电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）
VD = 0.7 V when conducting
放大区
VBE = 0.7 V, IC = β·IB, IE = (β + 1)·IB
固定偏置
IB = (VCC − 0.7)/RB
分压偏置
IB = (VTH − 0.7)/(RTH + (β + 1)RE)
分压器的戴维南等效
VTH = VCC·R2/(R1 + R2), RTH = R1∥R2
集电极回路
VCE = VCC − ICRC − IERE
饱和
IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC, IB ≥ IC(sat)/β

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压
Vo = D·Vin
升压
Vo = Vin/(1 − D)
反相升降压
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
理想功率平衡
VinIin = VoIo
电感纹波
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
电感平均电流
降压 Io；升压和升降压 Io/(1 − D)
输出纹波
降压 ΔIL/(8fC)；升压和升降压 Io·D/(fC)
CCM 边界
降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

  1. 判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
  2. 对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
  3. 求开关导通时的电感电压，再求 ΔIL = VL·D/(L·f)。
  4. 求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔIL/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等
+−24 VR = ?3 × 2 V10 mA

3 个红球 LED（每个正向电压 2 V）与一个电阻串联，接到 24 V 电源上。求使电流为 10 mA 的电阻 R。

Vs = 24 VVF = 2 Vn = 3I = 10 mA
R = Ω
2.二极管与晶体管困难
RC​ = 470 Ωβ = 150IC​ = ?VCC​ = 9 V3.3 VRB​ = 4.7 kΩ

一只 β = 150 的 NPN 晶体管控制一个接在 VCC = 9 V 与其集电极之间的 470 Ω 负载电阻。发射极接地。基极由 3.3 V 逻辑输出经基极电阻 RB = 4.7 kΩ 驱动。取 VBE = 0.7 V，VCE(sat) = 0.2 V。 求输入为高电平时的集电极电流 IC，以 mA 计。先判断晶体管是否饱和。

VCC = 9 VRC = 470 Ωβ = 150Vin = 3.3 VVBE = 0.7 VVCE(sat) = 0.2 VRB = 4.7 kΩ
IC = mA
3.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = 1 kΩR1​ = 1 kΩVin​ = 5 VRa​ = 1 kΩRb​ = 4.7 kΩ

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。 求输出电压 Vout。

Vin = 5 VRa = 1 kΩRb = 4.7 kΩR1 = 1 kΩRf = 1 kΩ
Vout = V
4.运放电路困难
−+Vout​Rf​ = 10 kΩV1​ = −0.8 VR1​ = 10 kΩV2​ = −1.4 VR2​ = 100 kΩ

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。 求输出电压 Vout。

V1 = −0.8 VV2 = −1.4 VR1 = 10 kΩR2 = 100 kΩRf = 10 kΩ
Vout = V
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​20 Vt = 0R = 22 ΩL100 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 10 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。

Vs = 20 VR = 22 ΩL = 100 mHt = 10 ms
W = mJ
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​12 VR1​ = 5 ΩR2​ = 47 Ω在 t = 0 断开L33 mHi(t)

跨接在 R2 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。 t = 0 之后多长时间电感电流达到 0.882 A？求 t。

Vs = 12 VR1 = 5 ΩR2 = 47 ΩL = 33 mH
t = ms
7.串并联电阻中等
R1​ = 3 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​12 VR2​4 ΩAR4​5 ΩB

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 12 VR1 = 3 ΩR2 = 4 ΩR3 = 15 ΩR4 = 5 Ω
Req = Ω
8.串并联电阻困难
R1​ = 10 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​10 VR2​4 ΩAR4​25 ΩBR6​20 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 10 VR1 = 10 ΩR2 = 4 ΩR3 = 12 ΩR4 = 25 ΩR5 = 10 ΩR6 = 20 Ω
Req = Ω
9.DC-DC 变换器中等
+−9 VLSCR = 20 Ω+−30 V

