电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）: V_D = 0.7 V when conducting
放大区: V_BE = 0.7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
固定偏置: I_B = (V_CC − 0.7)/R_B
分压偏置: I_B = (V_TH − 0.7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
分压器的戴维南等效: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
集电极回路: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
饱和: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压: V_o = D·V_in
升压: V_o = V_in/(1 − D)
反相升降压: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
理想功率平衡: V_inI_in = V_oI_o
电感纹波: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
电感平均电流: 降压 I_o；升压和升降压 I_o/(1 − D)
输出纹波: 降压 ΔI_L/(8fC)；升压和升降压 I_o·D/(fC)
CCM 边界: 降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
求开关导通时的电感电压，再求 ΔI_L = V_L·D/(L·f)。
求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔI_L/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
出量: V_ab = V_a − V_b
平衡: R₁/R₂ = R₃/R₄
滑线电桥: R/R_x = l/(100 − l)
戴维南电阻: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
灵敏系数: ΔR/R = GF·ε
电桥输出: 1/4 桥 V_s·GF·ε/4，半桥 V_s·GF·ε/2，全桥 V_s·GF·ε
小变化，一个臂: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
应力: σ = E·ε

方法

把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
对不平衡电桥，由分压器求出 V_a 和 V_b 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 V_s·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等

一个 12 V 的齐纳稳压器通过 680 Ω 接到 20 V，并向 3300 Ω 的负载供电。求齐纳电流 I_Z。

V_in = 20 VV_Z = 12 VR = 680 ΩR_L = 3300 Ω

I_Z = mA

2.二极管与晶体管困难

一个二极管被建模为 0.7 V 与 50 Ω 串联（高于 0.7 V 时导通）。它与一个 150 Ω 的电阻串联，接在 12 V 电源两端。求二极管线与负载线相交处的工作电流 I_D。

V_s = 12 VR = 150 ΩV₀ = 0.7 Vr_d = 50 Ω

I_D = mA

3.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 2 VR₁ = 10 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

4.运放电路困难

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±12 V。在 t = 0 施加恒定输入 V_in = −0.9 V 时，电容未充电。求 t = 1 ms 时的输出电压 V_out。

V_in = −0.9 VR = 1 kΩC = 1 µFV_sat = ±12 Vt = 1 ms

V_out = V

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 5 ms 时的电流 i。

V_s = 24 VR = 47 ΩL = 150 mHt = 5 ms

i = A

6.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 4 V，极性如图所示。求 t = 100 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 9 VR = 2.2 kΩC = 68 µFv_C(0) = 4 Vt = 100 ms

v_C = V

7.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 24 VR₁ = 10 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 3 Ω

I_R2 = A

8.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 6 VR₁ = 10 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 2 Ω

R_eq = Ω

9.DC-DC 变换器中等

某降压变换器把 12 V 变成 7.2 V，负载为 2.5 Ω。开关频率为 40 kHz，L = 220 µH。求电感电流峰值 I_max。

Vin = 12 VVo = 7.2 Vf = 40 kHzL = 220 µHR = 2.5 Ω

I_max = A

10.DC-DC 变换器困难

某理想降压变换器在 200 kHz 下把 9 V 变成 4.5 V，负载为 12 Ω。求连续导通所需的最小电感 L_crit。

Vin = 9 VVo = 4.5 Vf = 200 kHzR = 12 Ω

L_crit = µH

11.惠斯通电桥与应变片中等

一个电阻为 100 Ω 的检流计接在图示电桥的 a 和 b 之间（V_s = 15 V）。求从 a 流向 b 的检流计电流 I_g，单位为 µA。

V_s = 15 VR₁ = 200 ΩR₂ = 120 ΩR₃ = 1000 ΩR₄ = 150 ΩR_g = 100 Ω

I_g = µA

12.惠斯通电桥与应变片困难

某构件（E = 70 GPa）上的应变片（GF = 2.12）接成 1/4 桥，激励电压为 2.5 V。输出读数为 1.06 mV。求轴向应力 σ，单位为 MPa。

V_s = 2.5 VGF = 2.12V_o = 1.06 mVE = 70 GPa

σ = MPa

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(3, 4, 5, 9, 10, 12) 的最简积之和 (SOP) 形式。它总共包含多少个文字 L（带撇的变量算一个文字）？

F(A, B, C, D) = Σm(3, 4, 5, 9, 10, 12)

L =

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

求 F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 8, 11, 13) + d(0, 12, 14) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它包含多少个文字 L？

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 8, 11, 13) + d(0, 12, 14)

L =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: I_Z = 8.128 mA

齐纳稳压器：反向偏置的齐纳二极管在电流保持高于最小值 I_Z,min 时维持其电压 V_Z。串联电阻 R 承担输入与输出之间的差值：I_R = (V_in − V_Z)/R。该电流分给负载 I_L = V_Z/R_L 和齐纳管 I_Z = I_R − I_L。按最坏情况设计：最低输入与最大负载时仍须留有 I_Z,min，而最高输入与空载时齐纳管功率最大，P_Z = V_Z·I_Z。

