电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）
VD = 0.7 V when conducting
放大区
VBE = 0.7 V, IC = β·IB, IE = (β + 1)·IB
固定偏置
IB = (VCC − 0.7)/RB
分压偏置
IB = (VTH − 0.7)/(RTH + (β + 1)RE)
分压器的戴维南等效
VTH = VCC·R2/(R1 + R2), RTH = R1∥R2
集电极回路
VCE = VCC − ICRC − IERE
饱和
IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC, IB ≥ IC(sat)/β

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压
Vo = D·Vin
升压
Vo = Vin/(1 − D)
反相升降压
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
理想功率平衡
VinIin = VoIo
电感纹波
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
电感平均电流
降压 Io；升压和升降压 Io/(1 − D)
输出纹波
降压 ΔIL/(8fC)；升压和升降压 Io·D/(fC)
CCM 边界
降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

  1. 判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
  2. 对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
  3. 求开关导通时的电感电压，再求 ΔIL = VL·D/(L·f)。
  4. 求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔIL/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等
RC​ = 1.5 kΩβ = 80IC​ = ?RE​ = 1 kΩVCC​ = 12 VR1​ = 22 kΩR2​ = 15 kΩ

一只 β = 80 的 NPN 晶体管由 VCC = 12 V 分压偏置：R₁ = 22 kΩ 接在 VCC 与基极之间，R₂ = 15 kΩ 接在基极与地之间。集电极电阻为 RC = 1.5 kΩ，发射极电阻为 RE = 1 kΩ。取 VBE = 0.7 V，并使用分压器的戴维南等效电路（不忽略基极电流）。 求集电极电流 IC，以 mA 计。

VCC = 12 VR1 = 22 kΩR2 = 15 kΩRC = 1.5 kΩRE = 1 kΩβ = 80
IC = mA
2.二极管与晶体管困难
RC​ = 1 kΩβ = 50VCC​ = 5 V3.3 VRB​ = ?

一只 β = 50 的 NPN 晶体管控制一个接在 VCC = 5 V 与其集电极之间的 1 kΩ 负载电阻。发射极接地。基极由 3.3 V 逻辑输出经基极电阻 RB 驱动。取 VBE = 0.7 V，VCE(sat) = 0.2 V。 求仍能使晶体管刚好进入饱和的最大基极电阻 RB，以 kΩ 计。

VCC = 5 VRC = 1 kΩβ = 50Vin = 3.3 VVBE = 0.7 VVCE(sat) = 0.2 V
RB = kΩ
3.运放电路中等
−+Vout​R2​ = 2 kΩV1​ = 2 VR1​ = 1 kΩV2​ = 0.9 VR3​ = 1 kΩR4​ = 2 kΩ

差分放大器使用采用 ±15 V 电源的理想运放，其中 R3 = R1，R4 = R2。 求输出电压 Vout。

V1 = 2 VV2 = 0.9 VR1 = R3 = 1 kΩR2 = R4 = 2 kΩ
Vout = V
4.运放电路困难
−+Vout​Rf​ = 2 kΩV1​ = −1.1 VR1​ = 2 kΩV2​ = −0.1 VR2​ = 1 kΩ

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。 求输出电压 Vout。

V1 = −1.1 VV2 = −0.1 VR1 = 2 kΩR2 = 1 kΩRf = 2 kΩ
Vout = V
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​9 Vt = 0R = 50 ΩL220 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 10 ms 时电感两端的电压 vL。

Vs = 9 VR = 50 ΩL = 220 mHt = 10 ms
vL = V
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​10 VR1​ = 10 ΩR2​ = 22 Ω在 t = 0 断开L150 mHi(t)

跨接在 R2 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。 求 t = 10 ms 时的电感电流 i。

Vs = 10 VR1 = 10 ΩR2 = 22 ΩL = 150 mHt = 10 ms
i = A
7.串并联电阻中等
R1​ = 2 ΩIR1​R3​ = 6 Ω+−V1​24 VR2​10 ΩAR4​5 ΩB

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 24 VR1 = 2 ΩR2 = 10 ΩR3 = 6 ΩR4 = 5 Ω
IR1 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 4 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​36 VR2​30 ΩAR4​10 ΩBR6​30 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 36 VR1 = 4 ΩR2 = 30 ΩR3 = 20 ΩR4 = 10 ΩR5 = 30 ΩR6 = 30 Ω
Req = Ω
9.DC-DC 变换器中等
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

