电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）: V_D = 0.7 V when conducting
放大区: V_BE = 0.7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
固定偏置: I_B = (V_CC − 0.7)/R_B
分压偏置: I_B = (V_TH − 0.7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
分压器的戴维南等效: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
集电极回路: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
饱和: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压: V_o = D·V_in
升压: V_o = V_in/(1 − D)
反相升降压: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
理想功率平衡: V_inI_in = V_oI_o
电感纹波: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
电感平均电流: 降压 I_o；升压和升降压 I_o/(1 − D)
输出纹波: 降压 ΔI_L/(8fC)；升压和升降压 I_o·D/(fC)
CCM 边界: 降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
求开关导通时的电感电压，再求 ΔI_L = V_L·D/(L·f)。
求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔI_L/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
出量: V_ab = V_a − V_b
平衡: R₁/R₂ = R₃/R₄
滑线电桥: R/R_x = l/(100 − l)
戴维南电阻: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
灵敏系数: ΔR/R = GF·ε
电桥输出: 1/4 桥 V_s·GF·ε/4，半桥 V_s·GF·ε/2，全桥 V_s·GF·ε
小变化，一个臂: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
应力: σ = E·ε

方法

把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
对不平衡电桥，由分压器求出 V_a 和 V_b 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 V_s·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等

一只 β = 120 的 NPN 晶体管由电源 V_CC = 15 V 经基极电阻 R_B = 270 kΩ 偏置。集电极电阻为 R_C = 1 kΩ，发射极接地。取 V_BE = 0.7 V，并假设晶体管工作在放大区。求集电极电流 I_C，以 mA 计。

V_CC = 15 VR_B = 270 kΩR_C = 1 kΩβ = 120V_BE = 0.7 V

I_C = mA

2.二极管与晶体管困难

一个二极管被建模为 0.7 V 与 10 Ω 串联（高于 0.7 V 时导通）。它与一个 1000 Ω 的电阻串联，接在 5 V 电源两端。求二极管线与负载线相交处的工作电流 I_D。

V_s = 5 VR = 1000 ΩV₀ = 0.7 Vr_d = 10 Ω

I_D = mA

3.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 0.6 VR₁ = 47 kΩR_f = 100 kΩ

V_out = V

4.运放电路困难

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R₁，R_f1），后接一个同相放大器（R₂ 接地，R_f2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。求总电压增益 A_v = V_out/V_in。

R₁ = 10 kΩR_f1 = 100 kΩR₂ = 4.7 kΩR_f2 = 1 kΩ

A_v =

5.RC 和 RL 暂态中等

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。开关在 t = 0 闭合时电容未充电。求 t = 40 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 20 VR₁ = 6.8 kΩR₂ = 4.7 kΩC = 10 µFt = 40 ms

v_C = V

6.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 15 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 7.5 V 时它必须触发，恰好在开始后 250 ms。已知 C = 22 µF，求所需的电阻 R。

V_s = 15 VV_th = 7.5 VT = 250 msC = 22 µF

R = kΩ

7.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 30 VR₁ = 8 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 15 Ω

I_R1 = A

8.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 30 VR₁ = 10 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 2 Ω

I_R1 = A

9.DC-DC 变换器中等

某理想升压变换器在 200 kHz、L = 100 µH 下把 48 V 变成 80 V。求电感纹波电流的峰峰值 ΔI_L。

Vin = 48 VVo = 80 Vf = 200 kHzL = 100 µH

ΔI_L = A

10.DC-DC 变换器困难

某理想升压变换器在 200 kHz 下把 12 V 变成 30 V，负载为 2 Ω。求连续导通所需的最小电感 L_crit。

Vin = 12 VVo = 30 Vf = 200 kHzR = 2 Ω

L_crit = µH

11.惠斯通电桥与应变片中等

某电桥的四个臂均为 200 Ω，V_s = 9 V。传感器 R₂ 增大了 ΔR = 10 Ω。求精确输出 V_ab，单位为 mV。

V_s = 9 VR = 200 ΩΔR = 10 Ω

V_ab = mV

12.惠斯通电桥与应变片困难

某构件（E = 110 GPa）上的应变片（GF = 2.05）接成 1/4 桥，激励电压为 10 V。输出读数为 6.15 mV。求轴向应力 σ，单位为 MPa。

