电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）
VD = 0.7 V when conducting
放大区
VBE = 0.7 V, IC = β·IB, IE = (β + 1)·IB
固定偏置
IB = (VCC − 0.7)/RB
分压偏置
IB = (VTH − 0.7)/(RTH + (β + 1)RE)
分压器的戴维南等效
VTH = VCC·R2/(R1 + R2), RTH = R1∥R2
集电极回路
VCE = VCC − ICRC − IERE
饱和
IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC, IB ≥ IC(sat)/β

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压
Vo = D·Vin
升压
Vo = Vin/(1 − D)
反相升降压
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
理想功率平衡
VinIin = VoIo
电感纹波
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
电感平均电流
降压 Io；升压和升降压 Io/(1 − D)
输出纹波
降压 ΔIL/(8fC)；升压和升降压 Io·D/(fC)
CCM 边界
降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

  1. 判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
  2. 对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
  3. 求开关导通时的电感电压，再求 ΔIL = VL·D/(L·f)。
  4. 求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔIL/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等
+−24 V100 Ω9.1 V1500 ΩIZ​ = ?

一个 9.1 V 的齐纳稳压器通过 100 Ω 接到 24 V，并向 1500 Ω 的负载供电。求齐纳电流 IZ。

Vin = 24 VVZ = 9.1 VR = 100 ΩRL = 1500 Ω
IZ = mA
2.二极管与晶体管困难
+−≤ 26 V220 Ω5.1 V

一个 5.1 V 的齐纳稳压器有一个 220 Ω 的串联电阻。输入可能升到 26 V，负载可能被断开。求齐纳管必须耗散的最大功率 PZ,max。

Vin,max = 26 VVZ = 5.1 VR = 220 Ω
PZ,max = mW
3.运放电路中等
−+Vout​R2​ = 1 kΩV1​ = −1.5 VR1​ = 10 kΩV2​ = 1.1 VR3​ = 10 kΩR4​ = 1 kΩ

差分放大器使用采用 ±15 V 电源的理想运放，其中 R3 = R1，R4 = R2。 求输出电压 Vout。

V1 = −1.5 VV2 = 1.1 VR1 = R3 = 10 kΩR2 = R4 = 1 kΩ
Vout = V
4.运放电路困难
−+Vout​C = 1 µFVin​ = −1 VR = 1 kΩ

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±14 V。在 t = 0 施加恒定输入 Vin = −1 V 时，电容未充电。 求 t = 2 ms 时的输出电压 Vout。

Vin = −1 VR = 1 kΩC = 1 µFVsat = ±14 Vt = 2 ms
Vout = V
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​6 Vt = 0R = 33 ΩL68 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求电路稳定后电感中储存的能量 W(∞)，以 mJ 表示。

Vs = 6 VR = 33 ΩL = 68 mH
W(∞) = mJ
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​15 Vt = 0R = 2.2 kΩC68 µF+−vC​vC​(0) = 20 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 20 V，极性如图所示。 求 t = 60 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 15 VR = 2.2 kΩC = 68 µFvC(0) = 20 Vt = 60 ms
vC = V
7.串并联电阻中等
R1​ = 12 ΩIR1​R3​ = 20 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩAR4​4 ΩB

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 15 VR1 = 12 ΩR2 = 8 ΩR3 = 20 ΩR4 = 4 Ω
IR1 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 2 ΩIR1​R3​ = 2 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​36 VR2​12 ΩAR4​3 ΩBR6​25 Ω

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 36 VR1 = 2 ΩR2 = 12 ΩR3 = 2 ΩR4 = 3 ΩR5 = 25 ΩR6 = 25 Ω
IR1 = A
9.DC-DC 变换器中等
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

某理想反相升降压变换器在 100 kHz、L = 150 µH 下把 36 V 变成 −24 V。求电感纹波电流的峰峰值 ΔIL。

Vin​ = 36 VVo​ = −24 Vf = 100 kHzL = 150 µH
ΔIL = A
10.DC-DC 变换器困难
+−12 VSLC = 220 µFR = 20 Ω−+−28 V