某理想反相升降压变换器在 100 kHz、L = 150 µH 下把 9 V 变成 −21 V。求电感纹波电流的峰峰值 ΔIL。

Vin​ = 9 VVo​ = −21 Vf = 100 kHzL = 150 µH
ΔIL = A
10.DC-DC 变换器困难
+−9 VLSC = 10 µFR = 10 Ω+−22.5 V

某理想 升压 变换器在 200 kHz 下把 9 V 变成 22.5 V，负载为 10 Ω。输出电容为 10 µF。求输出电压纹波的峰峰值 ΔVo，单位为 mV。

Vin​ = 9 VVo​ = 22.5 Vf = 200 kHzC = 10 µFR = 10 Ω
ΔVo = mV
11.惠斯通电桥与应变片中等
+−2 VR1​ = 400 ΩR2​ = 50 ΩR3​ = 200 ΩR4​ = 80 ΩabGRg​ = 200 Ω

一个电阻为 200 Ω 的检流计接在图示电桥的 a 和 b 之间（Vs = 2 V）。求从 a 流向 b 的检流计电流 Ig，单位为 µA。

Vs = 2 VR1 = 400 ΩR2 = 50 ΩR3 = 200 ΩR4 = 80 ΩRg = 200 Ω
Ig = µA
12.惠斯通电桥与应变片困难
+−3 V120 Ω − ΔR120 Ω + ΔR120 Ω + ΔR120 Ω − ΔRab+−Vo​ = ?

某电桥的各臂为 120 Ω，激励电压为 3 V，采用 四个工作应变片，两个受拉、两个受压（全桥）。灵敏系数为 2.05，应变为 200 µε。求电桥输出 Vo，单位为 mV。

Vs = 3 VGF = 2.05ε = 200 µε
Vo = mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABCD0001111000011110111111

在这个卡诺图中，恰有一个 1 没有相邻的 1，所以它在最简 SOP 形式中仍是单个格子的圈（含四个文字的完整最小项）。跨越卡诺图边界的相邻关系也要计入。点选该格子。

F = Σm(3, 6, 8, 9, 11, 13)
  1. 1AB = 00, CD = 00
  2. 2AB = 00, CD = 01
  3. 3AB = 00, CD = 11
  4. 4AB = 00, CD = 10
  5. 5AB = 01, CD = 00
  6. 6AB = 01, CD = 01
  7. 7AB = 01, CD = 11
  8. 8AB = 01, CD = 10
  9. 9AB = 11, CD = 00
  10. 10AB = 11, CD = 01
  11. 11AB = 11, CD = 11
  12. 12AB = 11, CD = 10
  13. 13AB = 10, CD = 00
  14. 14AB = 10, CD = 01
  15. 15AB = 10, CD = 11
  16. 16AB = 10, CD = 10
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
ABCD0001111000011110X011031214050706112013X150141809111010

求 F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 4, 8, 11, 12) + d(0, 15) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它包含多少个文字 L？

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 4, 8, 11, 12) + d(0, 15)
L =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: IC = 3.705 mA

BJT 静态工作点：在放大区，VBE = 0.7 V，IC = β·IB，IE = (β + 1)·IB。用 KVL 由基极回路求 IB，再求 IC，然后由集电极–发射极回路求 VCE。基极的分压器用其戴维南等效电路代替：VTH = VCC·R₂/(R₁ + R₂)，RTH = R₁∥R₂；发射极电阻在基极回路中相当于放大了 (β + 1) 倍。

分压器的戴维南等效

VTH = 12·15/(22 + 15) = 4.865 V
RTH = 22·15/(22 + 15) = 8.919 kΩ

基极电流

沿基极回路列 KVL；发射极电流为 (β + 1)·IB。

IB = (4.865 − 0.7)/(8.919 + 81·1) = 46.32 µA

集电极电流

IC = 80·46.32 µA = 3.705 mA
IE = 81·46.32 µA = 3.752 mA

答案

IC = 3.705 mA
2.二极管与晶体管

答案: RB = 27.08 kΩ

BJT 用作开关：要使负载完全导通，晶体管须驱动到饱和，此时 VCE = VCE(sat)，集电极电流由负载决定：IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC。饱和至少需要 IB = IC(sat)/β。若基极电流更小，晶体管仍处于放大区，IC = β·IB。