V_s = 10 VGF = 2.05V_o = 6.15 mVE = 110 GPa

σ = MPa

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

一个 4 选 1 多路选择器的选择输入为 S₁ = A 和 S₀ = B，数据输入分别接 I₀ = 1，I₁ = 1，I₂ = C，I₃ = 0。在 A、B、C 的 8 种组合中，有多少种使输出 F = 1？求 N。

I₀ = 1I₁ = 1I₂ = CI₃ = 0

N =

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

一个上升沿触发的 JK 触发器从 Q = 0 开始，接收到所示的输入。点选 Q 第一次从 1 回到 0 的时钟边沿。

Q₀ = 0JK

1时钟边沿 1
2时钟边沿 2
3时钟边沿 3
4时钟边沿 4
5时钟边沿 5
6时钟边沿 6
7时钟边沿 7
8时钟边沿 8

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: I_C = 6.356 mA

BJT 静态工作点：在放大区，V_BE = 0.7 V，I_C = β·I_B，I_E = (β + 1)·I_B。用 KVL 由基极回路求 I_B，再求 I_C，然后由集电极–发射极回路求 V_CE。基极的分压器用其戴维南等效电路代替：V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂)，R_TH = R₁∥R₂；发射极电阻在基极回路中相当于放大了 (β + 1) 倍。

基极电流

I_B = (V_CC − V_BE)/R_B = (15 − 0.7)/270 kΩ = 52.96 µA

集电极电流

I_C = β·I_B = 120·52.96 µA = 6.356 mA

答案

I_C = 6.356 mA

验算：V_CE = 8.644 V 远高于 0.2 V，所以晶体管确实工作在放大区。

2.二极管与晶体管

答案: I_D = 4.257 mA

LED 与二极管电路：正向偏置的 LED 无论电流多大，压降都约为其正向电压 V_F（红光约 2 V，蓝光或白光约 3 V）。串联电阻决定电流：n 个 LED 串联时 R = (V_s − n·V_F)/I。用更精确的二极管模型 V = V₀ + I·r_d 时，工作点在二极管线与负载线 I = (V_s − V)/R 相交处，所以 I = (V_s − V₀)/(R + r_d)。

联立两个方程

5 = 0.7 + I·(1000 + 10)

工作电流

I_D = 4.3/1010 = 4.257 mA

V_D = 0.7 + 0.004257·10 = 0.7426 V

答案

I_D = 4.257 mA

3.运放电路

答案: V_out = 1.877 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = 0.6 V

I = V₋/R₁ = 0.6/47 = 0.01277 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = 0.6 + 0.01277·100 = 1.877 V

答案

V_out = 1.877 V

4.运放电路

答案: A_v = −12.13

各级的增益

A₁ = −R_f1/R₁ = −100/10 = −10

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 1/4.7 = 1.213

总增益

A_v = A₁·A₂ = −10·1.213 = −12.13

答案

A_v = −12.13

5.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 6.236 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 R_th；把电容断开，求它最终稳定的电压。

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6.8·4.7/(6.8 + 4.7) = 2.779 kΩ

v_C(∞) = 20·4.7/(6.8 + 4.7) = 8.174 V

时间常数

τ = R_th·C = 2.779·10 = 27.79 ms

充电曲线

v_C(t) = 8.174·(1 − e^−40/27.79) = 6.236 V

答案

v_C = 6.236 V

6.RC 和 RL 暂态

答案: R = 16.39 kΩ

所需的时间常数

7.5 = 15·(1 − e^−250/τ) → τ = 250/ln(15/(15 − 7.5))

τ = 250/0.6931 = 360.7 ms

电阻

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

R = τ/C = 360.7/22 = 16.39 kΩ

答案

R = 16.39 kΩ

7.串并联电阻

答案: I_R1 = 2.096 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 15 + 15 = 30 Ω

