电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）
VD = 0.7 V when conducting
放大区
VBE = 0.7 V, IC = β·IB, IE = (β + 1)·IB
固定偏置
IB = (VCC − 0.7)/RB
分压偏置
IB = (VTH − 0.7)/(RTH + (β + 1)RE)
分压器的戴维南等效
VTH = VCC·R2/(R1 + R2), RTH = R1∥R2
集电极回路
VCE = VCC − ICRC − IERE
饱和
IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC, IB ≥ IC(sat)/β

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压
Vo = D·Vin
升压
Vo = Vin/(1 − D)
反相升降压
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
理想功率平衡
VinIin = VoIo
电感纹波
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
电感平均电流
降压 Io；升压和升降压 Io/(1 − D)
输出纹波
降压 ΔIL/(8fC)；升压和升降压 Io·D/(fC)
CCM 边界
降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

  1. 判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
  2. 对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
  3. 求开关导通时的电感电压，再求 ΔIL = VL·D/(L·f)。
  4. 求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔIL/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等
RC​ = 2.7 kΩβ = 100VCC​ = 9 VRB​ = 680 kΩ

一只 β = 100 的 NPN 晶体管由电源 VCC = 9 V 经基极电阻 RB = 680 kΩ 偏置。集电极电阻为 RC = 2.7 kΩ，发射极接地。取 VBE = 0.7 V，并假设晶体管工作在放大区。 求集电极–发射极电压 VCE。

VCC = 9 VRB = 680 kΩRC = 2.7 kΩβ = 100VBE = 0.7 V
VCE = V
2.二极管与晶体管困难
RC​ = 470 Ωβ = 50VCC​ = 9 V5 VRB​ = ?

一只 β = 50 的 NPN 晶体管控制一个接在 VCC = 9 V 与其集电极之间的 470 Ω 负载电阻。发射极接地。基极由 5 V 逻辑输出经基极电阻 RB 驱动。取 VBE = 0.7 V，VCE(sat) = 0.2 V。 为保证可靠开关，按饱和所需最小基极电流的 2 倍来设计基极电流。求 RB，以 kΩ 计。

VCC = 9 VRC = 470 Ωβ = 50Vin = 5 VVBE = 0.7 VVCE(sat) = 0.2 V过驱动系数 = 2
RB = kΩ
3.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = 4.7 kΩR1​ = 1 kΩVin​ = −0.5 VRa​ = 22 kΩRb​ = 10 kΩ

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。 求输出电压 Vout。

Vin = −0.5 VRa = 22 kΩRb = 10 kΩR1 = 1 kΩRf = 4.7 kΩ
Vout = V
4.运放电路困难
Vin​V1​Vout​第 1 级：反相R1​ = 4.7 kΩRf1​ = 22 kΩ第 2 级：同相R2​ = 100 kΩRf2​ = 4.7 kΩ

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R1，Rf1），后接一个同相放大器（R2 接地，Rf2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。 输入为 Vin = 0.7 V。求输出电压 Vout。

R1 = 4.7 kΩRf1 = 22 kΩR2 = 100 kΩRf2 = 4.7 kΩVin = 0.7 V
Vout = V
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​6 Vt = 0R = 20 ΩL150 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 开关闭合后多长时间电流达到终值的 95%？求 t。

Vs = 6 VR = 20 ΩL = 150 mH
t = ms
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​24 VR1​ = 33 ΩR2​ = 22 Ω在 t = 0 断开L150 mHi(t)

跨接在 R2 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。 求 t = 5 ms 时的电感电流 i。

Vs = 24 VR1 = 33 ΩR2 = 22 ΩL = 150 mHt = 5 ms
i = A
7.串并联电阻中等
R1​ = 6 ΩIR1​R3​ = 20 Ω+−V1​15 VR2​10 ΩAR4​4 ΩB

