电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）
VD = 0.7 V when conducting
放大区
VBE = 0.7 V, IC = β·IB, IE = (β + 1)·IB
固定偏置
IB = (VCC − 0.7)/RB
分压偏置
IB = (VTH − 0.7)/(RTH + (β + 1)RE)
分压器的戴维南等效
VTH = VCC·R2/(R1 + R2), RTH = R1∥R2
集电极回路
VCE = VCC − ICRC − IERE
饱和
IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC, IB ≥ IC(sat)/β

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压
Vo = D·Vin
升压
Vo = Vin/(1 − D)
反相升降压
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
理想功率平衡
VinIin = VoIo
电感纹波
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
电感平均电流
降压 Io；升压和升降压 Io/(1 − D)
输出纹波
降压 ΔIL/(8fC)；升压和升降压 Io·D/(fC)
CCM 边界
降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

  1. 判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
  2. 对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
  3. 求开关导通时的电感电压，再求 ΔIL = VL·D/(L·f)。
  4. 求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔIL/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等
+−24 VR = ?3 × 3 V10 mA

3 个白色 LED（每个正向电压 3 V）与一个电阻串联，接到 24 V 电源上。求使电流为 10 mA 的电阻 R。

Vs = 24 VVF = 3 Vn = 3I = 10 mA
R = Ω
2.二极管与晶体管困难
RC​ = 1 kΩβ = 100IC​ = ?VCC​ = 9 V3.3 VRB​ = 22 kΩ

一只 β = 100 的 NPN 晶体管控制一个接在 VCC = 9 V 与其集电极之间的 1 kΩ 负载电阻。发射极接地。基极由 3.3 V 逻辑输出经基极电阻 RB = 22 kΩ 驱动。取 VBE = 0.7 V，VCE(sat) = 0.2 V。 求输入为高电平时的集电极电流 IC，以 mA 计。先判断晶体管是否饱和。

VCC = 9 VRC = 1 kΩβ = 100Vin = 3.3 VVBE = 0.7 VVCE(sat) = 0.2 VRB = 22 kΩ
IC = mA
3.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = 100 kΩR1​ = 47 kΩVin​ = −1.5 VRa​ = 1 kΩRb​ = 22 kΩ

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。 求输出电压 Vout。

Vin = −1.5 VRa = 1 kΩRb = 22 kΩR1 = 47 kΩRf = 100 kΩ
Vout = V
4.运放电路困难
Vin​V1​Vout​第 1 级：反相R1​ = 22 kΩRf1​ = 47 kΩ第 2 级：同相R2​ = 1 kΩRf2​ = 4.7 kΩ

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R1，Rf1），后接一个同相放大器（R2 接地，Rf2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。 求总电压增益 Av = Vout/Vin。

R1 = 22 kΩRf1 = 47 kΩR2 = 1 kΩRf2 = 4.7 kΩ
Av =
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​9 Vt = 0R = 68 ΩL10 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时的电流 i。

Vs = 9 VR = 68 ΩL = 10 mHt = 1 ms
i = A
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​9 Vt = 0R = 6.8 kΩC33 µF+−vC​vC​(0) = 2 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 2 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 4.8 V？求 t。

Vs = 9 VR = 6.8 kΩC = 33 µFvC(0) = 2 V
t = ms
7.串并联电阻中等
R1​ = 12 ΩIR1​R3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​2 ΩAR4​4 ΩB

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 10 VR1 = 12 ΩR2 = 2 ΩR3 = 3 ΩR4 = 4 Ω
IR1 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 8 ΩIR1​R3​ = 12 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​12 VR2​3 ΩAR4​6 ΩBR6​4 Ω

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 12 VR1 = 8 ΩR2 = 3 ΩR3 = 12 ΩR4 = 6 ΩR5 = 8 ΩR6 = 4 Ω
IR1 = A
9.DC-DC 变换器中等
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