R₂ ∥ 30 = 8·30/(8+30) = 6.316 Ω

R_eq = R₁ + 6.316 = 8 + 6.316 = 14.32 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 30/14.32 = 2.096 A

答案

I_R1 = 2.096 A

8.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.755 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 6 + 2 = 8 Ω

R₄ ∥ 8 = 4.444 Ω

R₃ + 4.444 = 24.44 Ω

R₂ ∥ 24.44 = 7.097 Ω

R_eq = R₁ + 7.097 = 10 + 7.097 = 17.1 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 30/17.1 = 1.755 A

答案

I_R1 = 1.755 A

9.DC-DC 变换器

答案: ΔI_L = 0.96 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）V_o = D·V_in，升压（boost）V_o = V_in/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|V_o| = V_in·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：V_in·I_in = V_o·I_o。开关导通期间，电感电流上升 ΔI_L = V_L·D·T/L，其中降压变换器的 V_L = V_in − V_o，升压和升降压变换器为 V_in。输出纹波对降压变换器为 ΔV_o = ΔI_L/(8fC)，对升压和升降压变换器为 I_o·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔI_L/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 1 − 48/80 = 0.4

导通期间的电感电压

S 导通时，电感直接跨接在 V_in 两端。

V_L = 48 V

纹波电流

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 48·0.4/(100·10⁻⁶·200·10³) = 0.96 A

答案

ΔI_L = 0.96 A

10.DC-DC 变换器

答案: L_crit = 0.48 µH

占空比

D = 1 − 12/30 = 0.6

边界条件

令电感平均电流等于纹波电流的一半，解出 L。

L_crit = D(1 − D)²·R/(2f)

临界电感

L_crit = 0.6(1 − 0.6)²·2/(2200·10³) = 0.48 µH

答案

L_crit = 0.48 µH

11.惠斯通电桥与应变片

答案: V_ab = 109.8 mV

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 V_s。左侧分压器 R₁–R₂ 给出 V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂)，右侧分压器 R₃–R₄ 给出 V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)；输出为 V_ab = V_a − V_b。当 R₁/R₂ = R₃/R₄，即 R₁·R₄ = R₂·R₃ 时，电桥平衡（V_ab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄。

节点电压

V_a = 9·210/410 = 4.61 V

V_b = 4.5 V

出量

V_ab = 109.8 mV

答案

V_ab = 109.8 mV

线性估计 V_s·ΔR/(4R) = 112.5 mV 偏高 2.5 %：1/4 桥并不完全是线性的。

12.惠斯通电桥与应变片

答案: σ = 132 MPa

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 V_o ≈ V_s·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 V_s·GF·ε/2，四个（全桥）给出 V_s·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

应变

ε = 4·0.00615/(10·2.05) = 0.0012

应力

σ = 110·10³ MPa·0.0012 = 132 MPa

答案

σ = 132 MPa

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 5

多路选择器：2ⁿ 选 1 多路选择器把其数据输入之一传到输出；选择线按二进制数读取，决定选哪一个。对于选择端 S₁S₀ = AB 的 4 选 1 MUX，F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃。把数据输入接到 0、1、C 或 C′，可使 MUX 产生 A、B、C 的任意函数，这是用一块芯片实现逻辑的常用方法。

输出表达式

F = A′B′ + A′B + AB′C

F = 1 的行

ABC = 000, 001, 010, 011, 101

N = 5

答案

N = 5

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: 时钟边沿 3

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的 Q

JK 触发器：00 保持，01 复位 (Q = 0)，10 置位 (Q = 1)，11 翻转。

1: J = 0, K = 1 → Q = 0

2: J = 1, K = 1 → Q = 1

3: J = 1, K = 1 → Q = 0

4: J = 0, K = 0 → Q = 0

5: J = 1, K = 1 → Q = 1

6: J = 1, K = 0 → Q = 1

7: J = 1, K = 0 → Q = 1

8: J = 1, K = 0 → Q = 1

第一次从 1 变为 0

时钟边沿 3

答案

时钟边沿 3

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