电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）
VD = 0.7 V when conducting
放大区
VBE = 0.7 V, IC = β·IB, IE = (β + 1)·IB
固定偏置
IB = (VCC − 0.7)/RB
分压偏置
IB = (VTH − 0.7)/(RTH + (β + 1)RE)
分压器的戴维南等效
VTH = VCC·R2/(R1 + R2), RTH = R1∥R2
集电极回路
VCE = VCC − ICRC − IERE
饱和
IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC, IB ≥ IC(sat)/β

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压
Vo = D·Vin
升压
Vo = Vin/(1 − D)
反相升降压
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
理想功率平衡
VinIin = VoIo
电感纹波
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
电感平均电流
降压 Io；升压和升降压 Io/(1 − D)
输出纹波
降压 ΔIL/(8fC)；升压和升降压 Io·D/(fC)
CCM 边界
降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

  1. 判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
  2. 对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
  3. 求开关导通时的电感电压，再求 ΔIL = VL·D/(L·f)。
  4. 求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔIL/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等
RC​ = 2.2 kΩβ = 80RE​ = 1.5 kΩVCC​ = 15 VR1​ = 47 kΩR2​ = 10 kΩ

一只 β = 80 的 NPN 晶体管由 VCC = 15 V 分压偏置：R₁ = 47 kΩ 接在 VCC 与基极之间，R₂ = 10 kΩ 接在基极与地之间。集电极电阻为 RC = 2.2 kΩ，发射极电阻为 RE = 1.5 kΩ。取 VBE = 0.7 V，并使用分压器的戴维南等效电路（不忽略基极电流）。 求集电极–发射极电压 VCE。

VCC = 15 VR1 = 47 kΩR2 = 10 kΩRC = 2.2 kΩRE = 1.5 kΩβ = 80
VCE = V
2.二极管与晶体管困难
RC​ = 100 Ωβ = 200VCC​ = 24 V3.3 VRB​ = ?

一只 β = 200 的 NPN 晶体管控制一个接在 VCC = 24 V 与其集电极之间的 100 Ω 负载电阻。发射极接地。基极由 3.3 V 逻辑输出经基极电阻 RB 驱动。取 VBE = 0.7 V，VCE(sat) = 0.2 V。 为保证可靠开关，按饱和所需最小基极电流的 4 倍来设计基极电流。求 RB，以 kΩ 计。

VCC = 24 VRC = 100 Ωβ = 200Vin = 3.3 VVBE = 0.7 VVCE(sat) = 0.2 V过驱动系数 = 4
RB = kΩ
3.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = ?R1​ = 100 kΩVin​

选择反馈电阻 Rf，使该同相放大器的电压增益为 5。

R1 = 100 kΩAv = 5
Rf = kΩ
4.运放电路困难
−+Vout​Rf​ = 1 kΩV1​ = −0.7 VR1​ = 10 kΩV2​ = −1.6 VR2​ = 2 kΩ

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。 求输出电压 Vout。

V1 = −0.7 VV2 = −1.6 VR1 = 10 kΩR2 = 2 kΩRf = 1 kΩ
Vout = V
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​9 Vt = 0R = 47 ΩL150 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 5 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。

Vs = 9 VR = 47 ΩL = 150 mHt = 5 ms
W = mJ
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​15 Vt = 0R = 4.7 kΩC?+−vC​

一个定时器在 t = 0 时开始用 15 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 9 V 时它必须触发，恰好在开始后 500 ms。 已知 R = 4.7 kΩ，求所需的电容 C。

Vs = 15 VVth = 9 VT = 500 msR = 4.7 kΩ
C = µF
7.串并联电阻中等
R1​ = 3 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​9 VR2​15 ΩAR4​15 ΩB

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 9 VR1 = 3 ΩR2 = 15 ΩR3 = 12 ΩR4 = 15 Ω
Req = Ω
8.串并联电阻困难
R1​ = 12 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​36 VR2​6 ΩAR4​5 ΩBR6​20 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 36 VR1 = 12 ΩR2 = 6 ΩR3 = 12 ΩR4 = 5 ΩR5 = 25 ΩR6 = 20 Ω
Req = Ω
9.DC-DC 变换器中等
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

