电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）: V_D = 0.7 V when conducting
放大区: V_BE = 0.7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
固定偏置: I_B = (V_CC − 0.7)/R_B
分压偏置: I_B = (V_TH − 0.7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
分压器的戴维南等效: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
集电极回路: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
饱和: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压: V_o = D·V_in
升压: V_o = V_in/(1 − D)
反相升降压: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
理想功率平衡: V_inI_in = V_oI_o
电感纹波: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
电感平均电流: 降压 I_o；升压和升降压 I_o/(1 − D)
输出纹波: 降压 ΔI_L/(8fC)；升压和升降压 I_o·D/(fC)
CCM 边界: 降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
求开关导通时的电感电压，再求 ΔI_L = V_L·D/(L·f)。
求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔI_L/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
出量: V_ab = V_a − V_b
平衡: R₁/R₂ = R₃/R₄
滑线电桥: R/R_x = l/(100 − l)
戴维南电阻: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
灵敏系数: ΔR/R = GF·ε
电桥输出: 1/4 桥 V_s·GF·ε/4，半桥 V_s·GF·ε/2，全桥 V_s·GF·ε
小变化，一个臂: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
应力: σ = E·ε

方法

把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
对不平衡电桥，由分压器求出 V_a 和 V_b 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 V_s·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等

2 个黄色 LED（每个正向电压 2.1 V）与一个电阻串联，接到 24 V 电源上。求使电流为 15 mA 的电阻 R。

V_s = 24 VV_F = 2.1 Vn = 2I = 15 mA

R = Ω

2.二极管与晶体管困难

一只 β = 150 的 NPN 晶体管控制一个接在 V_CC = 12 V 与其集电极之间的 1 kΩ 负载电阻。发射极接地。基极由 5 V 逻辑输出经基极电阻 R_B = 1 kΩ 驱动。取 V_BE = 0.7 V，V_CE(sat) = 0.2 V。求输入为高电平时的集电极电流 I_C，以 mA 计。先判断晶体管是否饱和。

V_CC = 12 VR_C = 1 kΩβ = 150V_in = 5 VV_BE = 0.7 VV_CE(sat) = 0.2 VR_B = 1 kΩ

I_C = mA

3.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 1.5 VR₁ = 10 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

4.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = −0.3 VV₂ = 1.7 VR₁ = 1 kΩR₂ = 4.7 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

5.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 1 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。电流降到 0.25 A 需要多长时间？求 t。

i(0) = 1 AR = 22 ΩL = 150 mH

t = ms

6.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 24 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 16.5 V？求 t。

V_s = 9 VR = 1 kΩC = 33 µFv_C(0) = 24 V

t = ms

7.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 18 VR₁ = 3 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

8.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 24 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 8 Ω

I_R2 = A

9.DC-DC 变换器中等

某理想反相升降压变换器在 20 kHz、L = 330 µH 下把 24 V 变成 −24 V。求电感纹波电流的峰峰值 ΔI_L。

Vin = 24 VVo = −24 Vf = 20 kHzL = 330 µH

ΔI_L = A

10.DC-DC 变换器困难

某理想降压变换器在 20 kHz 下把 48 V 变成 14.4 V，负载为 12 Ω。求连续导通所需的最小电感 L_crit。

Vin = 48 VVo = 14.4 Vf = 20 kHzR = 12 Ω

L_crit = µH

11.惠斯通电桥与应变片中等

某电桥的四个臂均为 200 Ω，V_s = 5 V。传感器 R₂ 增大了 ΔR = 50 Ω。求精确输出 V_ab，单位为 mV。

V_s = 5 VR = 200 ΩΔR = 50 Ω

V_ab = mV

12.惠斯通电桥与应变片困难

某 1/4 桥（一个工作应变片，GF = 2.1）的激励电压为 2.5 V。要测量的最大应变为 200 µε，它在模数转换器输入端必须给出 2.5 V。求放大器增益 G。

V_s = 2.5 VGF = 2.1ε_max = 200 µεV_FS = 2.5 V

G =

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

把 F = AB′C + AC′ + AB′C′ + A′B′C′ 化简为最简积之和形式。化简后的表达式包含多少个文字 L？

F = AB′C + AC′ + AB′C′ + A′B′C′

L =

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

一个上升沿触发的 JK 触发器从 Q = 0 开始，在 8 个时钟上升沿接收到所示的输入。Q 改变状态的次数 N 是多少？

Q₀ = 0JK

N =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: R = 1320 Ω

LED 与二极管电路：正向偏置的 LED 无论电流多大，压降都约为其正向电压 V_F（红光约 2 V，蓝光或白光约 3 V）。串联电阻决定电流：n 个 LED 串联时 R = (V_s − n·V_F)/I。用更精确的二极管模型 V = V₀ + I·r_d 时，工作点在二极管线与负载线 I = (V_s − V)/R 相交处，所以 I = (V_s − V₀)/(R + r_d)。

电阻两端的电压

V_R = 24 − 2·2.1 = 19.8 V

电阻

R = 19.8/0.015 = 1320 Ω

答案

R = 1320 Ω

电阻耗散 297 mW。

2.二极管与晶体管

答案: I_C = 11.8 mA

BJT 用作开关：要使负载完全导通，晶体管须驱动到饱和，此时 V_CE = V_CE(sat)，集电极电流由负载决定：I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C。饱和至少需要 I_B = I_C(sat)/β。若基极电流更小，晶体管仍处于放大区，I_C = β·I_B。

