电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）
VD = 0.7 V when conducting
放大区
VBE = 0.7 V, IC = β·IB, IE = (β + 1)·IB
固定偏置
IB = (VCC − 0.7)/RB
分压偏置
IB = (VTH − 0.7)/(RTH + (β + 1)RE)
分压器的戴维南等效
VTH = VCC·R2/(R1 + R2), RTH = R1∥R2
集电极回路
VCE = VCC − ICRC − IERE
饱和
IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC, IB ≥ IC(sat)/β

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压
Vo = D·Vin
升压
Vo = Vin/(1 − D)
反相升降压
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
理想功率平衡
VinIin = VoIo
电感纹波
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
电感平均电流
降压 Io；升压和升降压 Io/(1 − D)
输出纹波
降压 ΔIL/(8fC)；升压和升降压 Io·D/(fC)
CCM 边界
降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

  1. 判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
  2. 对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
  3. 求开关导通时的电感电压，再求 ΔIL = VL·D/(L·f)。
  4. 求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔIL/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等
RC​ = 5.6 kΩβ = 150RE​ = 2.2 kΩVCC​ = 20 VR1​ = 82 kΩR2​ = 15 kΩ

一只 β = 150 的 NPN 晶体管由 VCC = 20 V 分压偏置：R₁ = 82 kΩ 接在 VCC 与基极之间，R₂ = 15 kΩ 接在基极与地之间。集电极电阻为 RC = 5.6 kΩ，发射极电阻为 RE = 2.2 kΩ。取 VBE = 0.7 V，并使用分压器的戴维南等效电路（不忽略基极电流）。 求集电极–发射极电压 VCE。

VCC = 20 VR1 = 82 kΩR2 = 15 kΩRC = 5.6 kΩRE = 2.2 kΩβ = 150
VCE = V
2.二极管与晶体管困难
RC​ = 150 Ωβ = 80VCC​ = 24 V5 VRB​ = ?

一只 β = 80 的 NPN 晶体管控制一个接在 VCC = 24 V 与其集电极之间的 150 Ω 负载电阻。发射极接地。基极由 5 V 逻辑输出经基极电阻 RB 驱动。取 VBE = 0.7 V，VCE(sat) = 0.2 V。 求仍能使晶体管刚好进入饱和的最大基极电阻 RB，以 kΩ 计。

VCC = 24 VRC = 150 Ωβ = 80Vin = 5 VVBE = 0.7 VVCE(sat) = 0.2 V
RB = kΩ
3.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = 100 kΩR1​ = 10 kΩVin​ = 0.1 V

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。 求输出电压 Vout。

Vin = 0.1 VR1 = 10 kΩRf = 100 kΩ
Vout = V
4.运放电路困难
−+Vout​Rf​ = 10 kΩV1​ = −1.8 VR1​ = 22 kΩV2​ = −1 VR2​ = 47 kΩ

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。 求输出电压 Vout。

V1 = −1.8 VV2 = −1 VR1 = 22 kΩR2 = 47 kΩRf = 10 kΩ
Vout = V
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​5 Vt = 0R = 22 ΩL220 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 25 ms 时的电流 i。

Vs = 5 VR = 22 ΩL = 220 mHt = 25 ms
i = A
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​15 Vt = 0R = 6.8 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 10 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 10 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 13.5 V？求 t。

Vs = 15 VR = 6.8 kΩC = 47 µFvC(0) = 10 V
t = ms
7.串并联电阻中等
R1​ = 8 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​30 VR2​20 ΩIR2​AR4​6 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 30 VR1 = 8 ΩR2 = 20 ΩR3 = 3 ΩR4 = 6 Ω
IR2 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 30 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​18 VR2​20 ΩIR2​AR4​12 ΩBR6​20 Ω

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 18 VR1 = 30 ΩR2 = 20 ΩR3 = 10 ΩR4 = 12 ΩR5 = 10 ΩR6 = 20 Ω
IR2 = A
9.DC-DC 变换器中等
tiL​Imax​ = ?Imin​Io​DTT2T

