电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）: V_D = 0.7 V when conducting
放大区: V_BE = 0.7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
固定偏置: I_B = (V_CC − 0.7)/R_B
分压偏置: I_B = (V_TH − 0.7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
分压器的戴维南等效: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
集电极回路: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
饱和: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压: V_o = D·V_in
升压: V_o = V_in/(1 − D)
反相升降压: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
理想功率平衡: V_inI_in = V_oI_o
电感纹波: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
电感平均电流: 降压 I_o；升压和升降压 I_o/(1 − D)
输出纹波: 降压 ΔI_L/(8fC)；升压和升降压 I_o·D/(fC)
CCM 边界: 降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
求开关导通时的电感电压，再求 ΔI_L = V_L·D/(L·f)。
求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔI_L/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
出量: V_ab = V_a − V_b
平衡: R₁/R₂ = R₃/R₄
滑线电桥: R/R_x = l/(100 − l)
戴维南电阻: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
灵敏系数: ΔR/R = GF·ε
电桥输出: 1/4 桥 V_s·GF·ε/4，半桥 V_s·GF·ε/2，全桥 V_s·GF·ε
小变化，一个臂: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
应力: σ = E·ε

方法

把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
对不平衡电桥，由分压器求出 V_a 和 V_b 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 V_s·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等

2 个白色 LED（每个正向电压 3 V）与一个电阻串联，接到 9 V 电源上。求使电流为 10 mA 的电阻 R。

V_s = 9 VV_F = 3 Vn = 2I = 10 mA

R = Ω

2.二极管与晶体管困难

一个 3.3 V 的齐纳稳压器必须向负载提供最多 20 mA。输入可能降到 15 V，齐纳管至少需要 2 mA 才能稳压。求能保持稳压的最大串联电阻 R_max。

V_in,min = 15 VV_Z = 3.3 VI_L,max = 20 mAI_Z,min = 2 mA

R_max = Ω

3.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 3.5 VR_a = 2 kΩR_b = 2 kΩR₁ = 2 kΩR_f = 10 kΩ

V_out = V

4.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = −0.1 VV₂ = 1.6 VR₁ = 100 kΩR₂ = 1 kΩR_f = 2 kΩ

V_out = V

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求电路稳定后电感中储存的能量 W(∞)，以 mJ 表示。

V_s = 12 VR = 10 ΩL = 33 mH

W(∞) = mJ

6.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 15 V，极性如图所示。求 t = 200 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 20 VR = 3.3 kΩC = 47 µFv_C(0) = 15 Vt = 200 ms

v_C = V

7.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 15 Ω

R_eq = Ω

8.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 36 VR₁ = 3 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 6 Ω

R_eq = Ω

9.DC-DC 变换器中等

某降压变换器把 9 V 变成 2.7 V，负载为 5 Ω。开关频率为 50 kHz，L = 47 µH。求电感电流峰值 I_max。

Vin = 9 VVo = 2.7 Vf = 50 kHzL = 47 µHR = 5 Ω

I_max = A

10.DC-DC 变换器困难

某理想升压变换器在 500 kHz 下把 9 V 变成 30 V，负载为 8 Ω。输出电容为 22 µF。求输出电压纹波的峰峰值 ΔV_o，单位为 mV。

Vin = 9 VVo = 30 Vf = 500 kHzC = 22 µFR = 8 Ω

ΔV_o = mV

11.惠斯通电桥与应变片中等

一个电阻为 100 Ω 的检流计接在图示电桥的 a 和 b 之间（V_s = 10 V）。求从 a 流向 b 的检流计电流 I_g，单位为 µA。

V_s = 10 VR₁ = 400 ΩR₂ = 60 ΩR₃ = 500 ΩR₄ = 200 ΩR_g = 100 Ω

I_g = µA

12.惠斯通电桥与应变片困难

某称重传感器（应变片全桥）在额定载荷 100 kg 时的额定输出为 2.5 mV/V。激励电压为 12 V。求它在 40 kg 载荷下的输出 V_o。

2.5 mV/VF_rated = 100 kgV_s = 12 VF = 40 kg

V_o = mV

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

用卡诺图求 F(A, B, C) = Σm(1, 2, 3, 4, 5) 的最简和之积 (POS) 形式。它有多少个和项（因子）N？

F(A, B, C) = Σm(1, 2, 3, 4, 5)

N =

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

求 F(A, B, C, D) = Σm(3, 4, 7, 10, 13, 14) + d(1, 6, 15) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它有多少个乘积项 N？

F(A, B, C, D) = Σm(3, 4, 7, 10, 13, 14) + d(1, 6, 15)

N =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: R = 300 Ω

LED 与二极管电路：正向偏置的 LED 无论电流多大，压降都约为其正向电压 V_F（红光约 2 V，蓝光或白光约 3 V）。串联电阻决定电流：n 个 LED 串联时 R = (V_s − n·V_F)/I。用更精确的二极管模型 V = V₀ + I·r_d 时，工作点在二极管线与负载线 I = (V_s − V)/R 相交处，所以 I = (V_s − V₀)/(R + r_d)。