某理想 升降压 变换器在 500 kHz 下把 12 V 变成 −28 V，负载为 20 Ω。输出电容为 220 µF。求输出电压纹波的峰峰值 ΔVo，单位为 mV。

Vin​ = 12 VVo​ = −28 Vf = 500 kHzC = 220 µFR = 20 Ω
ΔVo = mV
11.惠斯通电桥与应变片中等
+−15 V400 Ω400 Ω + ΔR400 Ω400 Ωab+−Vab​ = ?

某电桥的四个臂均为 400 Ω，Vs = 15 V。传感器 R₂ 增大了 ΔR = 100 Ω。求精确输出 Vab，单位为 mV。

Vs = 15 VR = 400 ΩΔR = 100 Ω
Vab = mV
12.惠斯通电桥与应变片困难
+−12 V120 Ω − ΔR120 Ω + ΔR120 Ω + ΔR120 Ω − ΔRab+−Vo​ = ?

某称重传感器（应变片全桥）在额定载荷 50 kg 时的额定输出为 1 mV/V。激励电压为 12 V。求它在 30 kg 载荷下的输出 Vo。

1 mV/VFrated = 50 kgVs = 12 VF = 30 kg
Vo = mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABCD000111100001111010010302040517060120131151140809111010

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 7, 11, 14, 15) 的最简和之积 (POS) 形式。它有多少个和项（因子）N？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 7, 11, 14, 15)
N =
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
CLKJK123456

一个上升沿触发的 JK 触发器从 Q = 0 开始，接收到所示的输入。点选 Q 第一次从 1 回到 0 的时钟边沿。

Q₀ = 0JK
  1. 1时钟边沿 1
  2. 2时钟边沿 2
  3. 3时钟边沿 3
  4. 4时钟边沿 4
  5. 5时钟边沿 5
  6. 6时钟边沿 6

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: IZ = 142.9 mA

齐纳稳压器：反向偏置的齐纳二极管在电流保持高于最小值 IZ,min 时维持其电压 VZ。串联电阻 R 承担输入与输出之间的差值：IR = (Vin − VZ)/R。该电流分给负载 IL = VZ/RL 和齐纳管 IZ = IR − IL。按最坏情况设计：最低输入与最大负载时仍须留有 IZ,min，而最高输入与空载时齐纳管功率最大，PZ = VZ·IZ。

电阻电流

IR = 14.9/100 = 149 mA

负载电流

IL = 9.1/1500 = 6.067 mA

齐纳电流

IZ = 149 − 6.067 = 142.9 mA

答案

IZ = 142.9 mA
2.二极管与晶体管

答案: PZ,max = 484.5 mW

齐纳稳压器：反向偏置的齐纳二极管在电流保持高于最小值 IZ,min 时维持其电压 VZ。串联电阻 R 承担输入与输出之间的差值：IR = (Vin − VZ)/R。该电流分给负载 IL = VZ/RL 和齐纳管 IZ = IR − IL。按最坏情况设计：最低输入与最大负载时仍须留有 IZ,min，而最高输入与空载时齐纳管功率最大，PZ = VZ·IZ。

最坏情况的齐纳电流

IZ = 20.9/220 = 95 mA

齐纳功率

PZ = 5.1·95 = 484.5 mW

答案

PZ,max = 484.5 mW
3.运放电路

答案: Vout = 0.26 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入端的电压

R₃ 和 R₄ 流过相同的电流，所以构成分压器；反馈使 V₋ = V₊。

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 1.1·1/(10 + 1) = 0.1 V
V₋ = V₊

反相输入端的 KCL

(−1.5 − 0.1)/10 = (0.1 − Vout)/1
Vout = (R2/R1)·(V2 − V1) = (1/10)·(1.1 − (−1.5)) = 0.26 V