某理想反相升降压变换器在 100 kHz、L = 330 µH 下把 36 V 变成 −54 V。求电感纹波电流的峰峰值 ΔIL。

Vin​ = 36 VVo​ = −54 Vf = 100 kHzL = 330 µH
ΔIL = A
10.DC-DC 变换器困难
tiL​Imax​IL​DTT2T

某理想反相升降压变换器在 40 kHz 下把 48 V 变成 −48 V，负载为 20 Ω。求连续导通所需的最小电感 Lcrit。

Vin​ = 48 VVo​ = −48 Vf = 40 kHzR = 20 Ω
Lcrit = µH
11.惠斯通电桥与应变片中等
+−2 V470 Ω470 Ω470 Ω470 Ωab+−

一个 470 Ω 的应变片是电桥的一个臂（R₂），电桥四个臂均为 470 Ω，激励电压为 2 V。求应变片上消耗的功率 Pg，单位为 mW。自热限制了激励电压。

Vs = 2 VR = 470 Ω
Pg = mW
12.惠斯通电桥与应变片困难
+−5 V1000 Ω1000 Ω + ΔR1000 Ω1000 Ωab+−Vo​ = ?

某电桥的各臂为 1000 Ω，激励电压为 5 V，采用 一个工作应变片（1/4 桥）。灵敏系数为 2.05，应变为 600 µε。求电桥输出 Vo，单位为 mV。

Vs = 5 VGF = 2.05ε = 600 µε
Vo = mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
MUX1I0​0I1​CI2​CI3​ABS1​S0​F

一个 4 选 1 多路选择器的选择输入为 S₁ = A 和 S₀ = B，数据输入分别接 I₀ = 1，I₁ = 0，I₂ = C，I₃ = C。在 A、B、C 的 8 种组合中，有多少种使输出 F = 1？求 N。

I₀ = 1I₁ = 0I₂ = CI₃ = C
N =
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
CLKD123456

一个上升沿触发的 D 触发器从 Q = 0 开始，接收到所示的输入。点选 Q 第一次从 1 回到 0 的时钟边沿。

Q₀ = 0D
  1. 1时钟边沿 1
  2. 2时钟边沿 2
  3. 3时钟边沿 3
  4. 4时钟边沿 4
  5. 5时钟边沿 5
  6. 6时钟边沿 6

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: R = 1500 Ω

LED 与二极管电路：正向偏置的 LED 无论电流多大，压降都约为其正向电压 VF（红光约 2 V，蓝光或白光约 3 V）。串联电阻决定电流：n 个 LED 串联时 R = (Vs − n·VF)/I。用更精确的二极管模型 V = V₀ + I·rd 时，工作点在二极管线与负载线 I = (Vs − V)/R 相交处，所以 I = (Vs − V₀)/(R + rd)。

电阻两端的电压

VR = 24 − 3·3 = 15 V

电阻

R = 15/0.01 = 1500 Ω

答案

R = 1500 Ω

电阻耗散 150 mW。

2.二极管与晶体管

答案: IC = 8.8 mA

BJT 用作开关：要使负载完全导通，晶体管须驱动到饱和，此时 VCE = VCE(sat)，集电极电流由负载决定：IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC。饱和至少需要 IB = IC(sat)/β。若基极电流更小，晶体管仍处于放大区，IC = β·IB。

基极电流

IB = (3.3 − 0.7)/22 kΩ = 118.2 µA

饱和还是放大？

β·IB 大于 IC(sat)，所以晶体管饱和。

β·IB = 11.82 mA
IC(sat) = (9 − 0.2)/1000 = 8.8 mA

集电极电流

IC = IC(sat) = 8.8 mA

答案

IC = 8.8 mA

晶体管处于饱和状态。

3.运放电路

答案: Vout = −4.488 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = Vin·Rb/(Ra + Rb) = −1.5·22/(1 + 22) = −1.435 V