某降压变换器把 48 V 变成 33.6 V，负载为 10 Ω。开关频率为 40 kHz，L = 330 µH。求电感电流峰值 Imax。

Vin​ = 48 VVo​ = 33.6 Vf = 40 kHzL = 330 µHR = 10 Ω
Imax = A
10.DC-DC 变换器困难
tiL​Imax​IL​DTT2T

某理想 降压 变换器在 50 kHz 下把 36 V 变成 10.8 V，负载为 2 Ω。求连续导通所需的最小电感 Lcrit。

Vin​ = 36 VVo​ = 10.8 Vf = 50 kHzR = 2 Ω
Lcrit = µH
11.惠斯通电桥与应变片中等
+−10 VR1​ = 300 ΩR2​ = 10 ΩR3​ = 500 ΩR4​ = 100 Ωab+−Rth​ = ?

求图示电桥从输出端 a、b 看进去的戴维南电阻 Rth。

Vs = 10 VR1 = 300 ΩR2 = 10 ΩR3 = 500 ΩR4 = 100 Ω
Rth = Ω
12.惠斯通电桥与应变片困难
+−V350 Ω350 Ω + ΔR350 Ω350 Ωab+−

一个 350 Ω、灵敏系数为 2.05 的应变片贴在钢棒上。受载时其电阻增大了 0.287 Ω。求应变 ε，单位为微应变（µε）。

R = 350 ΩGF = 2.05ΔR = 0.287 Ω
ε = µε
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABCD000111100001111000110312040507061120130150141819111110

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 8, 9, 10, 11, 12) 的最简积之和 (SOP) 形式。它总共包含多少个文字 L（带撇的变量算一个文字）？

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 8, 9, 10, 11, 12)
L =
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
ABCD0001111000011110X011X302041507061121130150140809X11010

对于 F(A, B, C, D) = Σm(1, 5, 12, 13) + d(0, 3, 11)（其中 d 表示无关项），求必要质蕴涵项的个数 N。

F(A, B, C, D) = Σm(1, 5, 12, 13) + d(0, 3, 11)
N =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: VCE = 11.87 V

BJT 静态工作点：在放大区，VBE = 0.7 V，IC = β·IB，IE = (β + 1)·IB。用 KVL 由基极回路求 IB，再求 IC，然后由集电极–发射极回路求 VCE。基极的分压器用其戴维南等效电路代替：VTH = VCC·R₂/(R₁ + R₂)，RTH = R₁∥R₂；发射极电阻在基极回路中相当于放大了 (β + 1) 倍。

分压器的戴维南等效

VTH = 20·15/(82 + 15) = 3.093 V
RTH = 82·15/(82 + 15) = 12.68 kΩ

基极电流

沿基极回路列 KVL；发射极电流为 (β + 1)·IB。

IB = (3.093 − 0.7)/(12.68 + 151·2.2) = 6.938 µA

集电极电流

IC = 150·6.938 µA = 1.041 mA
IE = 151·6.938 µA = 1.048 mA

集电极–发射极电压

VCE = 20 − 1.041·5.6 − 1.048·2.2 = 11.87 V

答案

VCE = 11.87 V
2.二极管与晶体管

答案: RB = 2.168 kΩ

BJT 用作开关：要使负载完全导通，晶体管须驱动到饱和，此时 VCE = VCE(sat)，集电极电流由负载决定：IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC。饱和至少需要 IB = IC(sat)/β。若基极电流更小，晶体管仍处于放大区，IC = β·IB。

饱和时的集电极电流

IC(sat) = (24 − 0.2)/150 = 158.7 mA

最小基极电流

IB(min) = IC(sat)/β = 158.7/80 = 1983 µA

基极电阻

RB = (5 − 0.7)/IB = 4.3 V/1.983 mA = 2.168 kΩ

答案

RB = 2.168 kΩ

任何更小的基极电阻也能使晶体管饱和；实际中通常选小几倍的电阻。

3.运放电路

答案: Vout = 1.1 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = 0.1 V
I = V₋/R1 = 0.1/10 = 0.01 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 Rf。

