电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）
VD = 0.7 V when conducting
放大区
VBE = 0.7 V, IC = β·IB, IE = (β + 1)·IB
固定偏置
IB = (VCC − 0.7)/RB
分压偏置
IB = (VTH − 0.7)/(RTH + (β + 1)RE)
分压器的戴维南等效
VTH = VCC·R2/(R1 + R2), RTH = R1∥R2
集电极回路
VCE = VCC − ICRC − IERE
饱和
IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC, IB ≥ IC(sat)/β

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压
Vo = D·Vin
升压
Vo = Vin/(1 − D)
反相升降压
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
理想功率平衡
VinIin = VoIo
电感纹波
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
电感平均电流
降压 Io；升压和升降压 Io/(1 − D)
输出纹波
降压 ΔIL/(8fC)；升压和升降压 Io·D/(fC)
CCM 边界
降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

  1. 判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
  2. 对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
  3. 求开关导通时的电感电压，再求 ΔIL = VL·D/(L·f)。
  4. 求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔIL/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等
+−24 VR = ?5 × 2.2 V20 mA

5 个绿球 LED（每个正向电压 2.2 V）与一个电阻串联，接到 24 V 电源上。求使电流为 20 mA 的电阻 R。

Vs = 24 VVF = 2.2 Vn = 5I = 20 mA
R = Ω
2.二极管与晶体管困难
+−≥ 18 VR = ?3.3 V≤ 10 mA

一个 3.3 V 的齐纳稳压器必须向负载提供最多 10 mA。输入可能降到 18 V，齐纳管至少需要 2 mA 才能稳压。求能保持稳压的最大串联电阻 Rmax。

Vin,min = 18 VVZ = 3.3 VIL,max = 10 mAIZ,min = 2 mA
Rmax = Ω
3.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = 4.7 kΩR1​ = 2 kΩVin​ = 3 VRa​ = 100 kΩRb​ = 4.7 kΩ

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。 求输出电压 Vout。

Vin = 3 VRa = 100 kΩRb = 4.7 kΩR1 = 2 kΩRf = 4.7 kΩ
Vout = V
4.运放电路困难
−+Vout​R2​ = 10 kΩV1​ = 0.2 VR1​ = 22 kΩV2​ = −1.4 VR3​ = 10 kΩR4​ = 10 kΩ

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。 电阻比不匹配。求输出电压 Vout。

V1 = 0.2 VV2 = −1.4 VR1 = 22 kΩR2 = 10 kΩR3 = 10 kΩR4 = 10 kΩ
Vout = V
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​15 Vt = 0R = 10 ΩL220 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 开关闭合后多长时间电流达到终值的 50%？求 t。

Vs = 15 VR = 10 ΩL = 220 mH
t = ms
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​15 Vt = 0R = 1 kΩC33 µF+−vC​vC​(0) = 20 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 20 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 18 V？求 t。

Vs = 15 VR = 1 kΩC = 33 µFvC(0) = 20 V
t = ms
7.串并联电阻中等
R1​ = 20 ΩIR1​R3​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​4 ΩAR4​8 ΩB

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 30 VR1 = 20 ΩR2 = 4 ΩR3 = 2 ΩR4 = 8 Ω
IR1 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 10 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​5 VR2​4 ΩIR2​AR4​6 ΩBR6​10 Ω

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 5 VR1 = 10 ΩR2 = 4 ΩR3 = 12 ΩR4 = 6 ΩR5 = 15 ΩR6 = 10 Ω
IR2 = A
9.DC-DC 变换器中等
+−48 VSL = ?CR+−24 V

某理想降压变换器把 48 V 变成 24 V，开关频率为 25 kHz。求把电感纹波电流峰峰值保持在 0.2 A 的电感量 L。

Vin​ = 48 VVo​ = 24 Vf = 25 kHzΔIL = 0.2 A
L = µH
10.DC-DC 变换器困难
tiL​Imax​Io​DTT2T

某降压变换器在 200 kHz、L = 100 µH 下把 36 V 变成 14.4 V。求使其保持连续导通的最小负载电流 Io,min。

Vin​ = 36 VVo​ = 14.4 Vf = 200 kHzL = 100 µH
Io,min = A
11.惠斯通电桥与应变片中等
+−10 V470 Ω470 Ω470 Ω470 Ωab+−

一个 470 Ω 的应变片是电桥的一个臂（R₂），电桥四个臂均为 470 Ω，激励电压为 10 V。求应变片上消耗的功率 Pg，单位为 mW。自热限制了激励电压。

Vs = 10 VR = 470 Ω
Pg = mW
12.惠斯通电桥与应变片困难
+−10 V120 Ω − ΔR120 Ω + ΔR120 Ω + ΔR120 Ω − ΔRab+−Vo​ = ?

某电桥的各臂为 120 Ω，激励电压为 10 V，采用 四个工作应变片，两个受拉、两个受压（全桥）。灵敏系数为 2.1，应变为 1000 µε。求电桥输出 Vo，单位为 mV。

Vs = 10 VGF = 2.1ε = 1000 µε
Vo = mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABCD000111100001111010011302140517061121130151141809011010

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 4, 7, 8, 12, 13, 14) 的最简积之和 (SOP) 形式。它总共包含多少个文字 L（带撇的变量算一个文字）？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 4, 7, 8, 12, 13, 14)
L =
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
CLKT123456