基极电流

I_B = (5 − 0.7)/1 kΩ = 4300 µA

饱和还是放大？

β·I_B 大于 I_C(sat)，所以晶体管饱和。

β·I_B = 645 mA

I_C(sat) = (12 − 0.2)/1000 = 11.8 mA

集电极电流

I_C = I_C(sat) = 11.8 mA

答案

I_C = 11.8 mA

晶体管处于饱和状态。

3.运放电路

答案: V_out = 4.8 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = 1.5 V

I = V₋/R₁ = 1.5/10 = 0.15 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = 1.5 + 0.15·22 = 4.8 V

答案

V_out = 4.8 V

4.运放电路

答案: V_out = −2.9 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = −0.3/1 = −0.3 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1.7/4.7 = 0.3617 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.0617 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −47·0.0617 = −2.9 V

答案

V_out = −2.9 V

5.RC 和 RL 暂态

答案: t = 9.452 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 150 mH / 22 Ω = 6.818 ms

求解时间

0.25 = 1·e^−t/τ → t = τ·ln(1/0.25)

t = 6.818·ln(4) = 9.452 ms

答案

t = 9.452 ms

6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 22.87 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 24 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 1 kΩ · 33 µF = 33 ms

v_C(t) = 9 + (24 − 9)·e^−t/τ

求解时间

16.5 = 9 + (15)·e^−t/τ → e^−t/τ = (16.5 − 9)/(24 − 9) = 0.5

t = τ·ln((24 − 9)/(16.5 − 9)) = 33·ln(2) = 22.87 ms

答案

t = 22.87 ms

7.串并联电阻

答案: I_R2 = 1.176 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 8 + 5 = 13 Ω

R₂ ∥ 13 = 10·13/(10+13) = 5.652 Ω

R_eq = R₁ + 5.652 = 3 + 5.652 = 8.652 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 18/8.652 = 2.08 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 2.08·3 = 11.76 V

I_R2 = V_A/R₂ = 11.76/10 = 1.176 A

答案

I_R2 = 1.176 A

8.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.3225 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 12 + 8 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 2.609 Ω

R₃ + 2.609 = 7.609 Ω

R₂ ∥ 7.609 = 5.048 Ω

R_eq = R₁ + 5.048 = 20 + 5.048 = 25.05 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 24/25.05 = 0.9582 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 0.9582·20 = 4.837 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4.837/15 = 0.3225 A

答案

I_R2 = 0.3225 A

9.DC-DC 变换器

答案: ΔI_L = 1.818 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）V_o = D·V_in，升压（boost）V_o = V_in/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|V_o| = V_in·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：V_in·I_in = V_o·I_o。开关导通期间，电感电流上升 ΔI_L = V_L·D·T/L，其中降压变换器的 V_L = V_in − V_o，升压和升降压变换器为 V_in。输出纹波对降压变换器为 ΔV_o = ΔI_L/(8fC)，对升压和升降压变换器为 I_o·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔI_L/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 24/(24 + 24) = 0.5

导通期间的电感电压

S 导通时，电感直接跨接在 V_in 两端。

V_L = 24 V

纹波电流

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 24·0.5/(330·10⁻⁶·20·10³) = 1.818 A

答案

ΔI_L = 1.818 A

10.DC-DC 变换器

答案: L_crit = 210 µH

占空比

D = 14.4/48 = 0.3

边界条件

令电感平均电流等于纹波电流的一半，解出 L。

L_crit = (1 − D)·R/(2f)

临界电感

L_crit = (1 − 0.3)·12/(220·10³) = 210 µH

答案

L_crit = 210 µH

11.惠斯通电桥与应变片

答案: V_ab = 277.8 mV

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 V_s。左侧分压器 R₁–R₂ 给出 V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂)，右侧分压器 R₃–R₄ 给出 V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)；输出为 V_ab = V_a − V_b。当 R₁/R₂ = R₃/R₄，即 R₁·R₄ = R₂·R₃ 时，电桥平衡（V_ab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄。

节点电压

V_a = 5·250/450 = 2.778 V

V_b = 2.5 V

出量

V_ab = 277.8 mV

答案

V_ab = 277.8 mV

线性估计 V_s·ΔR/(4R) = 312.5 mV 偏高 12.5 %：1/4 桥并不完全是线性的。

12.惠斯通电桥与应变片

答案: G = 9524

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 V_o ≈ V_s·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 V_s·GF·ε/2，四个（全桥）给出 V_s·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

满量程时的电桥输出

V_o = 0.2625 mV

增益

G = 2.5/0.0002625 = 9524

答案

G = 9524

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 6

布尔代数：化简表达式的规则有 X + X′ = 1 和 X·X′ = 0、X + X = X、吸收律 X + X·Y = X、合并律 X·Y + X·Y′ = X、X + X′Y = X + Y，以及一致性定理 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z。德摩根律把 (X·Y)′ 变成 X′ + Y′，把 (X + Y)′ 变成 X′·Y′。卡诺图以图形方式应用这些规则：每个由两个相邻格子组成的圈，就是一次使用 XY + XY′ = X。

表达式的最小项

AB′C → m(5)

AC′ → m(4, 6)

AB′C′ → m(4)

A′B′C′ → m(0)

圈组并读出结果

F = B′C′ + AC′ + AB′

数出文字个数

L = 6

答案

L = 6

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的 Q

JK 触发器：00 保持，01 复位 (Q = 0)，10 置位 (Q = 1)，11 翻转。

1: J = 1, K = 1 → Q = 1

2: J = 0, K = 1 → Q = 0

3: J = 1, K = 1 → Q = 1

4: J = 1, K = 0 → Q = 1

5: J = 1, K = 0 → Q = 1

6: J = 0, K = 0 → Q = 1

7: J = 1, K = 0 → Q = 1

8: J = 0, K = 0 → Q = 1

数出变化的次数

0 → 1 → 0 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1

N = 3

答案

N = 3

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