某理想 降压 变换器在 100 kHz、L = 22 µH 下把 12 V 变成 8.4 V。求电感纹波电流的峰峰值 ΔIL。

Vin​ = 12 VVo​ = 8.4 Vf = 100 kHzL = 22 µH
ΔIL = A
10.DC-DC 变换器困难
tiL​Imax​IL​DTT2T

某理想 升压 变换器在 40 kHz 下把 9 V 变成 15 V，负载为 8 Ω。求连续导通所需的最小电感 Lcrit。

Vin​ = 9 VVo​ = 15 Vf = 40 kHzR = 8 Ω
Lcrit = µH
11.惠斯通电桥与应变片中等
+−12 VR1​ = 80 ΩR2​ = 60 ΩR3​ = 10 ΩR4​ = 150 ΩabGRg​ = 200 Ω

一个电阻为 200 Ω 的检流计接在图示电桥的 a 和 b 之间（Vs = 12 V）。求从 a 流向 b 的检流计电流 Ig，单位为 µA。

Vs = 12 VR1 = 80 ΩR2 = 60 ΩR3 = 10 ΩR4 = 150 ΩRg = 200 Ω
Ig = µA
12.惠斯通电桥与应变片困难
+−3 V120 Ω120 Ω + ΔR120 Ω120 Ωab+−Vo​

某 1/4 桥（一个工作应变片，GF = 2.12）的激励电压为 3 V。要测量的最大应变为 1200 µε，它在模数转换器输入端必须给出 2.5 V。求放大器增益 G。

Vs = 3 VGF = 2.12εmax = 1200 µεVFS = 2.5 V
G =
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABCD000111100001111000010302140507161120131150140809011010

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(4, 6, 12, 15) 的最简积之和 (SOP) 形式。它有多少个乘积项 N？

F(A, B, C, D) = Σm(4, 6, 12, 15)
N =
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
TQ0​Q0​TQ1​Q1​TQ2​Q2​TQ3​Q3​CLKUP

4 位二进制加法计数器从 3（十进制，Q = 0011）开始。经过 30 个时钟脉冲后，它显示的计数 Q（十进制）是多少？

Q0 = 330n = 4
Q =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: VCE = 10.57 V

BJT 静态工作点：在放大区，VBE = 0.7 V，IC = β·IB，IE = (β + 1)·IB。用 KVL 由基极回路求 IB，再求 IC，然后由集电极–发射极回路求 VCE。基极的分压器用其戴维南等效电路代替：VTH = VCC·R₂/(R₁ + R₂)，RTH = R₁∥R₂；发射极电阻在基极回路中相当于放大了 (β + 1) 倍。

分压器的戴维南等效

VTH = 15·10/(47 + 10) = 2.632 V
RTH = 47·10/(47 + 10) = 8.246 kΩ

基极电流

沿基极回路列 KVL；发射极电流为 (β + 1)·IB。

IB = (2.632 − 0.7)/(8.246 + 81·1.5) = 14.89 µA

集电极电流

IC = 80·14.89 µA = 1.191 mA
IE = 81·14.89 µA = 1.206 mA

集电极–发射极电压

VCE = 15 − 1.191·2.2 − 1.206·1.5 = 10.57 V

答案

VCE = 10.57 V
2.二极管与晶体管

答案: RB = 0.5462 kΩ

BJT 用作开关：要使负载完全导通，晶体管须驱动到饱和，此时 VCE = VCE(sat)，集电极电流由负载决定：IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC。饱和至少需要 IB = IC(sat)/β。若基极电流更小，晶体管仍处于放大区，IC = β·IB。

饱和时的集电极电流

IC(sat) = (24 − 0.2)/100 = 238 mA

最小基极电流

IB(min) = IC(sat)/β = 238/200 = 1190 µA

设计基极电流

IB = 4·1190 µA = 4760 µA

基极电阻

RB = (3.3 − 0.7)/IB = 2.6 V/4.76 mA = 0.5462 kΩ

答案

RB = 0.5462 kΩ
3.运放电路

答案: Rf = 400 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = Vin，且流过 R₁ 的电流也流过 Rf，所以 Vout = Vin·(1 + Rf/R₁)。

