电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）
VD = 0.7 V when conducting
放大区
VBE = 0.7 V, IC = β·IB, IE = (β + 1)·IB
固定偏置
IB = (VCC − 0.7)/RB
分压偏置
IB = (VTH − 0.7)/(RTH + (β + 1)RE)
分压器的戴维南等效
VTH = VCC·R2/(R1 + R2), RTH = R1∥R2
集电极回路
VCE = VCC − ICRC − IERE
饱和
IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC, IB ≥ IC(sat)/β

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压
Vo = D·Vin
升压
Vo = Vin/(1 − D)
反相升降压
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
理想功率平衡
VinIin = VoIo
电感纹波
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
电感平均电流
降压 Io；升压和升降压 Io/(1 − D)
输出纹波
降压 ΔIL/(8fC)；升压和升降压 Io·D/(fC)
CCM 边界
降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

  1. 判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
  2. 对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
  3. 求开关导通时的电感电压，再求 ΔIL = VL·D/(L·f)。
  4. 求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔIL/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等
RC​ = 2.7 kΩβ = 80IC​ = ?RE​ = 2.2 kΩVCC​ = 18 VR1​ = 39 kΩR2​ = 10 kΩ

一只 β = 80 的 NPN 晶体管由 VCC = 18 V 分压偏置：R₁ = 39 kΩ 接在 VCC 与基极之间，R₂ = 10 kΩ 接在基极与地之间。集电极电阻为 RC = 2.7 kΩ，发射极电阻为 RE = 2.2 kΩ。取 VBE = 0.7 V，并使用分压器的戴维南等效电路（不忽略基极电流）。 求集电极电流 IC，以 mA 计。

VCC = 18 VR1 = 39 kΩR2 = 10 kΩRC = 2.7 kΩRE = 2.2 kΩβ = 80
IC = mA
2.二极管与晶体管困难
+−≤ 17 V330 Ω12 V

一个 12 V 的齐纳稳压器有一个 330 Ω 的串联电阻。输入可能升到 17 V，负载可能被断开。求齐纳管必须耗散的最大功率 PZ,max。

Vin,max = 17 VVZ = 12 VR = 330 Ω
PZ,max = mW
3.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = ?R1​ = 2 kΩVin​

选择反馈电阻 Rf，使该同相放大器的电压增益为 11。

R1 = 2 kΩAv = 11
Rf = kΩ
4.运放电路困难
Vin​V1​Vout​第 1 级：反相R1​ = 22 kΩRf1​ = 22 kΩ第 2 级：同相R2​ = 10 kΩRf2​ = 1 kΩ

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R1，Rf1），后接一个同相放大器（R2 接地，Rf2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。 输入为 Vin = −0.8 V。求输出电压 Vout。

R1 = 22 kΩRf1 = 22 kΩR2 = 10 kΩRf2 = 1 kΩVin = −0.8 V
Vout = V
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​20 Vt = 0R = 100 ΩL150 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 2 ms 时电感两端的电压 vL。

Vs = 20 VR = 100 ΩL = 150 mHt = 2 ms
vL = V
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​24 Vt = 0R = 2.2 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 4 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 4 V，极性如图所示。 求 t = 400 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 24 VR = 2.2 kΩC = 100 µFvC(0) = 4 Vt = 400 ms
vC = V
7.串并联电阻中等
R1​ = 6 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​24 VR2​12 ΩIR2​AR4​10 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 24 VR1 = 6 ΩR2 = 12 ΩR3 = 4 ΩR4 = 10 Ω
IR2 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 30 ΩIR1​R3​ = 12 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​36 VR2​20 ΩAR4​12 ΩBR6​4 Ω

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 36 VR1 = 30 ΩR2 = 20 ΩR3 = 12 ΩR4 = 12 ΩR5 = 2 ΩR6 = 4 Ω
IR1 = A
9.DC-DC 变换器中等
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

某理想反相升降压变换器在 20 kHz、L = 150 µH 下把 12 V 变成 −4 V。求电感纹波电流的峰峰值 ΔIL。

Vin​ = 12 VVo​ = −4 Vf = 20 kHzL = 150 µH
ΔIL = A
10.DC-DC 变换器困难
+−36 VSL = 22 µHC = ?R+−27 V

某降压变换器在 500 kHz、L = 22 µH 下把 36 V 变成 27 V。求把输出纹波峰峰值限制在 10 mV 的输出电容 C。

Vin​ = 36 VVo​ = 27 Vf = 500 kHzL = 22 µHΔVo = 10 mV
C = µF
11.惠斯通电桥与应变片中等
+−6 V250 Ω250 Ω + ΔR250 Ω250 Ωab+−Vab​ = ?

某电桥的四个臂均为 250 Ω，Vs = 6 V。传感器 R₂ 增大了 ΔR = 1 Ω。用小变化近似求输出 Vab，单位为 mV。

Vs = 6 VR = 250 ΩΔR = 1 Ω
Vab = mV
12.惠斯通电桥与应变片困难
+−V120 Ω120 Ω + ΔR120 Ω120 Ωab+−

一个 120 Ω、灵敏系数为 2 的应变片贴在钢棒上。受载时其电阻增大了 0.12 Ω。求应变 ε，单位为微应变（µε）。

R = 120 ΩGF = 2ΔR = 0.12 Ω
ε = µε
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABCD000111100001111000011302041517060120131151140809111010

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(3, 5, 7, 11, 14, 15) 的最简积之和 (SOP) 形式。它有多少个乘积项 N？

F(A, B, C, D) = Σm(3, 5, 7, 11, 14, 15)
N =
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
ABCD00011110000111100011X312140507X61120130151140819011110