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 15 VR1 = 6 ΩR2 = 10 ΩR3 = 20 ΩR4 = 4 Ω
IR1 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 10 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​6 VR2​20 ΩAR4​3 ΩBR6​20 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 6 VR1 = 10 ΩR2 = 20 ΩR3 = 6 ΩR4 = 3 ΩR5 = 3 ΩR6 = 20 Ω
Req = Ω
9.DC-DC 变换器中等
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

某理想 降压 变换器在 40 kHz、L = 150 µH 下把 15 V 变成 10.5 V。求电感纹波电流的峰峰值 ΔIL。

Vin​ = 15 VVo​ = 10.5 Vf = 40 kHzL = 150 µH
ΔIL = A
10.DC-DC 变换器困难
tiL​Imax​IL​DTT2T

某理想 降压 变换器在 200 kHz 下把 15 V 变成 9 V，负载为 2 Ω。求连续导通所需的最小电感 Lcrit。

Vin​ = 15 VVo​ = 9 Vf = 200 kHzR = 2 Ω
Lcrit = µH
11.惠斯通电桥与应变片中等
+−2 V1000 Ω1000 Ω + ΔR1000 Ω1000 Ωab+−56.6 mV

某电桥的四个臂均为 1000 Ω，由 2 V 供电。当传感器 R₂ 变化时，输出读数为 Vab = 56.6 mV。求 R₂ 的精确变化量 ΔR。

Vs = 2 VR = 1000 ΩVab = 56.6 mV
ΔR = Ω
12.惠斯通电桥与应变片困难
+−10 V120 Ω120 Ω + ΔR120 Ω120 Ωab+−3.975 mV

某构件（E = 210 GPa）上的应变片（GF = 2.12）接成 1/4 桥，激励电压为 10 V。输出读数为 3.975 mV。求轴向应力 σ，单位为 MPa。

Vs = 10 VGF = 2.12Vo = 3.975 mVE = 210 GPa
σ = MPa
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABC00011110011011031204051716

用卡诺图求 F(A, B, C) = Σm(0, 1, 2, 6, 7) 的最简积之和 (SOP) 形式。它总共包含多少个文字 L（带撇的变量算一个文字）？

F(A, B, C) = Σm(0, 1, 2, 6, 7)
L =
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
ABCD00011110000111101001031214151716X12013115X1418X9X11010

求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 15) + d(9, 11, 12, 14) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它有多少个乘积项 N？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 15) + d(9, 11, 12, 14)
N =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: VCE = 5.704 V

BJT 静态工作点：在放大区，VBE = 0.7 V，IC = β·IB，IE = (β + 1)·IB。用 KVL 由基极回路求 IB，再求 IC，然后由集电极–发射极回路求 VCE。基极的分压器用其戴维南等效电路代替：VTH = VCC·R₂/(R₁ + R₂)，RTH = R₁∥R₂；发射极电阻在基极回路中相当于放大了 (β + 1) 倍。

基极电流

IB = (VCC − VBE)/RB = (9 − 0.7)/680 kΩ = 12.21 µA

集电极电流

IC = β·IB = 100·12.21 µA = 1.221 mA

集电极–发射极电压

VCE = 9 − 1.221 mA·2.7 kΩ = 5.704 V

答案

VCE = 5.704 V
2.二极管与晶体管

答案: RB = 5.741 kΩ

BJT 用作开关：要使负载完全导通，晶体管须驱动到饱和，此时 VCE = VCE(sat)，集电极电流由负载决定：IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC。饱和至少需要 IB = IC(sat)/β。若基极电流更小，晶体管仍处于放大区，IC = β·IB。

饱和时的集电极电流

IC(sat) = (9 − 0.2)/470 = 18.72 mA

最小基极电流

IB(min) = IC(sat)/β = 18.72/50 = 374.5 µA

设计基极电流

IB = 2·374.5 µA = 748.9 µA

基极电阻

RB = (5 − 0.7)/IB = 4.3 V/0.7489 mA = 5.741 kΩ

答案

RB = 5.741 kΩ
3.运放电路

答案: Vout = −0.8906 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = Vin·Rb/(Ra + Rb) = −0.5·10/(22 + 10) = −0.1563 V

