

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R1，Rf1），后接一个同相放大器（R2 接地，Rf2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。 输入为 Vin = 0.3 V。求输出电压 Vout。

R1 = 10 kΩRf1 = 22 kΩR2 = 100 kΩRf2 = 22 kΩVin = 0.3 V
Vout = V
5.RC 和 RL 暂态中等
R = 22 Ωt = 0L47 mHi(t)

电感中流过 1.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 求 t = 5 ms 时 R 两端的电压 vR。

i(0) = 1.5 AR = 22 ΩL = 47 mHt = 5 ms
vR = V
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​20 VR1​ = 47 ΩR2​ = 33 Ω在 t = 0 闭合L150 mHi(t)

跨接在 R2 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R2 短路。 求 t = 5 ms 时的电感电流 i。

Vs = 20 VR1 = 47 ΩR2 = 33 ΩL = 150 mHt = 5 ms
i = A
7.串并联电阻中等
R1​ = 10 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​24 VR2​10 ΩIR2​AR4​5 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 24 VR1 = 10 ΩR2 = 10 ΩR3 = 5 ΩR4 = 5 Ω
IR2 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 25 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​9 VR2​8 ΩAR4​10 ΩBR6​10 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 9 VR1 = 25 ΩR2 = 8 ΩR3 = 30 ΩR4 = 10 ΩR5 = 30 ΩR6 = 10 Ω
Req = Ω
9.DC-DC 变换器中等
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

某理想 降压 变换器在 100 kHz、L = 150 µH 下把 48 V 变成 19.2 V。求电感纹波电流的峰峰值 ΔIL。

Vin​ = 48 VVo​ = 19.2 Vf = 100 kHzL = 150 µH
ΔIL = A
10.DC-DC 变换器困难
+−15 VLSC = 470 µFR = 5 Ω+−37.5 V

某理想 升压 变换器在 200 kHz 下把 15 V 变成 37.5 V，负载为 5 Ω。输出电容为 470 µF。求输出电压纹波的峰峰值 ΔVo，单位为 mV。

Vin​ = 15 VVo​ = 37.5 Vf = 200 kHzC = 470 µFR = 5 Ω
ΔVo = mV
11.惠斯通电桥与应变片中等
+−10 V200 Ω200 Ω + ΔR200 Ω200 Ωab+−49.5 mV

某电桥的四个臂均为 200 Ω，由 10 V 供电。当传感器 R₂ 变化时，输出读数为 Vab = 49.5 mV。求 R₂ 的精确变化量 ΔR。

Vs = 10 VR = 200 ΩVab = 49.5 mV
ΔR = Ω
12.惠斯通电桥与应变片困难
+−3 V350 Ω350 Ω + ΔR350 Ω350 Ωab+−0.9 mV

某构件（E = 70 GPa）上的应变片（GF = 2）接成 1/4 桥，激励电压为 3 V。输出读数为 0.9 mV。求轴向应力 σ，单位为 MPa。

Vs = 3 VGF = 2Vo = 0.9 mVE = 70 GPa
σ = MPa
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABCD000111100001111000110312040507161121131150140819111010

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 6, 9, 11, 12, 13, 15) 的最简和之积 (POS) 形式。它有多少个和项（因子）N？

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 6, 9, 11, 12, 13, 15)
N =
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
ABCD000111100001111010111312X4051706012X131151141809X11010

对于 F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 7, 8, 14, 15) + d(4, 11, 13)（其中 d 表示无关项），求必要质蕴涵项的个数 N。

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 7, 8, 14, 15) + d(4, 11, 13)
N =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: VCE = 9.507 V

BJT 静态工作点：在放大区，VBE = 0.7 V，IC = β·IB，IE = (β + 1)·IB。用 KVL 由基极回路求 IB，再求 IC，然后由集电极–发射极回路求 VCE。基极的分压器用其戴维南等效电路代替：VTH = VCC·R₂/(R₁ + R₂)，RTH = R₁∥R₂；发射极电阻在基极回路中相当于放大了 (β + 1) 倍。

基极电流

IB = (VCC − VBE)/RB = (12 − 0.7)/680 kΩ = 16.62 µA

集电极电流

IC = β·IB = 150·16.62 µA = 2.493 mA

集电极–发射极电压

VCE = 12 − 2.493 mA·1 kΩ = 9.507 V

答案

VCE = 9.507 V
2.二极管与晶体管

答案: PZ,max = 654.5 mW

齐纳稳压器：反向偏置的齐纳二极管在电流保持高于最小值 IZ,min 时维持其电压 VZ。串联电阻 R 承担输入与输出之间的差值：IR = (Vin − VZ)/R。该电流分给负载 IL = VZ/RL 和齐纳管 IZ = IR − IL。按最坏情况设计：最低输入与最大负载时仍须留有 IZ,min，而最高输入与空载时齐纳管功率最大，PZ = VZ·IZ。

