电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）: V_D = 0.7 V when conducting
放大区: V_BE = 0.7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
固定偏置: I_B = (V_CC − 0.7)/R_B
分压偏置: I_B = (V_TH − 0.7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
分压器的戴维南等效: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
集电极回路: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
饱和: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压: V_o = D·V_in
升压: V_o = V_in/(1 − D)
反相升降压: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
理想功率平衡: V_inI_in = V_oI_o
电感纹波: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
电感平均电流: 降压 I_o；升压和升降压 I_o/(1 − D)
输出纹波: 降压 ΔI_L/(8fC)；升压和升降压 I_o·D/(fC)
CCM 边界: 降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
求开关导通时的电感电压，再求 ΔI_L = V_L·D/(L·f)。
求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔI_L/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
出量: V_ab = V_a − V_b
平衡: R₁/R₂ = R₃/R₄
滑线电桥: R/R_x = l/(100 − l)
戴维南电阻: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
灵敏系数: ΔR/R = GF·ε
电桥输出: 1/4 桥 V_s·GF·ε/4，半桥 V_s·GF·ε/2，全桥 V_s·GF·ε
小变化，一个臂: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
应力: σ = E·ε

方法

把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
对不平衡电桥，由分压器求出 V_a 和 V_b 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 V_s·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等

3 个白色 LED（每个正向电压 3 V）与一个电阻串联，接到 12 V 电源上。求使电流为 20 mA 的电阻 R。

V_s = 12 VV_F = 3 Vn = 3I = 20 mA

R = Ω

2.二极管与晶体管困难

一只 β = 200 的 NPN 晶体管控制一个接在 V_CC = 24 V 与其集电极之间的 220 Ω 负载电阻。发射极接地。基极由 5 V 逻辑输出经基极电阻 R_B = 22 kΩ 驱动。取 V_BE = 0.7 V，V_CE(sat) = 0.2 V。求输入为高电平时的集电极电流 I_C，以 mA 计。先判断晶体管是否饱和。

V_CC = 24 VR_C = 220 Ωβ = 200V_in = 5 VV_BE = 0.7 VV_CE(sat) = 0.2 VR_B = 22 kΩ

I_C = mA

3.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = −1.4 VR₁ = 1 kΩR_f = 4.7 kΩ

V_out = V

4.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求流过反馈电阻、流向输出端的电流 I_f。

V₁ = −0.6 VV₂ = −0.3 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 1 kΩR_f = 1 kΩ

I_f = mA

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 15 ms 时的电流 i。

V_s = 20 VR = 15 ΩL = 150 mHt = 15 ms

i = A

6.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 10 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 8.4 V？求 t。

V_s = 6 VR = 3.3 kΩC = 10 µFv_C(0) = 10 V

t = ms

7.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 18 VR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

8.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 4 Ω

R_eq = Ω

9.DC-DC 变换器中等

某理想反相升降压变换器在 20 kHz、L = 220 µH 下把 9 V 变成 −27 V。求电感纹波电流的峰峰值 ΔI_L。

Vin = 9 VVo = −27 Vf = 20 kHzL = 220 µH

ΔI_L = A

10.DC-DC 变换器困难

某降压变换器在 25 kHz、L = 220 µH 下把 48 V 变成 36 V。求把输出纹波峰峰值限制在 50 mV 的输出电容 C。

Vin = 48 VVo = 36 Vf = 25 kHzL = 220 µHΔV_o = 50 mV

C = µF

11.惠斯通电桥与应变片中等

某电桥的四个臂均为 150 Ω，由 15 V 供电。当传感器 R₂ 变化时，输出读数为 V_ab = 357.1 mV。求 R₂ 的精确变化量 ΔR。

V_s = 15 VR = 150 ΩV_ab = 357.1 mV

ΔR = Ω

12.惠斯通电桥与应变片困难

某 1/4 桥（一个工作应变片，GF = 2）的激励电压为 3 V。要测量的最大应变为 800 µε，它在模数转换器输入端必须给出 3.3 V。求放大器增益 G。

V_s = 3 VGF = 2ε_max = 800 µεV_FS = 3.3 V

G =

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 6, 11, 12, 15) 的最简和之积 (POS) 形式。它有多少个和项（因子）N？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 6, 11, 12, 15)

N =

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

一个上升沿触发的 JK 触发器从 Q = 0 开始，在 7 个时钟上升沿接收到所示的输入。Q 改变状态的次数 N 是多少？

Q₀ = 0JK

N =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: R = 150 Ω

LED 与二极管电路：正向偏置的 LED 无论电流多大，压降都约为其正向电压 V_F（红光约 2 V，蓝光或白光约 3 V）。串联电阻决定电流：n 个 LED 串联时 R = (V_s − n·V_F)/I。用更精确的二极管模型 V = V₀ + I·r_d 时，工作点在二极管线与负载线 I = (V_s − V)/R 相交处，所以 I = (V_s − V₀)/(R + r_d)。

电阻两端的电压

V_R = 12 − 3·3 = 3 V

电阻

R = 3/0.02 = 150 Ω

答案

R = 150 Ω

电阻耗散 60 mW。

2.二极管与晶体管

答案: I_C = 39.09 mA

BJT 用作开关：要使负载完全导通，晶体管须驱动到饱和，此时 V_CE = V_CE(sat)，集电极电流由负载决定：I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C。饱和至少需要 I_B = I_C(sat)/β。若基极电流更小，晶体管仍处于放大区，I_C = β·I_B。

