电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）
VD = 0.7 V when conducting
放大区
VBE = 0.7 V, IC = β·IB, IE = (β + 1)·IB
固定偏置
IB = (VCC − 0.7)/RB
分压偏置
IB = (VTH − 0.7)/(RTH + (β + 1)RE)
分压器的戴维南等效
VTH = VCC·R2/(R1 + R2), RTH = R1∥R2
集电极回路
VCE = VCC − ICRC − IERE
饱和
IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC, IB ≥ IC(sat)/β

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压
Vo = D·Vin
升压
Vo = Vin/(1 − D)
反相升降压
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
理想功率平衡
VinIin = VoIo
电感纹波
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
电感平均电流
降压 Io；升压和升降压 Io/(1 − D)
输出纹波
降压 ΔIL/(8fC)；升压和升降压 Io·D/(fC)
CCM 边界
降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

  1. 判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
  2. 对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
  3. 求开关导通时的电感电压，再求 ΔIL = VL·D/(L·f)。
  4. 求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔIL/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等
+−24 VR = ?5 × 3.2 V5 mA

5 个蓝球 LED（每个正向电压 3.2 V）与一个电阻串联，接到 24 V 电源上。求使电流为 5 mA 的电阻 R。

Vs = 24 VVF = 3.2 Vn = 5I = 5 mA
R = Ω
2.二极管与晶体管困难
RC​ = 1 kΩβ = 200VCC​ = 12 V3.3 VRB​ = ?

一只 β = 200 的 NPN 晶体管控制一个接在 VCC = 12 V 与其集电极之间的 1 kΩ 负载电阻。发射极接地。基极由 3.3 V 逻辑输出经基极电阻 RB 驱动。取 VBE = 0.7 V，VCE(sat) = 0.2 V。 为保证可靠开关，按饱和所需最小基极电流的 3 倍来设计基极电流。求 RB，以 kΩ 计。

VCC = 12 VRC = 1 kΩβ = 200Vin = 3.3 VVBE = 0.7 VVCE(sat) = 0.2 V过驱动系数 = 3
RB = kΩ
3.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = 47 kΩR1​ = 47 kΩVin​ = 1.6 V

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。 求输出电压 Vout。

Vin = 1.6 VR1 = 47 kΩRf = 47 kΩ
Vout = V
4.运放电路困难
−+Vout​Rf​ = 1 kΩV1​ = −0.8 VR1​ = 10 kΩV2​ = −1.9 VR2​ = 1 kΩIf​

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。 求流过反馈电阻、流向输出端的电流 If。

V1 = −0.8 VV2 = −1.9 VR1 = 10 kΩR2 = 1 kΩRf = 1 kΩ
If = mA
5.RC 和 RL 暂态中等
R = 15 Ωt = 0L100 mHi(t)

电感中流过 1.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 求 t = 15 ms 时的电流 i。

i(0) = 1.5 AR = 15 ΩL = 100 mHt = 15 ms
i = A
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​12 V在 t = 0 断开R1​ = 2.2 kΩR2​ = 4.7 kΩi2​C100 µF+−vC​

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。 求 t = 120 ms 时流过 R2 的电流 i2。

Vs = 12 VR1 = 2.2 kΩR2 = 4.7 kΩC = 100 µFt = 120 ms
i2 = mA
7.串并联电阻中等
R1​ = 2 ΩIR1​R3​ = 6 Ω+−V1​18 VR2​5 ΩAR4​12 ΩB

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 18 VR1 = 2 ΩR2 = 5 ΩR3 = 6 ΩR4 = 12 Ω
IR1 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 10 ΩIR1​R3​ = 4 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩAR4​12 ΩBR6​3 Ω

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 9 VR1 = 10 ΩR2 = 6 ΩR3 = 4 ΩR4 = 12 ΩR5 = 3 ΩR6 = 3 Ω
IR1 = A
9.DC-DC 变换器中等
tiL​Imax​ = ?Imin​Io​DTT2T

某降压变换器把 9 V 变成 5.4 V，负载为 25 Ω。开关频率为 50 kHz，L = 330 µH。求电感电流峰值 Imax。

Vin​ = 9 VVo​ = 5.4 Vf = 50 kHzL = 330 µHR = 25 Ω
Imax = A
10.DC-DC 变换器困难
tiL​Imax​IL​DTT2T

某理想反相升降压变换器在 250 kHz 下把 48 V 变成 −72 V，负载为 4 Ω。求连续导通所需的最小电感 Lcrit。

Vin​ = 48 VVo​ = −72 Vf = 250 kHzR = 4 Ω
Lcrit = µH
11.惠斯通电桥与应变片中等
+−10 V1000 Ω1000 Ω + ΔR1000 Ω1000 Ωab+−Vab​ = ?

某电桥的四个臂均为 1000 Ω，Vs = 10 V。传感器 R₂ 增大了 ΔR = 5 Ω。用小变化近似求输出 Vab，单位为 mV。

Vs = 10 VR = 1000 ΩΔR = 5 Ω
Vab = mV
12.惠斯通电桥与应变片困难
+−3 V120 Ω − ΔR120 Ω + ΔR120 Ω120 Ωab+−Vo​ = ?