某理想升压变换器把 9 V 变成 30 V，负载为 20 Ω。求电感平均电流 IL。

Vin​ = 9 VVo​ = 30 VR = 20 Ω
IL = A
10.DC-DC 变换器困难
+−36 VLSC = 47 µFR = 50 Ω+−90 V

某理想 升压 变换器在 100 kHz 下把 36 V 变成 90 V，负载为 50 Ω。输出电容为 47 µF。求输出电压纹波的峰峰值 ΔVo，单位为 mV。

Vin​ = 36 VVo​ = 90 Vf = 100 kHzC = 47 µFR = 50 Ω
ΔVo = mV
11.惠斯通电桥与应变片中等
+−6 VR1​ = 120 ΩR2​ = 250 ΩR3​ = 10 ΩR4​ = 600 Ωab+−Rth​ = ?

求图示电桥从输出端 a、b 看进去的戴维南电阻 Rth。

Vs = 6 VR1 = 120 ΩR2 = 250 ΩR3 = 10 ΩR4 = 600 Ω
Rth = Ω
12.惠斯通电桥与应变片困难
+−10 V350 Ω350 Ω + ΔR350 Ω350 Ωab+−1 mV

某 1/4 桥有一个工作应变片（GF = 2），激励电压为 10 V。受载时输出读数为 1 mV。求应变 ε，单位为 µε。

Vs = 10 VGF = 2Vo = 1 mV
ε = µε
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABC000111100101324576

把 F = ABC′ + AC + B′C′ 化简为最简积之和形式。化简后的表达式包含多少个文字 L？

F = ABC′ + AC + B′C′
L =
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
DQ0​Q0​DQ1​Q1​DQ2​Q2​DQ3​Q3​DQ4​Q4​DQ5​Q5​DQ6​Q6​DQ7​Q7​CLKRING

一个环形计数器由 8 个 D 触发器构成，最后一个输出反馈到第一个输入，并从单个 1 开始。它经历多少种不同的状态 N？

n = 8
N =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: R = 1800 Ω

LED 与二极管电路：正向偏置的 LED 无论电流多大，压降都约为其正向电压 VF（红光约 2 V，蓝光或白光约 3 V）。串联电阻决定电流：n 个 LED 串联时 R = (Vs − n·VF)/I。用更精确的二极管模型 V = V₀ + I·rd 时，工作点在二极管线与负载线 I = (Vs − V)/R 相交处，所以 I = (Vs − V₀)/(R + rd)。

电阻两端的电压

VR = 24 − 3·2 = 18 V

电阻

R = 18/0.01 = 1800 Ω

答案

R = 1800 Ω

电阻耗散 180 mW。

2.二极管与晶体管

答案: IC = 18.72 mA

BJT 用作开关：要使负载完全导通，晶体管须驱动到饱和，此时 VCE = VCE(sat)，集电极电流由负载决定：IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC。饱和至少需要 IB = IC(sat)/β。若基极电流更小，晶体管仍处于放大区，IC = β·IB。

基极电流

IB = (3.3 − 0.7)/4.7 kΩ = 553.2 µA

饱和还是放大？

β·IB 大于 IC(sat)，所以晶体管饱和。

β·IB = 82.98 mA
IC(sat) = (9 − 0.2)/470 = 18.72 mA

集电极电流

IC = IC(sat) = 18.72 mA

答案

IC = 18.72 mA

晶体管处于饱和状态。

3.运放电路

答案: Vout = 8.246 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = Vin·Rb/(Ra + Rb) = 5·4.7/(1 + 4.7) = 4.123 V

同相增益

V₋ = V₊，流过 R₁ 的电流也流过 Rf。

Vout = V₊·(1 + Rf/R1) = 4.123·(1 + 1/1) = 8.246 V

答案

Vout = 8.246 V
4.运放电路

答案: Vout = 0.94 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I1 = V1/R1 = −0.8/10 = −0.08 mA
I2 = V2/R2 = −1.4/100 = −0.014 mA
If = I1 + I2 = −0.094 mA