Vout = V₋ + I·Rf = 0.1 + 0.01·100 = 1.1 V

答案

Vout = 1.1 V
4.运放电路

答案: Vout = 1.031 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I1 = V1/R1 = −1.8/22 = −0.08182 mA
I2 = V2/R2 = −1/47 = −0.02128 mA
If = I1 + I2 = −0.1031 mA

输出电压

Vout = −Rf·If = −10·(−0.1031) = 1.031 V

答案

Vout = 1.031 V
5.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.2086 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 220 mH / 22 Ω = 10 ms
i(∞) = Vs/R = 5/22 = 0.2273 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.2273·(1 − e−25/10) = 0.2086 A

答案

i = 0.2086 A
6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 384.8 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 10 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 6.8 kΩ · 47 µF = 319.6 ms
vC(t) = 15 + (10 − 15)·e−t/τ

求解时间

13.5 = 15 + (−5)·e−t/τ → e−t/τ = (13.5 − 15)/(10 − 15) = 0.3
t = τ·ln((10 − 15)/(13.5 − 15)) = 319.6·ln(3.333) = 384.8 ms

答案

t = 384.8 ms
7.串并联电阻

答案: IR2 = 0.6553 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 8 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​30 VR2​20 ΩAR4​6 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 3 + 6 = 9 Ω
R2 ∥ 9 = 20·9/(20+9) = 6.207 Ω
Req = R1 + 6.207 = 8 + 6.207 = 14.21 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 30/14.21 = 2.112 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 2.112·8 = 13.11 V
IR2 = VA/R2 = 13.11/20 = 0.6553 A

答案

IR2 = 0.6553 A
8.串并联电阻

答案: IR2 = 0.2187 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 30 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​18 VR2​20 ΩAR4​12 ΩBR6​20 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 10 + 20 = 30 Ω
R4 ∥ 30 = 8.571 Ω
R3 + 8.571 = 18.57 Ω
R2 ∥ 18.57 = 9.63 Ω
Req = R1 + 9.63 = 30 + 9.63 = 39.63 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 18/39.63 = 0.4542 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 0.4542·30 = 4.374 V
IR2 = VA/R2 = 4.374/20 = 0.2187 A

答案

IR2 = 0.2187 A
9.DC-DC 变换器

答案: Imax = 3.742 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 33.6/48 = 0.7

平均电流和纹波电流

Io = 33.6/10 = 3.36 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 14.4·0.7/(330·10⁻⁶·40·10³) = 0.7636 A

峰值电流

Imax = 3.36 + 0.7636/2 = 3.742 A

答案

Imax = 3.742 A
10.DC-DC 变换器

答案: Lcrit = 14 µH

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 10.8/36 = 0.3

边界条件

令电感平均电流等于纹波电流的一半，解出 L。

Lcrit = (1 − D)·R/(2f)

临界电感

Lcrit = (1 − 0.3)·2/(250·10³) = 14 µH

答案

Lcrit = 14 µH
11.惠斯通电桥与应变片

答案: Rth = 93.01 Ω

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

电源短路

R₁∥R₂ = 300·10/310 = 9.677 Ω
R₃∥R₄ = 500·100/600 = 83.33 Ω

戴维南电阻

Rth = 93.01 Ω

答案

Rth = 93.01 Ω
12.惠斯通电桥与应变片

答案: ε = 400 µε

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

电阻相对变化

ΔR/R = 0.287/350 = 0.00082

应变

ε = 0.00082/2.05 = 0.0004 = 400 µε

答案

ε = 400 µε
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 11

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

ABCD000111100001111000110312040507061120130150141819111110

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

B′C′D
B′CD′
AC′D′
AB′

最简 SOP 形式

F = B′C′D + B′CD′ + AC′D′ + AB′
L = 11

答案

L = 11
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 1

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

BC′D, A′C′D, A′B′D, A′B′C′, ABC′
ABCD0001111000011110X011X302041507061121130150140809X11010

必要质蕴涵项

ABC′
N = 1

答案

N = 1

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