最坏情况的齐纳电流

IZ = 12/220 = 54.55 mA

齐纳功率

PZ = 12·54.55 = 654.5 mW

答案

PZ,max = 654.5 mW
3.运放电路

答案: Vout = −2.6 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = −1.3 V
I = V₋/R1 = −1.3/2 = −0.65 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 Rf。

Vout = V₋ + I·Rf = −1.3 + (−0.65)·2 = −2.6 V

答案

Vout = −2.6 V
4.运放电路

答案: Vout = −0.8052 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

各级的增益

A1 = −Rf1/R1 = −22/10 = −2.2
A2 = 1 + Rf2/R2 = 1 + 22/100 = 1.22

逐级计算

V1 = −2.2·0.3 = −0.66 V
Vout = 1.22·(−0.66) = −0.8052 V

答案

Vout = −0.8052 V
5.RC 和 RL 暂态

答案: vR = 3.177 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 47 mH / 22 Ω = 2.136 ms

电流的衰减

i(t) = 1.5·e−5/2.136 = 0.1444 A
vR = R·i = 22·0.1444 = 3.177 V

答案

vR = 3.177 V
6.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.3889 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。

i(0) = 20/(47 + 33) = 0.25 A
i(∞) = 20/47 = 0.4255 A
τ = L/R = 150/47 = 3.191 ms
i(t) = 0.4255 + (0.25 − 0.4255)·e−t/τ

给定时刻的电流

i(5) = 0.4255 + (−0.1755)·e−5/3.191 = 0.3889 A

答案

i = 0.3889 A
7.串并联电阻

答案: IR2 = 0.8 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 10 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​24 VR2​10 ΩAR4​5 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 5 + 5 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 10·10/(10+10) = 5 Ω
Req = R1 + 5 = 10 + 5 = 15 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 24/15 = 1.6 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 1.6·10 = 8 V
IR2 = VA/R2 = 8/10 = 0.8 A

答案

IR2 = 0.8 A
8.串并联电阻

答案: Req = 31.61 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 25 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​9 VR2​8 ΩAR4​10 ΩBR6​10 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 30 + 10 = 40 Ω
R4 ∥ 40 = 8 Ω
R3 + 8 = 38 Ω
R2 ∥ 38 = 6.609 Ω
Req = R1 + 6.609 = 25 + 6.609 = 31.61 Ω

答案

Req = 31.61 Ω
9.DC-DC 变换器

答案: ΔIL = 0.768 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 19.2/48 = 0.4

导通期间的电感电压

S 导通时，电感连接在 Vin 和 Vo 之间。

VL = 48 − 19.2 = 28.8 V

纹波电流

ΔIL = VL·D/(L·f) = 28.8·0.4/(150·10⁻⁶·100·10³) = 0.768 A

答案

ΔIL = 0.768 A
10.DC-DC 变换器

答案: ΔVo = 47.87 mV

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 1 − 15/37.5 = 0.6

负载电流

Io = 37.5/5 = 7.5 A

输出纹波

ΔVo = 7.5·0.6/(200·10³·470·10⁻⁶) = 47.87 mV

答案

ΔVo = 47.87 mV
11.惠斯通电桥与应变片

答案: ΔR = 4 Ω

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

节点电压

Va = 5 + 0.0495 = 5.05 V

解分压公式

R₂ = 200·5.05/(10 − 5.05) = 204 Ω
ΔR = 204 − 200 = 4 Ω

答案

ΔR = 4 Ω
12.惠斯通电桥与应变片

答案: σ = 42 MPa

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

应变

ε = 4·0.0009/(3·2) = 0.0006

应力

σ = 70·10³ MPa·0.0006 = 42 MPa

答案

σ = 42 MPa
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 4

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

ABCD000111100001111000110312040507161121131150140819111010

圈 0

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

(B + C + D)
(A + C′ + D′)
(A′ + C′ + D)
(A + B′ + C)

最简 POS 形式

F = (B + C + D)(A + C′ + D′)(A′ + C′ + D)(A + B′ + C)
N = 4

答案

N = 4
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 4

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

CD, B′C′D′, A′C′D′, A′B′, ABD, ABC
ABCD000111100001111010111312X4051706012X131151141809X11010

必要质蕴涵项

CD, B′C′D′, A′B′, ABC
N = 4

答案

N = 4

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