电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）
VD = 0.7 V when conducting
放大区
VBE = 0.7 V, IC = β·IB, IE = (β + 1)·IB
固定偏置
IB = (VCC − 0.7)/RB
分压偏置
IB = (VTH − 0.7)/(RTH + (β + 1)RE)
分压器的戴维南等效
VTH = VCC·R2/(R1 + R2), RTH = R1∥R2
集电极回路
VCE = VCC − ICRC − IERE
饱和
IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC, IB ≥ IC(sat)/β

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压
Vo = D·Vin
升压
Vo = Vin/(1 − D)
反相升降压
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
理想功率平衡
VinIin = VoIo
电感纹波
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
电感平均电流
降压 Io；升压和升降压 Io/(1 − D)
输出纹波
降压 ΔIL/(8fC)；升压和升降压 Io·D/(fC)
CCM 边界
降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

  1. 判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
  2. 对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
  3. 求开关导通时的电感电压，再求 ΔIL = VL·D/(L·f)。
  4. 求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔIL/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等
RC​ = 1 kΩβ = 80RE​ = 680 ΩVCC​ = 20 VR1​ = 82 kΩR2​ = 22 kΩ

一只 β = 80 的 NPN 晶体管由 VCC = 20 V 分压偏置：R₁ = 82 kΩ 接在 VCC 与基极之间，R₂ = 22 kΩ 接在基极与地之间。集电极电阻为 RC = 1 kΩ，发射极电阻为 RE = 680 Ω。取 VBE = 0.7 V，并使用分压器的戴维南等效电路（不忽略基极电流）。 求集电极–发射极电压 VCE。

VCC = 20 VR1 = 82 kΩR2 = 22 kΩRC = 1 kΩRE = 680 Ωβ = 80
VCE = V
2.二极管与晶体管困难
+−≥ 24 VR = ?9.1 V≤ 25 mA

一个 9.1 V 的齐纳稳压器必须向负载提供最多 25 mA。输入可能降到 24 V，齐纳管至少需要 1 mA 才能稳压。求能保持稳压的最大串联电阻 Rmax。

Vin,min = 24 VVZ = 9.1 VIL,max = 25 mAIZ,min = 1 mA
Rmax = Ω
3.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = 100 kΩR1​ = 22 kΩVin​ = −0.9 V

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。 求输出电压 Vout。

Vin = −0.9 VR1 = 22 kΩRf = 100 kΩ
Vout = V
4.运放电路困难
−+Vout​R2​ = 1 kΩV1​ = 0.7 VR1​ = 22 kΩV2​ = −0.6 VR3​ = 10 kΩR4​ = 10 kΩ

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。 电阻比不匹配。求输出电压 Vout。

V1 = 0.7 VV2 = −0.6 VR1 = 22 kΩR2 = 1 kΩR3 = 10 kΩR4 = 10 kΩ
Vout = V
5.RC 和 RL 暂态中等
R = 33 Ωt = 0L47 mHi(t)

电感中流过 2.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 求 t = 1 ms 时的电流 i。

i(0) = 2.5 AR = 33 ΩL = 47 mHt = 1 ms
i = A
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​15 V在 t = 0 断开R1​ = 3.3 kΩR2​ = 3.3 kΩC47 µF+−vC​

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。 求 t = 120 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 15 VR1 = 3.3 kΩR2 = 3.3 kΩC = 47 µFt = 120 ms
vC = V
7.串并联电阻中等
R1​ = 3 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​15 VR2​10 ΩAR4​10 ΩB

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 15 VR1 = 3 ΩR2 = 10 ΩR3 = 2 ΩR4 = 10 Ω
Req = Ω
8.串并联电阻困难
R1​ = 25 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩIR2​AR4​2 ΩBR6​10 Ω

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 9 VR1 = 25 ΩR2 = 4 ΩR3 = 10 ΩR4 = 2 ΩR5 = 3 ΩR6 = 10 Ω
IR2 = A
9.DC-DC 变换器中等
+−36 VSL = ?CR+−14.4 V

