电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）: V_D = 0.7 V when conducting
放大区: V_BE = 0.7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
固定偏置: I_B = (V_CC − 0.7)/R_B
分压偏置: I_B = (V_TH − 0.7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
分压器的戴维南等效: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
集电极回路: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
饱和: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压: V_o = D·V_in
升压: V_o = V_in/(1 − D)
反相升降压: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
理想功率平衡: V_inI_in = V_oI_o
电感纹波: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
电感平均电流: 降压 I_o；升压和升降压 I_o/(1 − D)
输出纹波: 降压 ΔI_L/(8fC)；升压和升降压 I_o·D/(fC)
CCM 边界: 降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
求开关导通时的电感电压，再求 ΔI_L = V_L·D/(L·f)。
求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔI_L/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
出量: V_ab = V_a − V_b
平衡: R₁/R₂ = R₃/R₄
滑线电桥: R/R_x = l/(100 − l)
戴维南电阻: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
灵敏系数: ΔR/R = GF·ε
电桥输出: 1/4 桥 V_s·GF·ε/4，半桥 V_s·GF·ε/2，全桥 V_s·GF·ε
小变化，一个臂: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
应力: σ = E·ε

方法

把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
对不平衡电桥，由分压器求出 V_a 和 V_b 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 V_s·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等

3 个黄色 LED（每个正向电压 2.1 V）与一个电阻串联，接到 12 V 电源上。求使电流为 15 mA 的电阻 R。

V_s = 12 VV_F = 2.1 Vn = 3I = 15 mA

R = Ω

2.二极管与晶体管困难

一只 β = 100 的 NPN 晶体管控制一个接在 V_CC = 5 V 与其集电极之间的 220 Ω 负载电阻。发射极接地。基极由 5 V 逻辑输出经基极电阻 R_B 驱动。取 V_BE = 0.7 V，V_CE(sat) = 0.2 V。为保证可靠开关，按饱和所需最小基极电流的 4 倍来设计基极电流。求 R_B，以 kΩ 计。

V_CC = 5 VR_C = 220 Ωβ = 100V_in = 5 VV_BE = 0.7 VV_CE(sat) = 0.2 V过驱动系数 = 4

R_B = kΩ

3.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 3 VR_a = 4.7 kΩR_b = 2 kΩR₁ = 2 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

4.运放电路困难

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±13 V。在 t = 0 施加恒定输入 V_in = −0.7 V 时，电容未充电。求 t = 5 ms 时的输出电压 V_out。

V_in = −0.7 VR = 2.2 kΩC = 0.47 µFV_sat = ±13 Vt = 5 ms

V_out = V

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时的电流 i。

V_s = 6 VR = 50 ΩL = 68 mHt = 1 ms

i = A

6.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 15 V，极性如图所示。求 t = 150 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 9 VR = 4.7 kΩC = 47 µFv_C(0) = 15 Vt = 150 ms

v_C = V

7.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

8.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 18 VR₁ = 30 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 10 Ω

R_eq = Ω

9.DC-DC 变换器中等

某理想降压变换器在 200 kHz、L = 22 µH 下把 36 V 变成 21.6 V。求电感纹波电流的峰峰值 ΔI_L。

Vin = 36 VVo = 21.6 Vf = 200 kHzL = 22 µH

ΔI_L = A

10.DC-DC 变换器困难

某理想升压变换器在 20 kHz 下把 36 V 变成 144 V，负载为 5 Ω。输出电容为 470 µF。求输出电压纹波的峰峰值 ΔV_o，单位为 mV。

Vin = 36 VVo = 144 Vf = 20 kHzC = 470 µFR = 5 Ω

ΔV_o = mV

11.惠斯通电桥与应变片中等

一个 150 Ω 的应变片是电桥的一个臂（R₂），电桥四个臂均为 150 Ω，激励电压为 5 V。求应变片上消耗的功率 P_g，单位为 mW。自热限制了激励电压。

V_s = 5 VR = 150 Ω

P_g = mW

12.惠斯通电桥与应变片困难

一个 1000 Ω、灵敏系数为 2.12 的应变片贴在钢棒上。受载时其电阻增大了 1.06 Ω。求应变 ε，单位为微应变（µε）。

R = 1000 ΩGF = 2.12ΔR = 1.06 Ω

ε = µε

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 4, 8, 12, 13, 14, 15) 的最简和之积 (POS) 形式。它有多少个和项（因子）N？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 4, 8, 12, 13, 14, 15)

N =

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

一个上升沿触发的 JK 触发器从 Q = 0 开始，在 6 个时钟上升沿接收到所示的输入。Q 改变状态的次数 N 是多少？

Q₀ = 0JK

N =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: R = 380 Ω

LED 与二极管电路：正向偏置的 LED 无论电流多大，压降都约为其正向电压 V_F（红光约 2 V，蓝光或白光约 3 V）。串联电阻决定电流：n 个 LED 串联时 R = (V_s − n·V_F)/I。用更精确的二极管模型 V = V₀ + I·r_d 时，工作点在二极管线与负载线 I = (V_s − V)/R 相交处，所以 I = (V_s − V₀)/(R + r_d)。

电阻两端的电压

V_R = 12 − 3·2.1 = 5.7 V

电阻

R = 5.7/0.015 = 380 Ω

答案

R = 380 Ω

电阻耗散 85.5 mW。

2.二极管与晶体管

答案: R_B = 4.927 kΩ

BJT 用作开关：要使负载完全导通，晶体管须驱动到饱和，此时 V_CE = V_CE(sat)，集电极电流由负载决定：I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C。饱和至少需要 I_B = I_C(sat)/β。若基极电流更小，晶体管仍处于放大区，I_C = β·I_B。