一个上升沿触发的 T 触发器从 Q = 0 开始，在 6 个时钟上升沿接收到所示的输入。Q 改变状态的次数 N 是多少？

Q₀ = 0T
N =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: R = 650 Ω

LED 与二极管电路：正向偏置的 LED 无论电流多大，压降都约为其正向电压 VF（红光约 2 V，蓝光或白光约 3 V）。串联电阻决定电流：n 个 LED 串联时 R = (Vs − n·VF)/I。用更精确的二极管模型 V = V₀ + I·rd 时，工作点在二极管线与负载线 I = (Vs − V)/R 相交处，所以 I = (Vs − V₀)/(R + rd)。

电阻两端的电压

VR = 24 − 5·2.2 = 13 V

电阻

R = 13/0.02 = 650 Ω

答案

R = 650 Ω

电阻耗散 260 mW。

2.二极管与晶体管

答案: Rmax = 1225 Ω

齐纳稳压器：反向偏置的齐纳二极管在电流保持高于最小值 IZ,min 时维持其电压 VZ。串联电阻 R 承担输入与输出之间的差值：IR = (Vin − VZ)/R。该电流分给负载 IL = VZ/RL 和齐纳管 IZ = IR − IL。按最坏情况设计：最低输入与最大负载时仍须留有 IZ,min，而最高输入与空载时齐纳管功率最大，PZ = VZ·IZ。

最坏情况的电流

IR = 10 + 2 = 12 mA

最大电阻

Rmax = 14.7/0.012 = 1225 Ω

答案

Rmax = 1225 Ω
3.运放电路

答案: Vout = 0.4511 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = Vin·Rb/(Ra + Rb) = 3·4.7/(100 + 4.7) = 0.1347 V

同相增益

V₋ = V₊，流过 R₁ 的电流也流过 Rf。

Vout = V₊·(1 + Rf/R1) = 0.1347·(1 + 4.7/2) = 0.4511 V

答案

Vout = 0.4511 V
4.运放电路

答案: Vout = −1.109 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = −1.4·10/(10 + 10) = −0.7 V

叠加两个输入

V₂ = 0 时，V₁ 看到的是反相放大器。V₁ = 0 时，V₊ 被同相增益 1 + R₂/R₁ 放大。

Vout = −(10/22)·0.2 + (1 + 10/22)·(−0.7) = −0.09091 + (−1.018) = −1.109 V

答案

Vout = −1.109 V
5.RC 和 RL 暂态

答案: t = 15.25 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 220 mH / 10 Ω = 22 ms
i(∞) = Vs/R = 15/10 = 1.5 A

求解时间

0.5 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.5)
t = −22·ln(0.5) = 15.25 ms

答案

t = 15.25 ms
6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 16.86 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 20 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 1 kΩ · 33 µF = 33 ms
vC(t) = 15 + (20 − 15)·e−t/τ

求解时间

18 = 15 + (5)·e−t/τ → e−t/τ = (18 − 15)/(20 − 15) = 0.6
t = τ·ln((20 − 15)/(18 − 15)) = 33·ln(1.667) = 16.86 ms

答案

t = 16.86 ms
7.串并联电阻

答案: IR1 = 1.313 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 20 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​4 ΩAR4​8 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 2 + 8 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 4·10/(4+10) = 2.857 Ω
Req = R1 + 2.857 = 20 + 2.857 = 22.86 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 30/22.86 = 1.313 A

答案

IR1 = 1.313 A
8.串并联电阻

答案: IR2 = 0.3053 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 10 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​5 VR2​4 ΩAR4​6 ΩBR6​10 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 15 + 10 = 25 Ω
R4 ∥ 25 = 4.839 Ω
R3 + 4.839 = 16.84 Ω
R2 ∥ 16.84 = 3.232 Ω
Req = R1 + 3.232 = 10 + 3.232 = 13.23 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 5/13.23 = 0.3779 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 5 − 0.3779·10 = 1.221 V
IR2 = VA/R2 = 1.221/4 = 0.3053 A

答案

IR2 = 0.3053 A
9.DC-DC 变换器

答案: L = 2400 µH

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 24/48 = 0.5

电感

L = 24·0.5/(0.2·25·10³) = 2400 µH

答案

L = 2400 µH
10.DC-DC 变换器

答案: Io,min = 0.216 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 14.4/36 = 0.4

纹波电流

ΔIL = 14.4·0.6/(100·10⁻⁶·200·10³) = 0.432 A

边界负载电流

Io,min = ΔIL/2 = 0.216 A

答案

Io,min = 0.216 A

低于这个电流时，变换器进入断续导通模式，Vo 会升高到 D·Vin 以上。

11.惠斯通电桥与应变片

答案: Pg = 53.19 mW

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

应变片两端的电压

V = 10/2 = 5 V

功率

Pg = 5²/470 = 53.19 mW

答案

Pg = 53.19 mW
12.惠斯通电桥与应变片

答案: Vo = 21 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

电阻相对变化

ΔR/R = 2.1·1000·10⁻⁶ = 0.0021

电桥输出

Vo = Vs·GF·ε = 10·0.0021 = 21 mV

答案

Vo = 21 mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 11

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

ABCD000111100001111010011302140517061121130151141809011010

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

C′D′
A′CD
ABD′
ABC′

最简 SOP 形式

F = C′D′ + A′CD + ABD′ + ABC′
L = 11

答案

L = 11
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的 Q

T 触发器在 T = 1 时每个上升沿翻转，在 T = 0 时保持。

1: T = 0 → Q = 0
2: T = 0 → Q = 0
3: T = 1 → Q = 1
4: T = 1 → Q = 0
5: T = 0 → Q = 0
6: T = 1 → Q = 1

数出变化的次数

0 → 0 → 0 → 1 → 0 → 0 → 1
N = 3

答案

N = 3

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