基极电流

I_B = (5 − 0.7)/22 kΩ = 195.5 µA

饱和还是放大？

β·I_B 小于 I_C(sat)，所以晶体管仍处于放大区。

β·I_B = 39.09 mA

I_C(sat) = (24 − 0.2)/220 = 108.2 mA

集电极电流

I_C = β·I_B = 39.09 mA

答案

I_C = 39.09 mA

晶体管处于放大区，所以负载没有完全接通。

3.运放电路

答案: V_out = −7.98 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = −1.4 V

I = V₋/R₁ = −1.4/1 = −1.4 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = −1.4 + (−1.4)·4.7 = −7.98 V

答案

V_out = −7.98 V

4.运放电路

答案: I_f = −0.4277 mA

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = −0.6/4.7 = −0.1277 mA

I₂ = V₂/R₂ = −0.3/1 = −0.3 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0.4277 mA

答案

I_f = −0.4277 mA

5.RC 和 RL 暂态

答案: i = 1.036 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 150 mH / 15 Ω = 10 ms

i(∞) = V_s/R = 20/15 = 1.333 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 1.333·(1 − e^−15/10) = 1.036 A

答案

i = 1.036 A

6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 16.86 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 10 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 3.3 kΩ · 10 µF = 33 ms

v_C(t) = 6 + (10 − 6)·e^−t/τ

求解时间

8.4 = 6 + (4)·e^−t/τ → e^−t/τ = (8.4 − 6)/(10 − 6) = 0.6

t = τ·ln((10 − 6)/(8.4 − 6)) = 33·ln(1.667) = 16.86 ms

答案

t = 16.86 ms

7.串并联电阻

答案: R_eq = 15.3 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 15 + 4 = 19 Ω

R₂ ∥ 19 = 4·19/(4+19) = 3.304 Ω

R_eq = R₁ + 3.304 = 12 + 3.304 = 15.3 Ω

答案

R_eq = 15.3 Ω

8.串并联电阻

答案: R_eq = 7.458 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 4 + 4 = 8 Ω

R₄ ∥ 8 = 5.217 Ω

R₃ + 5.217 = 11.22 Ω

R₂ ∥ 11.22 = 3.458 Ω

R_eq = R₁ + 3.458 = 4 + 3.458 = 7.458 Ω

答案

R_eq = 7.458 Ω

9.DC-DC 变换器

答案: ΔI_L = 1.534 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）V_o = D·V_in，升压（boost）V_o = V_in/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|V_o| = V_in·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：V_in·I_in = V_o·I_o。开关导通期间，电感电流上升 ΔI_L = V_L·D·T/L，其中降压变换器的 V_L = V_in − V_o，升压和升降压变换器为 V_in。输出纹波对降压变换器为 ΔV_o = ΔI_L/(8fC)，对升压和升降压变换器为 I_o·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔI_L/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 27/(9 + 27) = 0.75

导通期间的电感电压

S 导通时，电感直接跨接在 V_in 两端。

V_L = 9 V

纹波电流

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 9·0.75/(220·10⁻⁶·20·10³) = 1.534 A

答案

ΔI_L = 1.534 A

10.DC-DC 变换器

答案: C = 163.6 µF

占空比

D = 36/48 = 0.75

电感纹波电流

ΔI_L = (48 − 36)·0.75/(220·10⁻⁶·25·10³) = 1.636 A

电容

C = 1.636/(8·25·10³·50·10⁻³) = 163.6 µF

答案

C = 163.6 µF

11.惠斯通电桥与应变片

答案: ΔR = 15 Ω

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 V_s。左侧分压器 R₁–R₂ 给出 V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂)，右侧分压器 R₃–R₄ 给出 V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)；输出为 V_ab = V_a − V_b。当 R₁/R₂ = R₃/R₄，即 R₁·R₄ = R₂·R₃ 时，电桥平衡（V_ab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄。

节点电压

V_a = 7.5 + 0.3571 = 7.857 V

解分压公式

R₂ = 150·7.857/(15 − 7.857) = 165 Ω

ΔR = 165 − 150 = 15 Ω

答案

ΔR = 15 Ω

12.惠斯通电桥与应变片

答案: G = 2750

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 V_o ≈ V_s·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 V_s·GF·ε/2，四个（全桥）给出 V_s·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

满量程时的电桥输出

V_o = 1.2 mV

增益

G = 3.3/0.0012 = 2750

答案

G = 2750

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 5

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

圈 0

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

(C + D′)

(B + C′ + D)

(A + D′)

(A′ + C′ + D)

(A′ + B + D)

最简 POS 形式

F = (C + D′)(B + C′ + D)(A + D′)(A′ + C′ + D)(A′ + B + D)

N = 5

答案

N = 5

还存在另一种大小相同的圈法；它的项数和文字数相同。

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 4

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的 Q

JK 触发器：00 保持，01 复位 (Q = 0)，10 置位 (Q = 1)，11 翻转。

1: J = 1, K = 0 → Q = 1

2: J = 1, K = 1 → Q = 0

3: J = 1, K = 1 → Q = 1

4: J = 0, K = 0 → Q = 1

5: J = 1, K = 0 → Q = 1

6: J = 1, K = 0 → Q = 1

7: J = 1, K = 1 → Q = 0

数出变化的次数

0 → 1 → 0 → 1 → 1 → 1 → 1 → 0

N = 4

答案

N = 4

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