电阻电流

I_R = 8/680 = 11.76 mA

负载电流

I_L = 12/3300 = 3.636 mA

齐纳电流

I_Z = 11.76 − 3.636 = 8.128 mA

答案

I_Z = 8.128 mA

2.二极管与晶体管

答案: I_D = 56.5 mA

LED 与二极管电路：正向偏置的 LED 无论电流多大，压降都约为其正向电压 V_F（红光约 2 V，蓝光或白光约 3 V）。串联电阻决定电流：n 个 LED 串联时 R = (V_s − n·V_F)/I。用更精确的二极管模型 V = V₀ + I·r_d 时，工作点在二极管线与负载线 I = (V_s − V)/R 相交处，所以 I = (V_s − V₀)/(R + r_d)。

联立两个方程

12 = 0.7 + I·(150 + 50)

工作电流

I_D = 11.3/200 = 56.5 mA

V_D = 0.7 + 0.0565·50 = 3.525 V

答案

I_D = 56.5 mA

3.运放电路

答案: V_out = 6.4 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = 2 V

I = V₋/R₁ = 2/10 = 0.2 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = 2 + 0.2·22 = 6.4 V

答案

V_out = 6.4 V

4.运放电路

答案: V_out = 0.9 V

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 1 kΩ · 1 µF = 1 ms

斜坡速率 = −V_in/(RC) = −(−0.9)/1 = 0.9 V/ms

给定时刻的输出

理想值在 ±V_sat 以内，所以积分器尚未限幅。

V_out = −V_in·t/(RC) = −(−0.9)·1/1 = 0.9 V

答案

V_out = 0.9 V

5.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.404 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 150 mH / 47 Ω = 3.191 ms

i(∞) = V_s/R = 24/47 = 0.5106 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.5106·(1 − e^−5/3.191) = 0.404 A

答案

i = 0.404 A

6.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 6.437 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 4 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 2.2 kΩ · 68 µF = 149.6 ms

v_C(t) = 9 + (4 − 9)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(100) = 9 + (−5)·e^−100/149.6 = 6.437 V

答案

v_C = 6.437 V

7.串并联电阻

答案: I_R2 = 1.263 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 5 + 3 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 4·8/(4+8) = 2.667 Ω

R_eq = R₁ + 2.667 = 10 + 2.667 = 12.67 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 24/12.67 = 1.895 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 1.895·10 = 5.053 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5.053/4 = 1.263 A

答案

I_R2 = 1.263 A

8.串并联电阻

答案: R_eq = 13.78 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 3 + 2 = 5 Ω

R₄ ∥ 5 = 3.077 Ω

R₃ + 3.077 = 6.077 Ω

R₂ ∥ 6.077 = 3.78 Ω

R_eq = R₁ + 3.78 = 10 + 3.78 = 13.78 Ω

答案

R_eq = 13.78 Ω

9.DC-DC 变换器

答案: I_max = 3.044 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）V_o = D·V_in，升压（boost）V_o = V_in/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|V_o| = V_in·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：V_in·I_in = V_o·I_o。开关导通期间，电感电流上升 ΔI_L = V_L·D·T/L，其中降压变换器的 V_L = V_in − V_o，升压和升降压变换器为 V_in。输出纹波对降压变换器为 ΔV_o = ΔI_L/(8fC)，对升压和升降压变换器为 I_o·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔI_L/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 7.2/12 = 0.6

平均电流和纹波电流

I_o = 7.2/2.5 = 2.88 A

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 4.8·0.6/(220·10⁻⁶·40·10³) = 0.3273 A

峰值电流

I_max = 2.88 + 0.3273/2 = 3.044 A

答案

I_max = 3.044 A

10.DC-DC 变换器

答案: L_crit = 15 µH

占空比

D = 4.5/9 = 0.5

边界条件

令电感平均电流等于纹波电流的一半，解出 L。

L_crit = (1 − D)·R/(2f)

临界电感

L_crit = (1 − 0.5)·12/(2200·10³) = 15 µH

答案

L_crit = 15 µH

11.惠斯通电桥与应变片

答案: I_g = 12011 µA

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 V_s。左侧分压器 R₁–R₂ 给出 V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂)，右侧分压器 R₃–R₄ 给出 V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)；输出为 V_ab = V_a − V_b。当 R₁/R₂ = R₃/R₄，即 R₁·R₄ = R₂·R₃ 时，电桥平衡（V_ab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄。

戴维南电压

V_th = 15·(120/320 − 150/1150) = 3.668 V

戴维南电阻

R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 205.4 Ω

检流计电流

I_g = 3.668/(205.4 + 100) = 12011 µA

答案

I_g = 12011 µA

12.惠斯通电桥与应变片

答案: σ = 56 MPa

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 V_o ≈ V_s·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 V_s·GF·ε/2，四个（全桥）给出 V_s·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

应变

ε = 4·0.00106/(2.5·2.12) = 0.0008

应力

σ = 70·10³ MPa·0.0008 = 56 MPa

答案

σ = 56 MPa

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 18

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

BC′D′

A′BC′

A′B′CD

AB′C′D

AB′CD′

最简 SOP 形式

F = BC′D′ + A′BC′ + A′B′CD + AB′C′D + AB′CD′

L = 18

答案

L = 18

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 16

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

B′C′D′, AC′D′, A′B′D′, A′B′C′, ABC′, AB′CD

最小覆盖

F = B′C′D′ + A′B′D′ + A′B′C′ + ABC′ + AB′CD

L = 16

答案

L = 16

还存在另一种大小相同的圈法；它的项数和文字数相同。

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