输出电压

Vout = −Rf·If = −10·(−0.094) = 0.94 V

答案

Vout = 0.94 V
5.RC 和 RL 暂态

答案: W = 32.67 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 100 mH / 22 Ω = 4.545 ms
i(∞) = Vs/R = 20/22 = 0.9091 A

给定时刻的电流

i(t) = 0.9091·(1 − e−10/4.545) = 0.8084 A

储存的能量

W = ½·L·i² = ½·100·0.8084² = 32.67 mJ

答案

W = 32.67 mJ
6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 0.7636 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。

i(0) = 12/5 = 2.4 A
i(∞) = 12/(5 + 47) = 0.2308 A
τ = L/R = 33/52 = 0.6346 ms
i(t) = 0.2308 + (2.4 − 0.2308)·e−t/τ

求解时间

e−t/τ = (0.882 − 0.2308)/(2.4 − 0.2308) = 0.3002
t = 0.6346·ln(3.331) = 0.7636 ms

答案

t = 0.7636 ms
7.串并联电阻

答案: Req = 6.333 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 3 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​12 VR2​4 ΩAR4​5 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 15 + 5 = 20 Ω
R2 ∥ 20 = 4·20/(4+20) = 3.333 Ω
Req = R1 + 3.333 = 3 + 3.333 = 6.333 Ω

答案

Req = 6.333 Ω
8.串并联电阻

答案: Req = 13.46 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 10 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​10 VR2​4 ΩAR4​25 ΩBR6​20 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 10 + 20 = 30 Ω
R4 ∥ 30 = 13.64 Ω
R3 + 13.64 = 25.64 Ω
R2 ∥ 25.64 = 3.46 Ω
Req = R1 + 3.46 = 10 + 3.46 = 13.46 Ω

答案

Req = 13.46 Ω
9.DC-DC 变换器

答案: IL = 5 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 1 − 9/30 = 0.7

负载电流

Io = 30/20 = 1.5 A

电感电流

IL = Io/(1 − D) = 1.5/0.3 = 5 A

答案

IL = 5 A
10.DC-DC 变换器

答案: ΔVo = 229.8 mV

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 1 − 36/90 = 0.6

负载电流

Io = 90/50 = 1.8 A

输出纹波

ΔVo = 1.8·0.6/(100·10³·47·10⁻⁶) = 229.8 mV

答案

ΔVo = 229.8 mV
11.惠斯通电桥与应变片

答案: Rth = 90.92 Ω

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

电源短路

R₁∥R₂ = 120·250/370 = 81.08 Ω
R₃∥R₄ = 10·600/610 = 9.836 Ω

戴维南电阻

Rth = 90.92 Ω

答案

Rth = 90.92 Ω
12.惠斯通电桥与应变片

答案: ε = 200 µε

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

解 1/4 桥方程

ε = 4·0.001/(10·2) = 0.0002

以微应变表示

ε = 200 µε

答案

ε = 200 µε
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 3

布尔代数：化简表达式的规则有 X + X′ = 1 和 X·X′ = 0、X + X = X、吸收律 X + X·Y = X、合并律 X·Y + X·Y′ = X、X + X′Y = X + Y，以及一致性定理 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z。德摩根律把 (X·Y)′ 变成 X′ + Y′，把 (X + Y)′ 变成 X′·Y′。卡诺图以图形方式应用这些规则：每个由两个相邻格子组成的圈，就是一次使用 XY + XY′ = X。

表达式的最小项

ABC′ → m(6)
AC → m(5, 7)
B′C′ → m(0, 4)
ABC00011110011001030214151716

圈组并读出结果

F = B′C′ + A

数出文字个数

L = 3

答案

L = 3
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 8

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

8 个触发器的序列

10000000 → 01000000 → 00100000 → 00010000 → 00001000 → 00000100 → 00000010 → 00000001

状态数

N = 8

答案

N = 8

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