某理想降压变换器把 36 V 变成 14.4 V，开关频率为 25 kHz。求把电感纹波电流峰峰值保持在 0.5 A 的电感量 L。

Vin​ = 36 VVo​ = 14.4 Vf = 25 kHzΔIL = 0.5 A
L = µH
10.DC-DC 变换器困难
tiL​Imax​IL​DTT2T

某理想 升压 变换器在 200 kHz 下把 9 V 变成 15 V，负载为 25 Ω。求连续导通所需的最小电感 Lcrit。

Vin​ = 9 VVo​ = 15 Vf = 200 kHzR = 25 Ω
Lcrit = µH
11.惠斯通电桥与应变片中等
+−3 V100 Ω100 Ω + ΔR100 Ω100 Ωab+−Vab​ = ?

某电桥的四个臂均为 100 Ω，Vs = 3 V。传感器 R₂ 增大了 ΔR = 20 Ω。求精确输出 Vab，单位为 mV。

Vs = 3 VR = 100 ΩΔR = 20 Ω
Vab = mV
12.惠斯通电桥与应变片困难
+−3 V120 Ω − ΔR120 Ω + ΔR120 Ω120 Ωab+−Vo​ = ?

某电桥的各臂为 120 Ω，激励电压为 3 V，采用 相邻臂上的两个工作应变片，一个受拉、一个受压（半桥）。灵敏系数为 2.12，应变为 400 µε。求电桥输出 Vo，单位为 mV。

Vs = 3 VGF = 2.12ε = 400 µε
Vo = mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABCD000111100001111000010302041517160120130151141819111010

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(5, 6, 7, 8, 9, 11, 14) 的最简和之积 (POS) 形式。它有多少个和项（因子）N？

F(A, B, C, D) = Σm(5, 6, 7, 8, 9, 11, 14)
N =
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
ABCD0001111000011110X011130214150716112013015X140819011010

求 F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 4, 5, 6, 9, 12) + d(0, 14) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它有多少个乘积项 N？

F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 4, 5, 6, 9, 12) + d(0, 14)
N =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: VCE = 13.41 V

BJT 静态工作点：在放大区，VBE = 0.7 V，IC = β·IB，IE = (β + 1)·IB。用 KVL 由基极回路求 IB，再求 IC，然后由集电极–发射极回路求 VCE。基极的分压器用其戴维南等效电路代替：VTH = VCC·R₂/(R₁ + R₂)，RTH = R₁∥R₂；发射极电阻在基极回路中相当于放大了 (β + 1) 倍。

分压器的戴维南等效

VTH = 20·22/(82 + 22) = 4.231 V
RTH = 82·22/(82 + 22) = 17.35 kΩ

基极电流

沿基极回路列 KVL；发射极电流为 (β + 1)·IB。

IB = (4.231 − 0.7)/(17.35 + 81·0.68) = 48.75 µA

集电极电流

IC = 80·48.75 µA = 3.9 mA
IE = 81·48.75 µA = 3.949 mA

集电极–发射极电压

VCE = 20 − 3.9·1 − 3.949·0.68 = 13.41 V

答案

VCE = 13.41 V
2.二极管与晶体管

答案: Rmax = 573.1 Ω

齐纳稳压器：反向偏置的齐纳二极管在电流保持高于最小值 IZ,min 时维持其电压 VZ。串联电阻 R 承担输入与输出之间的差值：IR = (Vin − VZ)/R。该电流分给负载 IL = VZ/RL 和齐纳管 IZ = IR − IL。按最坏情况设计：最低输入与最大负载时仍须留有 IZ,min，而最高输入与空载时齐纳管功率最大，PZ = VZ·IZ。

最坏情况的电流

IR = 25 + 1 = 26 mA

最大电阻

Rmax = 14.9/0.026 = 573.1 Ω

答案

Rmax = 573.1 Ω
3.运放电路

答案: Vout = −4.991 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = −0.9 V
I = V₋/R1 = −0.9/22 = −0.04091 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 Rf。

