电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）
VD = 0.7 V when conducting
放大区
VBE = 0.7 V, IC = β·IB, IE = (β + 1)·IB
固定偏置
IB = (VCC − 0.7)/RB
分压偏置
IB = (VTH − 0.7)/(RTH + (β + 1)RE)
分压器的戴维南等效
VTH = VCC·R2/(R1 + R2), RTH = R1∥R2
集电极回路
VCE = VCC − ICRC − IERE
饱和
IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC, IB ≥ IC(sat)/β

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压
Vo = D·Vin
升压
Vo = Vin/(1 − D)
反相升降压
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
理想功率平衡
VinIin = VoIo
电感纹波
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
电感平均电流
降压 Io；升压和升降压 Io/(1 − D)
输出纹波
降压 ΔIL/(8fC)；升压和升降压 Io·D/(fC)
CCM 边界
降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

  1. 判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
  2. 对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
  3. 求开关导通时的电感电压，再求 ΔIL = VL·D/(L·f)。
  4. 求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔIL/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等
RC​ = 1 kΩβ = 200IC​ = ?RE​ = 1 kΩVCC​ = 12 VR1​ = 68 kΩR2​ = 15 kΩ

一只 β = 200 的 NPN 晶体管由 VCC = 12 V 分压偏置：R₁ = 68 kΩ 接在 VCC 与基极之间，R₂ = 15 kΩ 接在基极与地之间。集电极电阻为 RC = 1 kΩ，发射极电阻为 RE = 1 kΩ。取 VBE = 0.7 V，并使用分压器的戴维南等效电路（不忽略基极电流）。 求集电极电流 IC，以 mA 计。

VCC = 12 VR1 = 68 kΩR2 = 15 kΩRC = 1 kΩRE = 1 kΩβ = 200
IC = mA
2.二极管与晶体管困难
+−≤ 26 V100 Ω9.1 V

一个 9.1 V 的齐纳稳压器有一个 100 Ω 的串联电阻。输入可能升到 26 V，负载可能被断开。求齐纳管必须耗散的最大功率 PZ,max。

Vin,max = 26 VVZ = 9.1 VR = 100 Ω
PZ,max = mW
3.运放电路中等
−+Vout​R2​ = 4.7 kΩV1​ = 2.4 VR1​ = 2 kΩV2​ = −1.3 VR3​ = 2 kΩR4​ = 4.7 kΩ

差分放大器使用采用 ±15 V 电源的理想运放，其中 R3 = R1，R4 = R2。 求反相输入端的电压 V−。

V1 = 2.4 VV2 = −1.3 VR1 = R3 = 2 kΩR2 = R4 = 4.7 kΩ
V− = V
4.运放电路困难
−+Vout​R2​ = 22 kΩV1​ = 0.3 VR1​ = 10 kΩV2​ = 1.3 VR3​ = 1 kΩR4​ = 10 kΩ

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。 电阻比不匹配。求输出电压 Vout。

V1 = 0.3 VV2 = 1.3 VR1 = 10 kΩR2 = 22 kΩR3 = 1 kΩR4 = 10 kΩ
Vout = V
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​10 Vt = 0R = 33 ΩL100 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 5 ms 时电感两端的电压 vL。

Vs = 10 VR = 33 ΩL = 100 mHt = 5 ms
vL = V
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​5 Vt = 0R = 4.7 kΩC?+−vC​

一个定时器在 t = 0 时开始用 5 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 3.16 V 时它必须触发，恰好在开始后 20 ms。 已知 R = 4.7 kΩ，求所需的电容 C。

Vs = 5 VVth = 3.16 VT = 20 msR = 4.7 kΩ
C = µF
7.串并联电阻中等
R1​ = 3 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩIR2​AR4​8 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 12 VR1 = 3 ΩR2 = 20 ΩR3 = 8 ΩR4 = 8 Ω
IR2 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 8 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​9 VR2​30 ΩAR4​25 ΩBR6​6 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 9 VR1 = 8 ΩR2 = 30 ΩR3 = 30 ΩR4 = 25 ΩR5 = 30 ΩR6 = 6 Ω
Req = Ω
9.DC-DC 变换器中等
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