电阻两端的电压

V_R = 9 − 2·3 = 3 V

电阻

R = 3/0.01 = 300 Ω

答案

R = 300 Ω

电阻耗散 30 mW。

2.二极管与晶体管

答案: R_max = 531.8 Ω

齐纳稳压器：反向偏置的齐纳二极管在电流保持高于最小值 I_Z,min 时维持其电压 V_Z。串联电阻 R 承担输入与输出之间的差值：I_R = (V_in − V_Z)/R。该电流分给负载 I_L = V_Z/R_L 和齐纳管 I_Z = I_R − I_L。按最坏情况设计：最低输入与最大负载时仍须留有 I_Z,min，而最高输入与空载时齐纳管功率最大，P_Z = V_Z·I_Z。

最坏情况的电流

I_R = 20 + 2 = 22 mA

最大电阻

R_max = 11.7/0.022 = 531.8 Ω

答案

R_max = 531.8 Ω

3.运放电路

答案: V_out = 10.5 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 3.5·2/(2 + 2) = 1.75 V

同相增益

V₋ = V₊，流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 1.75·(1 + 10/2) = 10.5 V

答案

V_out = 10.5 V

4.运放电路

答案: V_out = −3.198 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = −0.1/100 = −0.001 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1.6/1 = 1.6 mA

I_f = I₁ + I₂ = 1.599 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −2·1.599 = −3.198 V

答案

V_out = −3.198 V

5.RC 和 RL 暂态

答案: W(∞) = 23.76 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 33 mH / 10 Ω = 3.3 ms

i(∞) = V_s/R = 12/10 = 1.2 A

储存的能量

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·33·1.2² = 23.76 mJ

答案

W(∞) = 23.76 mJ

6.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 18.62 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 15 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 3.3 kΩ · 47 µF = 155.1 ms

v_C(t) = 20 + (15 − 20)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(200) = 20 + (−5)·e^−200/155.1 = 18.62 V

答案

v_C = 18.62 V

7.串并联电阻

答案: R_eq = 22.73 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 15 + 15 = 30 Ω

R₂ ∥ 30 = 3·30/(3+30) = 2.727 Ω

R_eq = R₁ + 2.727 = 20 + 2.727 = 22.73 Ω

答案

R_eq = 22.73 Ω

8.串并联电阻

答案: R_eq = 5.964 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 5 + 6 = 11 Ω

R₄ ∥ 11 = 3.438 Ω

R₃ + 3.438 = 11.44 Ω

R₂ ∥ 11.44 = 2.964 Ω

R_eq = R₁ + 2.964 = 3 + 2.964 = 5.964 Ω

答案

R_eq = 5.964 Ω

9.DC-DC 变换器

答案: I_max = 0.9421 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）V_o = D·V_in，升压（boost）V_o = V_in/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|V_o| = V_in·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：V_in·I_in = V_o·I_o。开关导通期间，电感电流上升 ΔI_L = V_L·D·T/L，其中降压变换器的 V_L = V_in − V_o，升压和升降压变换器为 V_in。输出纹波对降压变换器为 ΔV_o = ΔI_L/(8fC)，对升压和升降压变换器为 I_o·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔI_L/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 2.7/9 = 0.3

平均电流和纹波电流

I_o = 2.7/5 = 0.54 A

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 6.3·0.3/(47·10⁻⁶·50·10³) = 0.8043 A

峰值电流

I_max = 0.54 + 0.8043/2 = 0.9421 A

答案

I_max = 0.9421 A

10.DC-DC 变换器

答案: ΔV_o = 238.6 mV

占空比

D = 1 − 9/30 = 0.7

负载电流

I_o = 30/8 = 3.75 A

输出纹波

ΔV_o = 3.75·0.7/(500·10³·22·10⁻⁶) = 238.6 mV

答案

ΔV_o = 238.6 mV

11.惠斯通电桥与应变片

答案: I_g = −5263 µA

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 V_s。左侧分压器 R₁–R₂ 给出 V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂)，右侧分压器 R₃–R₄ 给出 V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)；输出为 V_ab = V_a − V_b。当 R₁/R₂ = R₃/R₄，即 R₁·R₄ = R₂·R₃ 时，电桥平衡（V_ab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄。

戴维南电压

V_th = 10·(60/460 − 200/700) = −1.553 V

戴维南电阻

R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 195 Ω

检流计电流

I_g = −1.553/(195 + 100) = −5263 µA

答案

I_g = −5263 µA

12.惠斯通电桥与应变片

答案: V_o = 12 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 V_o ≈ V_s·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 V_s·GF·ε/2，四个（全桥）给出 V_s·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

满量程输出

2.5·12 = 30 mV

该载荷下的输出

V_o = 30·40/100 = 12 mV

答案

V_o = 12 mV

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 2

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

圈 0

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

(A′ + B′)

(A + B + C)

最简 POS 形式

F = (A′ + B′)(A + B + C)

N = 2

答案

N = 2

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 4

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

BC, A′CD, ACD′, A′B′D, A′BD′, ABD

最小覆盖

F = A′CD + ACD′ + A′BD′ + ABD

N = 4

答案

N = 4

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