答案

Vout = 0.26 V
4.运放电路

答案: Vout = 2 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 1 kΩ · 1 µF = 1 ms
斜坡速率 = −Vin/(RC) = −(−1)/1 = 1 V/ms

给定时刻的输出

理想值在 ±Vsat 以内，所以积分器尚未限幅。

Vout = −Vin·t/(RC) = −(−1)·2/1 = 2 V

答案

Vout = 2 V
5.RC 和 RL 暂态

答案: W(∞) = 1.124 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 68 mH / 33 Ω = 2.061 ms
i(∞) = Vs/R = 6/33 = 0.1818 A

储存的能量

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·68·0.1818² = 1.124 mJ

答案

W(∞) = 1.124 mJ
6.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 18.35 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 20 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 2.2 kΩ · 68 µF = 149.6 ms
vC(t) = 15 + (20 − 15)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(60) = 15 + (5)·e−60/149.6 = 18.35 V

答案

vC = 18.35 V
7.串并联电阻

答案: IR1 = 0.8333 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 12 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩAR4​4 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 20 + 4 = 24 Ω
R2 ∥ 24 = 8·24/(8+24) = 6 Ω
Req = R1 + 6 = 12 + 6 = 18 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 15/18 = 0.8333 A

答案

IR1 = 0.8333 A
8.串并联电阻

答案: IR1 = 6.613 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 2 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​36 VR2​12 ΩAR4​3 ΩBR6​25 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 25 + 25 = 50 Ω
R4 ∥ 50 = 2.83 Ω
R3 + 2.83 = 4.83 Ω
R2 ∥ 4.83 = 3.444 Ω
Req = R1 + 3.444 = 2 + 3.444 = 5.444 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 36/5.444 = 6.613 A

答案

IR1 = 6.613 A
9.DC-DC 变换器

答案: ΔIL = 0.96 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 24/(36 + 24) = 0.4

导通期间的电感电压

S 导通时，电感直接跨接在 Vin 两端。

VL = 36 V

纹波电流

ΔIL = VL·D/(L·f) = 36·0.4/(150·10⁻⁶·100·10³) = 0.96 A

答案

ΔIL = 0.96 A
10.DC-DC 变换器

答案: ΔVo = 8.909 mV

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 28/(12 + 28) = 0.7

负载电流

Io = 28/20 = 1.4 A

输出纹波

ΔVo = 1.4·0.7/(500·10³·220·10⁻⁶) = 8.909 mV

答案

ΔVo = 8.909 mV
11.惠斯通电桥与应变片

答案: Vab = 833.3 mV

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

节点电压

Va = 15·500/900 = 8.333 V
Vb = 7.5 V

出量

Vab = 833.3 mV

答案

Vab = 833.3 mV

线性估计 Vs·ΔR/(4R) = 937.5 mV 偏高 12.5 %：1/4 桥并不完全是线性的。

12.惠斯通电桥与应变片

答案: Vo = 7.2 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

满量程输出

1·12 = 12 mV

该载荷下的输出

Vo = 12·30/50 = 7.2 mV

答案

Vo = 7.2 mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 5

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

ABCD000111100001111010010302040517060120131151140809111010

圈 0

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

(B′ + C)
(B + C′ + D)
(A′ + C)
(A + C′ + D)
(A + B + D′)

最简 POS 形式

F = (B′ + C)(B + C′ + D)(A′ + C)(A + C′ + D)(A + B + D′)
N = 5

答案

N = 5

还存在另一种大小相同的圈法；它的项数和文字数相同。

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: 时钟边沿 3

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的 Q

JK 触发器：00 保持，01 复位 (Q = 0)，10 置位 (Q = 1)，11 翻转。

1: J = 0, K = 0 → Q = 0
2: J = 1, K = 0 → Q = 1
3: J = 0, K = 1 → Q = 0
4: J = 0, K = 0 → Q = 0
5: J = 0, K = 1 → Q = 0
6: J = 1, K = 1 → Q = 1

第一次从 1 变为 0

时钟边沿 3

答案

时钟边沿 3

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