某理想反相升降压变换器在 50 kHz、L = 220 µH 下把 9 V 变成 −9 V。求电感纹波电流的峰峰值 ΔIL。

Vin​ = 9 VVo​ = −9 Vf = 50 kHzL = 220 µH
ΔIL = A
10.DC-DC 变换器困难
tiL​Imax​IL​DTT2T

某理想反相升降压变换器在 25 kHz 下把 48 V 变成 −48 V，负载为 20 Ω。求连续导通所需的最小电感 Lcrit。

Vin​ = 48 VVo​ = −48 Vf = 25 kHzR = 20 Ω
Lcrit = µH
11.惠斯通电桥与应变片中等
+−10 V220 Ω220 Ω + ΔR220 Ω220 Ωab+−Vab​ = ?

某电桥的四个臂均为 220 Ω，Vs = 10 V。传感器 R₂ 增大了 ΔR = 33 Ω。求精确输出 Vab，单位为 mV。

Vs = 10 VR = 220 ΩΔR = 33 Ω
Vab = mV
12.惠斯通电桥与应变片困难
+−10 V120 Ω − ΔR120 Ω + ΔR120 Ω + ΔR120 Ω − ΔRab+−Vo​ = ?

某电桥的各臂为 120 Ω，激励电压为 10 V，采用 四个工作应变片，两个受拉、两个受压（全桥）。灵敏系数为 2.12，应变为 600 µε。求电桥输出 Vo，单位为 mV。

Vs = 10 VGF = 2.12ε = 600 µε
Vo = mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABC00011110011001130214151716

用卡诺图求 F(A, B, C) = Σm(0, 3, 4, 5, 6, 7) 的最简积之和 (SOP) 形式。它总共包含多少个文字 L（带撇的变量算一个文字）？

F(A, B, C) = Σm(0, 3, 4, 5, 6, 7)
L =
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
ABCD00011110000111100001130204151706012X13X15X141809111010

对于 F(A, B, C, D) = Σm(3, 5, 7, 8, 11) + d(13, 14, 15)（其中 d 表示无关项），求必要质蕴涵项的个数 N。

F(A, B, C, D) = Σm(3, 5, 7, 8, 11) + d(13, 14, 15)
N =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: IC = 1.377 mA

BJT 静态工作点：在放大区，VBE = 0.7 V，IC = β·IB，IE = (β + 1)·IB。用 KVL 由基极回路求 IB，再求 IC，然后由集电极–发射极回路求 VCE。基极的分压器用其戴维南等效电路代替：VTH = VCC·R₂/(R₁ + R₂)，RTH = R₁∥R₂；发射极电阻在基极回路中相当于放大了 (β + 1) 倍。

分压器的戴维南等效

VTH = 12·15/(68 + 15) = 2.169 V
RTH = 68·15/(68 + 15) = 12.29 kΩ

基极电流

沿基极回路列 KVL；发射极电流为 (β + 1)·IB。

IB = (2.169 − 0.7)/(12.29 + 201·1) = 6.886 µA

集电极电流

IC = 200·6.886 µA = 1.377 mA
IE = 201·6.886 µA = 1.384 mA

答案

IC = 1.377 mA
2.二极管与晶体管

答案: PZ,max = 1538 mW

齐纳稳压器：反向偏置的齐纳二极管在电流保持高于最小值 IZ,min 时维持其电压 VZ。串联电阻 R 承担输入与输出之间的差值：IR = (Vin − VZ)/R。该电流分给负载 IL = VZ/RL 和齐纳管 IZ = IR − IL。按最坏情况设计：最低输入与最大负载时仍须留有 IZ,min，而最高输入与空载时齐纳管功率最大，PZ = VZ·IZ。