Av = 1 + Rf/R1
Rf = (5 − 1)·100 = 400 kΩ

答案

Rf = 400 kΩ
4.运放电路

答案: Vout = 0.87 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I1 = V1/R1 = −0.7/10 = −0.07 mA
I2 = V2/R2 = −1.6/2 = −0.8 mA
If = I1 + I2 = −0.87 mA

输出电压

Vout = −Rf·If = −1·(−0.87) = 0.87 V

答案

Vout = 0.87 V
5.RC 和 RL 暂态

答案: W = 1.722 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 150 mH / 47 Ω = 3.191 ms
i(∞) = Vs/R = 9/47 = 0.1915 A

给定时刻的电流

i(t) = 0.1915·(1 − e−5/3.191) = 0.1515 A

储存的能量

W = ½·L·i² = ½·150·0.1515² = 1.722 mJ

答案

W = 1.722 mJ
6.RC 和 RL 暂态

答案: C = 116.1 µF

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

所需的时间常数

9 = 15·(1 − e−500/τ) → τ = 500/ln(15/(15 − 9))
τ = 500/0.9163 = 545.7 ms

电容

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

C = τ/R = 545.7/4.7 = 116.1 µF

答案

C = 116.1 µF
7.串并联电阻

答案: Req = 12.64 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 3 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​9 VR2​15 ΩAR4​15 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 12 + 15 = 27 Ω
R2 ∥ 27 = 15·27/(15+27) = 9.643 Ω
Req = R1 + 9.643 = 3 + 9.643 = 12.64 Ω

答案

Req = 12.64 Ω
8.串并联电阻

答案: Req = 16.4 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 12 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​36 VR2​6 ΩAR4​5 ΩBR6​20 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 25 + 20 = 45 Ω
R4 ∥ 45 = 4.5 Ω
R3 + 4.5 = 16.5 Ω
R2 ∥ 16.5 = 4.4 Ω
Req = R1 + 4.4 = 12 + 4.4 = 16.4 Ω

答案

Req = 16.4 Ω
9.DC-DC 变换器

答案: ΔIL = 1.145 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 8.4/12 = 0.7

导通期间的电感电压

S 导通时，电感连接在 Vin 和 Vo 之间。

VL = 12 − 8.4 = 3.6 V

纹波电流

ΔIL = VL·D/(L·f) = 3.6·0.7/(22·10⁻⁶·100·10³) = 1.145 A

答案

ΔIL = 1.145 A
10.DC-DC 变换器

答案: Lcrit = 14.4 µH

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 1 − 9/15 = 0.4

边界条件

令电感平均电流等于纹波电流的一半，解出 L。

Lcrit = D(1 − D)²·R/(2f)

临界电感

Lcrit = 0.4(1 − 0.4)²·8/(240·10³) = 14.4 µH

答案

Lcrit = 14.4 µH
11.惠斯通电桥与应变片

答案: Ig = −25064 µA

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

戴维南电压

Vth = 12·(60/140 − 150/160) = −6.107 V

戴维南电阻

Rth = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 43.66 Ω

检流计电流

Ig = −6.107/(43.66 + 200) = −25064 µA

答案

Ig = −25064 µA
12.惠斯通电桥与应变片

答案: G = 1310

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

满量程时的电桥输出

Vo = 1.908 mV

增益

G = 2.5/0.001908 = 1310

答案

G = 1310
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

ABCD000111100001111000010302140507161120131150140809011010

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

BC′D′
A′BD′
ABCD

最简 SOP 形式

F = BC′D′ + A′BD′ + ABCD
N = 3

答案

N = 3
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: Q = 1

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

完整循环

每 16 个脉冲使计数器回到相同的状态。

30 = 1·16 + 14

剩余脉冲之后的计数

Q = (3 + 14) mod 16 = 1
Q = 0001₂

答案

Q = 1

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