同相增益

V₋ = V₊，流过 R₁ 的电流也流过 Rf。

Vout = V₊·(1 + Rf/R1) = −1.435·(1 + 100/47) = −4.488 V

答案

Vout = −4.488 V
4.运放电路

答案: Av = −12.18

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

各级的增益

A1 = −Rf1/R1 = −47/22 = −2.136
A2 = 1 + Rf2/R2 = 1 + 4.7/1 = 5.7

总增益

Av = A1·A2 = −2.136·5.7 = −12.18

答案

Av = −12.18
5.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.1322 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 10 mH / 68 Ω = 0.1471 ms
i(∞) = Vs/R = 9/68 = 0.1324 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.1324·(1 − e−1/0.1471) = 0.1322 A

答案

i = 0.1322 A
6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 114.6 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 2 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 6.8 kΩ · 33 µF = 224.4 ms
vC(t) = 9 + (2 − 9)·e−t/τ

求解时间

4.8 = 9 + (−7)·e−t/τ → e−t/τ = (4.8 − 9)/(2 − 9) = 0.6
t = τ·ln((2 − 9)/(4.8 − 9)) = 224.4·ln(1.667) = 114.6 ms

答案

t = 114.6 ms
7.串并联电阻

答案: IR1 = 0.7377 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 12 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​2 ΩAR4​4 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 3 + 4 = 7 Ω
R2 ∥ 7 = 2·7/(2+7) = 1.556 Ω
Req = R1 + 1.556 = 12 + 1.556 = 13.56 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 10/13.56 = 0.7377 A

答案

IR1 = 0.7377 A
8.串并联电阻

答案: IR1 = 1.14 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 8 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​12 VR2​3 ΩAR4​6 ΩBR6​4 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 8 + 4 = 12 Ω
R4 ∥ 12 = 4 Ω
R3 + 4 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 2.526 Ω
Req = R1 + 2.526 = 8 + 2.526 = 10.53 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 12/10.53 = 1.14 A

答案

IR1 = 1.14 A
9.DC-DC 变换器

答案: ΔIL = 0.6545 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 54/(36 + 54) = 0.6

导通期间的电感电压

S 导通时，电感直接跨接在 Vin 两端。

VL = 36 V

纹波电流

ΔIL = VL·D/(L·f) = 36·0.6/(330·10⁻⁶·100·10³) = 0.6545 A

答案

ΔIL = 0.6545 A
10.DC-DC 变换器

答案: Lcrit = 62.5 µH

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 48/(48 + 48) = 0.5

边界条件

令电感平均电流等于纹波电流的一半，解出 L。

Lcrit = (1 − D)²·R/(2f)

临界电感

Lcrit = (1 − 0.5)²·20/(240·10³) = 62.5 µH

答案

Lcrit = 62.5 µH
11.惠斯通电桥与应变片

答案: Pg = 2.128 mW

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

应变片两端的电压

V = 2/2 = 1 V

功率

Pg = 1²/470 = 2.128 mW

答案

Pg = 2.128 mW
12.惠斯通电桥与应变片

答案: Vo = 1.537 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

电阻相对变化

ΔR/R = 2.05·600·10⁻⁶ = 0.00123

电桥输出

Vo ≈ Vs·GF·ε/4 = 5·0.00123/4 = 1.537 mV

答案

Vo = 1.537 mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 4

多路选择器：2ⁿ 选 1 多路选择器把其数据输入之一传到输出；选择线按二进制数读取，决定选哪一个。对于选择端 S₁S₀ = AB 的 4 选 1 MUX，F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃。把数据输入接到 0、1、C 或 C′，可使 MUX 产生 A、B、C 的任意函数，这是用一块芯片实现逻辑的常用方法。

输出表达式

F = A′B′ + AB′C + ABC

F = 1 的行

ABC = 000, 001, 101, 111
N = 4

答案

N = 4
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: 时钟边沿 5

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的 Q

D 触发器在每个上升沿复制 D：Q⁺ = D。

1: D = 1 → Q = 1
2: D = 1 → Q = 1
3: D = 1 → Q = 1
4: D = 1 → Q = 1
5: D = 0 → Q = 0
6: D = 1 → Q = 1

第一次从 1 变为 0

时钟边沿 5

答案

时钟边沿 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1