最坏情况的齐纳电流

IZ = 16.9/100 = 169 mA

齐纳功率

PZ = 9.1·169 = 1538 mW

答案

PZ,max = 1538 mW
3.运放电路

答案: V− = −0.9119 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入端的电压

R₃ 和 R₄ 流过相同的电流，所以构成分压器；反馈使 V₋ = V₊。

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = −1.3·4.7/(2 + 4.7) = −0.9119 V
V₋ = V₊

答案

V− = −0.9119 V
4.运放电路

答案: Vout = 3.122 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 1.3·10/(1 + 10) = 1.182 V

叠加两个输入

V₂ = 0 时，V₁ 看到的是反相放大器。V₁ = 0 时，V₊ 被同相增益 1 + R₂/R₁ 放大。

Vout = −(22/10)·0.3 + (1 + 22/10)·1.182 = −0.66 + 3.782 = 3.122 V

答案

Vout = 3.122 V
5.RC 和 RL 暂态

答案: vL = 1.92 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 100 mH / 33 Ω = 3.03 ms
i(∞) = Vs/R = 10/33 = 0.303 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

vL(t) = Vs·e−t/τ = 10·e−5/3.03 = 1.92 V

答案

vL = 1.92 V
6.RC 和 RL 暂态

答案: C = 4.257 µF

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

所需的时间常数

3.16 = 5·(1 − e−20/τ) → τ = 20/ln(5/(5 − 3.16))
τ = 20/0.9997 = 20.01 ms

电容

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

C = τ/R = 20.01/4.7 = 4.257 µF

答案

C = 4.257 µF
7.串并联电阻

答案: IR2 = 0.4486 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 3 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAR4​8 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 8 + 8 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 20·16/(20+16) = 8.889 Ω
Req = R1 + 8.889 = 3 + 8.889 = 11.89 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 12/11.89 = 1.009 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 1.009·3 = 8.972 V
IR2 = VA/R2 = 8.972/20 = 0.4486 A

答案

IR2 = 0.4486 A
8.串并联电阻

答案: Req = 25.96 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 8 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​9 VR2​30 ΩAR4​25 ΩBR6​6 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 30 + 6 = 36 Ω
R4 ∥ 36 = 14.75 Ω
R3 + 14.75 = 44.75 Ω
R2 ∥ 44.75 = 17.96 Ω
Req = R1 + 17.96 = 8 + 17.96 = 25.96 Ω

答案

Req = 25.96 Ω
9.DC-DC 变换器

答案: ΔIL = 0.4091 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 9/(9 + 9) = 0.5

导通期间的电感电压

S 导通时，电感直接跨接在 Vin 两端。

VL = 9 V

纹波电流

ΔIL = VL·D/(L·f) = 9·0.5/(220·10⁻⁶·50·10³) = 0.4091 A

答案

ΔIL = 0.4091 A
10.DC-DC 变换器

答案: Lcrit = 100 µH

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 48/(48 + 48) = 0.5

边界条件

令电感平均电流等于纹波电流的一半，解出 L。

Lcrit = (1 − D)²·R/(2f)

临界电感

Lcrit = (1 − 0.5)²·20/(225·10³) = 100 µH

答案

Lcrit = 100 µH
11.惠斯通电桥与应变片

答案: Vab = 348.8 mV

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

节点电压

Va = 10·253/473 = 5.349 V
Vb = 5 V

出量

Vab = 348.8 mV

答案

Vab = 348.8 mV

线性估计 Vs·ΔR/(4R) = 375 mV 偏高 7.5 %：1/4 桥并不完全是线性的。

12.惠斯通电桥与应变片

答案: Vo = 12.72 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

电阻相对变化

ΔR/R = 2.12·600·10⁻⁶ = 0.001272

电桥输出

Vo = Vs·GF·ε = 10·0.001272 = 12.72 mV

答案

Vo = 12.72 mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 5

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

ABC00011110011001130214151716

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

B′C′
BC
A

最简 SOP 形式

F = B′C′ + BC + A
L = 5

答案

L = 5
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

CD, BD, AB′C′D′
ABCD00011110000111100001130204151706012X13X15X141809111010

必要质蕴涵项

CD, BD, AB′C′D′
N = 3

答案

N = 3

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