电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）: V_D = 0.7 V when conducting
放大区: V_BE = 0.7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
固定偏置: I_B = (V_CC − 0.7)/R_B
分压偏置: I_B = (V_TH − 0.7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
分压器的戴维南等效: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
集电极回路: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
饱和: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压: V_o = D·V_in
升压: V_o = V_in/(1 − D)
反相升降压: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
理想功率平衡: V_inI_in = V_oI_o
电感纹波: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
电感平均电流: 降压 I_o；升压和升降压 I_o/(1 − D)
输出纹波: 降压 ΔI_L/(8fC)；升压和升降压 I_o·D/(fC)
CCM 边界: 降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
求开关导通时的电感电压，再求 ΔI_L = V_L·D/(L·f)。
求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔI_L/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
出量: V_ab = V_a − V_b
平衡: R₁/R₂ = R₃/R₄
滑线电桥: R/R_x = l/(100 − l)
戴维南电阻: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
灵敏系数: ΔR/R = GF·ε
电桥输出: 1/4 桥 V_s·GF·ε/4，半桥 V_s·GF·ε/2，全桥 V_s·GF·ε
小变化，一个臂: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
应力: σ = E·ε

方法

把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
对不平衡电桥，由分压器求出 V_a 和 V_b 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 V_s·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等

一只 β = 100 的 NPN 晶体管由 V_CC = 18 V 分压偏置：R₁ = 39 kΩ 接在 V_CC 与基极之间，R₂ = 22 kΩ 接在基极与地之间。集电极电阻为 R_C = 1 kΩ，发射极电阻为 R_E = 1.5 kΩ。取 V_BE = 0.7 V，并使用分压器的戴维南等效电路（不忽略基极电流）。求集电极电流 I_C，以 mA 计。

V_CC = 18 VR₁ = 39 kΩR₂ = 22 kΩR_C = 1 kΩR_E = 1.5 kΩβ = 100

I_C = mA

2.二极管与晶体管困难

一个 3.3 V 的齐纳稳压器有一个 470 Ω 的串联电阻。输入可能升到 23 V，负载可能被断开。求齐纳管必须耗散的最大功率 P_Z,max。

V_in,max = 23 VV_Z = 3.3 VR = 470 Ω

P_Z,max = mW

3.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = −0.6 VR₁ = 4.7 kΩR_f = 10 kΩ

V_out = V

4.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = 1.6 VV₂ = 0.7 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 22 kΩR_f = 2 kΩ

V_out = V

5.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 3 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。求 t = 1 ms 时 R 两端的电压 v_R。

i(0) = 3 AR = 47 ΩL = 47 mHt = 1 ms

v_R = V

6.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。求 t = 1 ms 时的电感电流 i。

V_s = 6 VR₁ = 47 ΩR₂ = 20 ΩL = 33 mHt = 1 ms

i = A

7.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 12 VR₁ = 4 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 5 Ω

R_eq = Ω

8.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 24 VR₁ = 20 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 20 Ω

R_eq = Ω

9.DC-DC 变换器中等

某降压变换器把 24 V 变成 9.6 V，负载为 10 Ω。开关频率为 250 kHz，L = 220 µH。求电感电流峰值 I_max。

Vin = 24 VVo = 9.6 Vf = 250 kHzL = 220 µHR = 10 Ω

I_max = A

10.DC-DC 变换器困难

某降压变换器在 100 kHz、L = 22 µH 下把 12 V 变成 3 V。求使其保持连续导通的最小负载电流 I_o,min。

Vin = 12 VVo = 3 Vf = 100 kHzL = 22 µH

I_o,min = A

11.惠斯通电桥与应变片中等

求图示电桥从输出端 a、b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V_s = 5 VR₁ = 500 ΩR₂ = 150 ΩR₃ = 40 ΩR₄ = 600 Ω

R_th = Ω

12.惠斯通电桥与应变片困难

某构件（E = 210 GPa）上的应变片（GF = 2）接成 1/4 桥，激励电压为 5 V。输出读数为 0.5 mV。求轴向应力 σ，单位为 MPa。

V_s = 5 VGF = 2V_o = 0.5 mVE = 210 GPa

σ = MPa

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 3, 4, 7, 8, 12, 14, 15) 的最简积之和 (SOP) 形式。它有多少个乘积项 N？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 3, 4, 7, 8, 12, 14, 15)

N =

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15) + d(1, 2, 11) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它包含多少个文字 L？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15) + d(1, 2, 11)

L =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: I_C = 3.498 mA

BJT 静态工作点：在放大区，V_BE = 0.7 V，I_C = β·I_B，I_E = (β + 1)·I_B。用 KVL 由基极回路求 I_B，再求 I_C，然后由集电极–发射极回路求 V_CE。基极的分压器用其戴维南等效电路代替：V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂)，R_TH = R₁∥R₂；发射极电阻在基极回路中相当于放大了 (β + 1) 倍。