饱和时的集电极电流

IC(sat) = (5 − 0.2)/1000 = 4.8 mA

最小基极电流

IB(min) = IC(sat)/β = 4.8/50 = 96 µA

基极电阻

RB = (3.3 − 0.7)/IB = 2.6 V/0.096 mA = 27.08 kΩ

答案

RB = 27.08 kΩ

任何更小的基极电阻也能使晶体管饱和；实际中通常选小几倍的电阻。

3.运放电路

答案: Vout = −2.2 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入端的电压

R₃ 和 R₄ 流过相同的电流，所以构成分压器；反馈使 V₋ = V₊。

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 0.9·2/(1 + 2) = 0.6 V
V₋ = V₊

反相输入端的 KCL

(2 − 0.6)/1 = (0.6 − Vout)/2
Vout = (R2/R1)·(V2 − V1) = (2/1)·(0.9 − 2) = −2.2 V

答案

Vout = −2.2 V
4.运放电路

答案: Vout = 1.3 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I1 = V1/R1 = −1.1/2 = −0.55 mA
I2 = V2/R2 = −0.1/1 = −0.1 mA
If = I1 + I2 = −0.65 mA

输出电压

Vout = −Rf·If = −2·(−0.65) = 1.3 V

答案

Vout = 1.3 V
5.RC 和 RL 暂态

答案: vL = 0.9273 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 220 mH / 50 Ω = 4.4 ms
i(∞) = Vs/R = 9/50 = 0.18 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

vL(t) = Vs·e−t/τ = 9·e−10/4.4 = 0.9273 V

答案

vL = 0.9273 V
6.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.3939 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。

i(0) = 10/10 = 1 A
i(∞) = 10/(10 + 22) = 0.3125 A
τ = L/R = 150/32 = 4.688 ms
i(t) = 0.3125 + (1 − 0.3125)·e−t/τ

给定时刻的电流

i(10) = 0.3125 + (0.6875)·e−10/4.688 = 0.3939 A

答案

i = 0.3939 A
7.串并联电阻

答案: IR1 = 3.316 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 2 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​24 VR2​10 ΩAR4​5 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 6 + 5 = 11 Ω
R2 ∥ 11 = 10·11/(10+11) = 5.238 Ω
Req = R1 + 5.238 = 2 + 5.238 = 7.238 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 24/7.238 = 3.316 A

答案

IR1 = 3.316 A
8.串并联电阻

答案: Req = 18.63 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 4 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​36 VR2​30 ΩAR4​10 ΩBR6​30 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 30 + 30 = 60 Ω
R4 ∥ 60 = 8.571 Ω
R3 + 8.571 = 28.57 Ω
R2 ∥ 28.57 = 14.63 Ω
Req = R1 + 14.63 = 4 + 14.63 = 18.63 Ω

答案

Req = 18.63 Ω
9.DC-DC 变换器

答案: ΔIL = 0.42 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 21/(9 + 21) = 0.7

导通期间的电感电压

S 导通时，电感直接跨接在 Vin 两端。

VL = 9 V

纹波电流

ΔIL = VL·D/(L·f) = 9·0.7/(150·10⁻⁶·100·10³) = 0.42 A

答案

ΔIL = 0.42 A
10.DC-DC 变换器

答案: ΔVo = 675 mV

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 1 − 9/22.5 = 0.6

负载电流

Io = 22.5/10 = 2.25 A

输出纹波

ΔVo = 2.25·0.6/(200·10³·10·10⁻⁶) = 675 mV

答案

ΔVo = 675 mV
11.惠斯通电桥与应变片

答案: Ig = −1158 µA

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

戴维南电压

Vth = 2·(50/450 − 80/280) = −0.3492 V

戴维南电阻

Rth = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 101.6 Ω

检流计电流

Ig = −0.3492/(101.6 + 200) = −1158 µA

答案

Ig = −1158 µA
12.惠斯通电桥与应变片

答案: Vo = 1.23 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

电阻相对变化

ΔR/R = 2.05·200·10⁻⁶ = 0.00041

电桥输出

Vo = Vs·GF·ε = 3·0.00041 = 1.23 mV

答案

Vo = 1.23 mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: AB = 01, CD = 10

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

每个 1 的邻格

有相邻 1 的 1 可以加入由两个或更多格子组成的圈。

m6: m7, m4, m2, m14 → 0
ABCD0001111000011110111111

孤立的 1

m6 = A′BCD′ → AB = 01, CD = 10

答案

AB = 01, CD = 10
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 11

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

C′D′, ACD, A′B′D′, A′B′C′
ABCD0001111000011110X011031214050706112013X150141809111010

最小覆盖

F = C′D′ + ACD + A′B′D′ + A′B′C′
L = 11

答案

L = 11

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