Vout = V₋ + I·Rf = −0.9 + (−0.04091)·100 = −4.991 V

答案

Vout = −4.991 V
4.运放电路

答案: Vout = −0.3455 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = −0.6·10/(10 + 10) = −0.3 V

叠加两个输入

V₂ = 0 时，V₁ 看到的是反相放大器。V₁ = 0 时，V₊ 被同相增益 1 + R₂/R₁ 放大。

Vout = −(1/22)·0.7 + (1 + 1/22)·(−0.3) = −0.03182 + (−0.3136) = −0.3455 V

答案

Vout = −0.3455 V
5.RC 和 RL 暂态

答案: i = 1.239 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 47 mH / 33 Ω = 1.424 ms

电流的衰减

i(t) = 2.5·e−1/1.424 = 1.239 A

答案

i = 1.239 A
6.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 3.46 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

vC(0) = 15·3.3/(3.3 + 3.3) = 7.5 V

开关断开后的时间常数

τ = R2·C = 3.3·47 = 155.1 ms

放电

vC(t) = 7.5·e−120/155.1 = 3.46 V

答案

vC = 3.46 V
7.串并联电阻

答案: Req = 8.455 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 3 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​15 VR2​10 ΩAR4​10 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 2 + 10 = 12 Ω
R2 ∥ 12 = 10·12/(10+12) = 5.455 Ω
Req = R1 + 5.455 = 3 + 5.455 = 8.455 Ω

答案

Req = 8.455 Ω
8.串并联电阻

答案: IR2 = 0.2399 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 25 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAR4​2 ΩBR6​10 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 3 + 10 = 13 Ω
R4 ∥ 13 = 1.733 Ω
R3 + 1.733 = 11.73 Ω
R2 ∥ 11.73 = 2.983 Ω
Req = R1 + 2.983 = 25 + 2.983 = 27.98 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 9/27.98 = 0.3216 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 0.3216·25 = 0.9594 V
IR2 = VA/R2 = 0.9594/4 = 0.2399 A

答案

IR2 = 0.2399 A
9.DC-DC 变换器

答案: L = 691.2 µH

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 14.4/36 = 0.4

电感

L = 21.6·0.4/(0.5·25·10³) = 691.2 µH

答案

L = 691.2 µH
10.DC-DC 变换器

答案: Lcrit = 9 µH

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 1 − 9/15 = 0.4

边界条件

令电感平均电流等于纹波电流的一半，解出 L。

Lcrit = D(1 − D)²·R/(2f)

临界电感

Lcrit = 0.4(1 − 0.4)²·25/(2200·10³) = 9 µH

答案

Lcrit = 9 µH
11.惠斯通电桥与应变片

答案: Vab = 136.4 mV

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

节点电压

Va = 3·120/220 = 1.636 V
Vb = 1.5 V

出量

Vab = 136.4 mV

答案

Vab = 136.4 mV

线性估计 Vs·ΔR/(4R) = 150 mV 偏高 10 %：1/4 桥并不完全是线性的。

12.惠斯通电桥与应变片

答案: Vo = 1.272 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

电阻相对变化

ΔR/R = 2.12·400·10⁻⁶ = 0.000848

电桥输出

Vo = Vs·GF·ε/2 = 3·0.000848/2 = 1.272 mV

答案

Vo = 1.272 mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 4

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

ABCD000111100001111000010302041517160120130151141819111010

圈 0

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

(B + C′ + D)
(B′ + C + D)
(A + B)
(A′ + B′ + D′)

最简 POS 形式

F = (B + C′ + D)(B′ + C + D)(A + B)(A′ + B′ + D′)
N = 4

答案

N = 4
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 4

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

BD′, B′C′D, A′C′, A′B′D
ABCD0001111000011110X011130214150716112013015X140819011010

最小覆盖

F = BD′ + B′C′D + A′C′ + A′B′D
N = 4

答案

N = 4

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