饱和时的集电极电流

I_C(sat) = (5 − 0.2)/220 = 21.82 mA

最小基极电流

I_B(min) = I_C(sat)/β = 21.82/100 = 218.2 µA

设计基极电流

I_B = 4·218.2 µA = 872.7 µA

基极电阻

R_B = (5 − 0.7)/I_B = 4.3 V/0.8727 mA = 4.927 kΩ

答案

R_B = 4.927 kΩ

3.运放电路

答案: V_out = 10.75 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 3·2/(4.7 + 2) = 0.8955 V

同相增益

V₋ = V₊，流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 0.8955·(1 + 22/2) = 10.75 V

答案

V_out = 10.75 V

4.运放电路

答案: V_out = 3.385 V

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 2.2 kΩ · 0.47 µF = 1.034 ms

斜坡速率 = −V_in/(RC) = −(−0.7)/1.034 = 0.677 V/ms

给定时刻的输出

理想值在 ±V_sat 以内，所以积分器尚未限幅。

V_out = −V_in·t/(RC) = −(−0.7)·5/1.034 = 3.385 V

答案

V_out = 3.385 V

5.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.06248 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 68 mH / 50 Ω = 1.36 ms

i(∞) = V_s/R = 6/50 = 0.12 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.12·(1 − e^−1/1.36) = 0.06248 A

答案

i = 0.06248 A

6.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 12.04 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 15 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 4.7 kΩ · 47 µF = 220.9 ms

v_C(t) = 9 + (15 − 9)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(150) = 9 + (6)·e^−150/220.9 = 12.04 V

答案

v_C = 12.04 V

7.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.7025 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 4 + 10 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 20·14/(20+14) = 8.235 Ω

R_eq = R₁ + 8.235 = 6 + 8.235 = 14.24 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/14.24 = 0.7025 A

答案

I_R1 = 0.7025 A

8.串并联电阻

答案: R_eq = 40.53 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 30 + 10 = 40 Ω

R₄ ∥ 40 = 15.38 Ω

R₃ + 15.38 = 35.38 Ω

R₂ ∥ 35.38 = 10.53 Ω

R_eq = R₁ + 10.53 = 30 + 10.53 = 40.53 Ω

答案

R_eq = 40.53 Ω

9.DC-DC 变换器

答案: ΔI_L = 1.964 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）V_o = D·V_in，升压（boost）V_o = V_in/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|V_o| = V_in·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：V_in·I_in = V_o·I_o。开关导通期间，电感电流上升 ΔI_L = V_L·D·T/L，其中降压变换器的 V_L = V_in − V_o，升压和升降压变换器为 V_in。输出纹波对降压变换器为 ΔV_o = ΔI_L/(8fC)，对升压和升降压变换器为 I_o·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔI_L/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 21.6/36 = 0.6

导通期间的电感电压

S 导通时，电感连接在 V_in 和 V_o 之间。

V_L = 36 − 21.6 = 14.4 V

纹波电流

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 14.4·0.6/(22·10⁻⁶·200·10³) = 1.964 A

答案

ΔI_L = 1.964 A

10.DC-DC 变换器

答案: ΔV_o = 2298 mV

占空比

D = 1 − 36/144 = 0.75

负载电流

I_o = 144/5 = 28.8 A

输出纹波

ΔV_o = 28.8·0.75/(20·10³·470·10⁻⁶) = 2298 mV

答案

ΔV_o = 2298 mV

11.惠斯通电桥与应变片

答案: P_g = 41.67 mW

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 V_s。左侧分压器 R₁–R₂ 给出 V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂)，右侧分压器 R₃–R₄ 给出 V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)；输出为 V_ab = V_a − V_b。当 R₁/R₂ = R₃/R₄，即 R₁·R₄ = R₂·R₃ 时，电桥平衡（V_ab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄。

应变片两端的电压

V = 5/2 = 2.5 V

功率

P_g = 2.5²/150 = 41.67 mW

答案

P_g = 41.67 mW

12.惠斯通电桥与应变片

答案: ε = 500 µε

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 V_o ≈ V_s·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 V_s·GF·ε/2，四个（全桥）给出 V_s·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

电阻相对变化

ΔR/R = 1.06/1000 = 0.00106

应变

ε = 0.00106/2.12 = 0.0005 = 500 µε

答案

ε = 500 µε

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 4

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

圈 0

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

(B + C′ + D)

(A + C + D′)

(A′ + B + D′)

(A + B′ + C′)

最简 POS 形式

F = (B + C′ + D)(A + C + D′)(A′ + B + D′)(A + B′ + C′)

N = 4

答案

N = 4

还存在另一种大小相同的圈法；它的项数和文字数相同。

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 2

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的 Q

JK 触发器：00 保持，01 复位 (Q = 0)，10 置位 (Q = 1)，11 翻转。

1: J = 0, K = 0 → Q = 0

2: J = 0, K = 1 → Q = 0

3: J = 1, K = 0 → Q = 1

4: J = 0, K = 0 → Q = 1

5: J = 0, K = 1 → Q = 0

6: J = 0, K = 1 → Q = 0

数出变化的次数

0 → 0 → 0 → 1 → 1 → 0 → 0

N = 2

答案

N = 2

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