同相增益

V₋ = V₊，流过 R₁ 的电流也流过 Rf。

Vout = V₊·(1 + Rf/R1) = −0.1563·(1 + 4.7/1) = −0.8906 V

答案

Vout = −0.8906 V
4.运放电路

答案: Vout = −3.431 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

各级的增益

A1 = −Rf1/R1 = −22/4.7 = −4.681
A2 = 1 + Rf2/R2 = 1 + 4.7/100 = 1.047

逐级计算

V1 = −4.681·0.7 = −3.277 V
Vout = 1.047·(−3.277) = −3.431 V

答案

Vout = −3.431 V
5.RC 和 RL 暂态

答案: t = 22.47 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 150 mH / 20 Ω = 7.5 ms
i(∞) = Vs/R = 6/20 = 0.3 A

求解时间

0.95 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.95)
t = −7.5·ln(0.05) = 22.47 ms

答案

t = 22.47 ms
6.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.4829 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。

i(0) = 24/33 = 0.7273 A
i(∞) = 24/(33 + 22) = 0.4364 A
τ = L/R = 150/55 = 2.727 ms
i(t) = 0.4364 + (0.7273 − 0.4364)·e−t/τ

给定时刻的电流

i(5) = 0.4364 + (0.2909)·e−5/2.727 = 0.4829 A

答案

i = 0.4829 A
7.串并联电阻

答案: IR1 = 1.149 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 6 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​15 VR2​10 ΩAR4​4 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 20 + 4 = 24 Ω
R2 ∥ 24 = 10·24/(10+24) = 7.059 Ω
Req = R1 + 7.059 = 6 + 7.059 = 13.06 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 15/13.06 = 1.149 A

答案

IR1 = 1.149 A
8.串并联电阻

答案: Req = 16.04 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 10 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​6 VR2​20 ΩAR4​3 ΩBR6​20 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 3 + 20 = 23 Ω
R4 ∥ 23 = 2.654 Ω
R3 + 2.654 = 8.654 Ω
R2 ∥ 8.654 = 6.04 Ω
Req = R1 + 6.04 = 10 + 6.04 = 16.04 Ω

答案

Req = 16.04 Ω
9.DC-DC 变换器

答案: ΔIL = 0.525 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 10.5/15 = 0.7

导通期间的电感电压

S 导通时，电感连接在 Vin 和 Vo 之间。

VL = 15 − 10.5 = 4.5 V

纹波电流

ΔIL = VL·D/(L·f) = 4.5·0.7/(150·10⁻⁶·40·10³) = 0.525 A

答案

ΔIL = 0.525 A
10.DC-DC 变换器

答案: Lcrit = 2 µH

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 9/15 = 0.6

边界条件

令电感平均电流等于纹波电流的一半，解出 L。

Lcrit = (1 − D)·R/(2f)

临界电感

Lcrit = (1 − 0.6)·2/(2200·10³) = 2 µH

答案

Lcrit = 2 µH
11.惠斯通电桥与应变片

答案: ΔR = 120 Ω

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

节点电压

Va = 1 + 0.0566 = 1.057 V

解分压公式

R₂ = 1000·1.057/(2 − 1.057) = 1120 Ω
ΔR = 1120 − 1000 = 120 Ω

答案

ΔR = 120 Ω
12.惠斯通电桥与应变片

答案: σ = 157.5 MPa

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

应变

ε = 4·0.003975/(10·2.12) = 0.00075

应力

σ = 210·10³ MPa·0.00075 = 157.5 MPa

答案

σ = 157.5 MPa
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 6

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

ABC00011110011011031204051716

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

BC′
A′B′
AB

最简 SOP 形式

F = BC′ + A′B′ + AB
L = 6

答案

L = 6

还存在另一种大小相同的圈法；它的项数和文字数相同。

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 4

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

C′D′, BD′, BC, A′D′, ACD, A′B, AB′C′
ABCD00011110000111101001031214151716X12013115X1418X9X11010

最小覆盖

F = C′D′ + BC + A′D′ + A′B
N = 4

答案

N = 4

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