求 F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 4, 9, 10, 12, 14) + d(3, 6) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它包含多少个文字 L？

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 4, 9, 10, 12, 14) + d(3, 6)
L =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: IC = 1.278 mA

BJT 静态工作点：在放大区，VBE = 0.7 V，IC = β·IB，IE = (β + 1)·IB。用 KVL 由基极回路求 IB，再求 IC，然后由集电极–发射极回路求 VCE。基极的分压器用其戴维南等效电路代替：VTH = VCC·R₂/(R₁ + R₂)，RTH = R₁∥R₂；发射极电阻在基极回路中相当于放大了 (β + 1) 倍。

分压器的戴维南等效

VTH = 18·10/(39 + 10) = 3.673 V
RTH = 39·10/(39 + 10) = 7.959 kΩ

基极电流

沿基极回路列 KVL；发射极电流为 (β + 1)·IB。

IB = (3.673 − 0.7)/(7.959 + 81·2.2) = 15.97 µA

集电极电流

IC = 80·15.97 µA = 1.278 mA
IE = 81·15.97 µA = 1.294 mA

答案

IC = 1.278 mA
2.二极管与晶体管

答案: PZ,max = 181.8 mW

齐纳稳压器：反向偏置的齐纳二极管在电流保持高于最小值 IZ,min 时维持其电压 VZ。串联电阻 R 承担输入与输出之间的差值：IR = (Vin − VZ)/R。该电流分给负载 IL = VZ/RL 和齐纳管 IZ = IR − IL。按最坏情况设计：最低输入与最大负载时仍须留有 IZ,min，而最高输入与空载时齐纳管功率最大，PZ = VZ·IZ。

最坏情况的齐纳电流

IZ = 5/330 = 15.15 mA

齐纳功率

PZ = 12·15.15 = 181.8 mW

答案

PZ,max = 181.8 mW
3.运放电路

答案: Rf = 20 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = Vin，且流过 R₁ 的电流也流过 Rf，所以 Vout = Vin·(1 + Rf/R₁)。

Av = 1 + Rf/R1
Rf = (11 − 1)·2 = 20 kΩ

答案

Rf = 20 kΩ
4.运放电路

答案: Vout = 0.88 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

各级的增益

A1 = −Rf1/R1 = −22/22 = −1
A2 = 1 + Rf2/R2 = 1 + 1/10 = 1.1

逐级计算

V1 = −1·(−0.8) = 0.8 V
Vout = 1.1·0.8 = 0.88 V

答案

Vout = 0.88 V
5.RC 和 RL 暂态

答案: vL = 5.272 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 150 mH / 100 Ω = 1.5 ms
i(∞) = Vs/R = 20/100 = 0.2 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

vL(t) = Vs·e−t/τ = 20·e−2/1.5 = 5.272 V

答案

vL = 5.272 V
6.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 20.75 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 24 V
τ = R·C = 2.2 kΩ · 100 µF = 220 ms
vC(t) = 24 + (4 − 24)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(400) = 24 + (−20)·e−400/220 = 20.75 V

答案

vC = 20.75 V
7.串并联电阻

答案: IR2 = 1.037 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 6 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​24 VR2​12 ΩAR4​10 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 4 + 10 = 14 Ω
R2 ∥ 14 = 12·14/(12+14) = 6.462 Ω
Req = R1 + 6.462 = 6 + 6.462 = 12.46 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 24/12.46 = 1.926 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 1.926·6 = 12.44 V
IR2 = VA/R2 = 12.44/12 = 1.037 A

答案

IR2 = 1.037 A
8.串并联电阻

答案: IR1 = 0.9257 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 30 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​36 VR2​20 ΩAR4​12 ΩBR6​4 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 2 + 4 = 6 Ω
R4 ∥ 6 = 4 Ω
R3 + 4 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 8.889 Ω
Req = R1 + 8.889 = 30 + 8.889 = 38.89 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 36/38.89 = 0.9257 A

答案

IR1 = 0.9257 A
9.DC-DC 变换器

答案: ΔIL = 1 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 4/(12 + 4) = 0.25

导通期间的电感电压

S 导通时，电感直接跨接在 Vin 两端。

VL = 12 V

纹波电流

ΔIL = VL·D/(L·f) = 12·0.25/(150·10⁻⁶·20·10³) = 1 A

答案

ΔIL = 1 A
10.DC-DC 变换器

答案: C = 15.34 µF

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 27/36 = 0.75

电感纹波电流

ΔIL = (36 − 27)·0.75/(22·10⁻⁶·500·10³) = 0.6136 A

电容

C = 0.6136/(8·500·10³·10·10⁻³) = 15.34 µF

答案

C = 15.34 µF
11.惠斯通电桥与应变片

答案: Vab = 6 mV

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

相对变化

ΔR/R = 1/250 = 0.004

线性化输出

Vab ≈ 6·0.004/4 = 6 mV

答案

Vab = 6 mV

精确值为 5.988 mV；只要 ΔR/R 很小，这个近似就很好。

12.惠斯通电桥与应变片

答案: ε = 500 µε

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

电阻相对变化

ΔR/R = 0.12/120 = 0.001

应变

ε = 0.001/2 = 0.0005 = 500 µε

答案

ε = 500 µε
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

ABCD000111100001111000011302041517060120131151140809111010

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

CD
A′BD
ABC

最简 SOP 形式

F = CD + A′BD + ABC
N = 3

答案

N = 3
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 7

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

CD′, BD′, B′C′D, A′B′D, A′B′C
ABCD00011110000111100011X312140507X61120130151140819011110

最小覆盖

F = CD′ + BD′ + B′C′D
L = 7

答案

L = 7

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