分压器的戴维南等效

V_TH = 18·22/(39 + 22) = 6.492 V

R_TH = 39·22/(39 + 22) = 14.07 kΩ

基极电流

沿基极回路列 KVL；发射极电流为 (β + 1)·I_B。

I_B = (6.492 − 0.7)/(14.07 + 101·1.5) = 34.98 µA

集电极电流

I_C = 100·34.98 µA = 3.498 mA

I_E = 101·34.98 µA = 3.533 mA

答案

I_C = 3.498 mA

2.二极管与晶体管

答案: P_Z,max = 138.3 mW

齐纳稳压器：反向偏置的齐纳二极管在电流保持高于最小值 I_Z,min 时维持其电压 V_Z。串联电阻 R 承担输入与输出之间的差值：I_R = (V_in − V_Z)/R。该电流分给负载 I_L = V_Z/R_L 和齐纳管 I_Z = I_R − I_L。按最坏情况设计：最低输入与最大负载时仍须留有 I_Z,min，而最高输入与空载时齐纳管功率最大，P_Z = V_Z·I_Z。

最坏情况的齐纳电流

I_Z = 19.7/470 = 41.91 mA

齐纳功率

P_Z = 3.3·41.91 = 138.3 mW

答案

P_Z,max = 138.3 mW

3.运放电路

答案: V_out = −1.877 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = −0.6 V

I = V₋/R₁ = −0.6/4.7 = −0.1277 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = −0.6 + (−0.1277)·10 = −1.877 V

答案

V_out = −1.877 V

4.运放电路

答案: V_out = −0.7445 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = 1.6/4.7 = 0.3404 mA

I₂ = V₂/R₂ = 0.7/22 = 0.03182 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.3722 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −2·0.3722 = −0.7445 V

答案

V_out = −0.7445 V

5.RC 和 RL 暂态

答案: v_R = 51.87 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 47 mH / 47 Ω = 1 ms

电流的衰减

i(t) = 3·e^−1/1 = 1.104 A

v_R = R·i = 47·1.104 = 51.87 V

答案

v_R = 51.87 V

6.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.09456 A

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。

i(0) = 6/47 = 0.1277 A

i(∞) = 6/(47 + 20) = 0.08955 A

τ = L/R = 33/67 = 0.4925 ms

i(t) = 0.08955 + (0.1277 − 0.08955)·e^−t/τ

给定时刻的电流

i(1) = 0.08955 + (0.03811)·e^−1/0.4925 = 0.09456 A

答案

i = 0.09456 A

7.串并联电阻

答案: R_eq = 9.455 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 5 + 5 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 12·10/(12+10) = 5.455 Ω

R_eq = R₁ + 5.455 = 4 + 5.455 = 9.455 Ω

答案

R_eq = 9.455 Ω

8.串并联电阻

答案: R_eq = 23.58 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 4 + 20 = 24 Ω

R₄ ∥ 24 = 2.667 Ω

R₃ + 2.667 = 12.67 Ω

R₂ ∥ 12.67 = 3.585 Ω

R_eq = R₁ + 3.585 = 20 + 3.585 = 23.58 Ω

答案

R_eq = 23.58 Ω

9.DC-DC 变换器

答案: I_max = 1.012 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）V_o = D·V_in，升压（boost）V_o = V_in/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|V_o| = V_in·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：V_in·I_in = V_o·I_o。开关导通期间，电感电流上升 ΔI_L = V_L·D·T/L，其中降压变换器的 V_L = V_in − V_o，升压和升降压变换器为 V_in。输出纹波对降压变换器为 ΔV_o = ΔI_L/(8fC)，对升压和升降压变换器为 I_o·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔI_L/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 9.6/24 = 0.4

平均电流和纹波电流

I_o = 9.6/10 = 0.96 A

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 14.4·0.4/(220·10⁻⁶·250·10³) = 0.1047 A

峰值电流

I_max = 0.96 + 0.1047/2 = 1.012 A

答案

I_max = 1.012 A

10.DC-DC 变换器

答案: I_o,min = 0.5114 A

占空比

D = 3/12 = 0.25

纹波电流

ΔI_L = 3·0.75/(22·10⁻⁶·100·10³) = 1.023 A

边界负载电流

I_o,min = ΔI_L/2 = 0.5114 A

答案

I_o,min = 0.5114 A

低于这个电流时，变换器进入断续导通模式，V_o 会升高到 D·V_in 以上。

11.惠斯通电桥与应变片

答案: R_th = 152.9 Ω

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 V_s。左侧分压器 R₁–R₂ 给出 V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂)，右侧分压器 R₃–R₄ 给出 V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)；输出为 V_ab = V_a − V_b。当 R₁/R₂ = R₃/R₄，即 R₁·R₄ = R₂·R₃ 时，电桥平衡（V_ab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄。

电源短路

R₁∥R₂ = 500·150/650 = 115.4 Ω

R₃∥R₄ = 40·600/640 = 37.5 Ω

戴维南电阻

R_th = 152.9 Ω

答案

R_th = 152.9 Ω

12.惠斯通电桥与应变片

答案: σ = 42 MPa

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 V_o ≈ V_s·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 V_s·GF·ε/2，四个（全桥）给出 V_s·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

应变

ε = 4·0.0005/(5·2) = 0.0002

应力

σ = 210·10³ MPa·0.0002 = 42 MPa

答案

σ = 42 MPa

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 4

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

C′D′

BCD

ABD′

A′B′C

最简 SOP 形式

F = C′D′ + BCD + ABD′ + A′B′C

N = 4

答案

N = 4

还存在另一种大小相同的圈法；它的项数和文字数相同。

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 5

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

CD, B′D, B′C′, A′

最小覆盖

F = CD + B′C′ + A′

L = 5

答案

L = 5

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