某电桥的各臂为 120 Ω，激励电压为 3 V，采用 相邻臂上的两个工作应变片，一个受拉、一个受压（半桥）。灵敏系数为 2.12，应变为 500 µε。求电桥输出 Vo，单位为 mV。

Vs = 3 VGF = 2.12ε = 500 µε
Vo = mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABCD000111100001111010010312041507161121130151141819011010

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 14) 的最简和之积 (POS) 形式。它有多少个和项（因子）N？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 14)
N =
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
FFQ0​Q0​FFQ1​Q1​FFQ2​Q2​FFQ3​Q3​CLKMOD-10

一个 12 kHz 的时钟驱动一个模 10 计数器。求其最高位输出的频率 fout，该输出每个计数周期完成一个周期。

fclk = 12 kHzN = 10
fout = kHz

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: R = 1600 Ω

LED 与二极管电路：正向偏置的 LED 无论电流多大，压降都约为其正向电压 VF（红光约 2 V，蓝光或白光约 3 V）。串联电阻决定电流：n 个 LED 串联时 R = (Vs − n·VF)/I。用更精确的二极管模型 V = V₀ + I·rd 时，工作点在二极管线与负载线 I = (Vs − V)/R 相交处，所以 I = (Vs − V₀)/(R + rd)。

电阻两端的电压

VR = 24 − 5·3.2 = 8 V

电阻

R = 8/0.005 = 1600 Ω

答案

R = 1600 Ω

电阻耗散 40 mW。

2.二极管与晶体管

答案: RB = 14.69 kΩ

BJT 用作开关：要使负载完全导通，晶体管须驱动到饱和，此时 VCE = VCE(sat)，集电极电流由负载决定：IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC。饱和至少需要 IB = IC(sat)/β。若基极电流更小，晶体管仍处于放大区，IC = β·IB。

饱和时的集电极电流

IC(sat) = (12 − 0.2)/1000 = 11.8 mA

最小基极电流

IB(min) = IC(sat)/β = 11.8/200 = 59 µA

设计基极电流

IB = 3·59 µA = 177 µA

基极电阻

RB = (3.3 − 0.7)/IB = 2.6 V/0.177 mA = 14.69 kΩ

答案

RB = 14.69 kΩ
3.运放电路

答案: Vout = 3.2 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = 1.6 V
I = V₋/R1 = 1.6/47 = 0.03404 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 Rf。

Vout = V₋ + I·Rf = 1.6 + 0.03404·47 = 3.2 V

答案

Vout = 3.2 V
4.运放电路

答案: If = −1.98 mA

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I1 = V1/R1 = −0.8/10 = −0.08 mA
I2 = V2/R2 = −1.9/1 = −1.9 mA
If = I1 + I2 = −1.98 mA

答案

If = −1.98 mA
5.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.1581 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 100 mH / 15 Ω = 6.667 ms

电流的衰减

i(t) = 1.5·e−15/6.667 = 0.1581 A

答案

i = 0.1581 A
6.RC 和 RL 暂态

答案: i2 = 1.347 mA

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

vC(0) = 12·4.7/(2.2 + 4.7) = 8.174 V

开关断开后的时间常数

τ = R2·C = 4.7·100 = 470 ms

放电

vC(t) = 8.174·e−120/470 = 6.332 V
i2 = vC/R2 = 6.332/4.7 = 1.347 mA

答案

i2 = 1.347 mA
7.串并联电阻

答案: IR1 = 3.044 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 2 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​18 VR2​5 ΩAR4​12 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 6 + 12 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 5·18/(5+18) = 3.913 Ω
Req = R1 + 3.913 = 2 + 3.913 = 5.913 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 18/5.913 = 3.044 A

答案

IR1 = 3.044 A
8.串并联电阻

答案: IR1 = 0.6702 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 10 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩAR4​12 ΩBR6​3 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 3 + 3 = 6 Ω
R4 ∥ 6 = 4 Ω
R3 + 4 = 8 Ω
R2 ∥ 8 = 3.429 Ω
Req = R1 + 3.429 = 10 + 3.429 = 13.43 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 9/13.43 = 0.6702 A

答案

IR1 = 0.6702 A
9.DC-DC 变换器

答案: Imax = 0.2815 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 5.4/9 = 0.6

平均电流和纹波电流

Io = 5.4/25 = 0.216 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 3.6·0.6/(330·10⁻⁶·50·10³) = 0.1309 A

峰值电流

Imax = 0.216 + 0.1309/2 = 0.2815 A

答案

Imax = 0.2815 A
10.DC-DC 变换器

答案: Lcrit = 1.28 µH

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 72/(48 + 72) = 0.6

边界条件

令电感平均电流等于纹波电流的一半，解出 L。

Lcrit = (1 − D)²·R/(2f)

临界电感

Lcrit = (1 − 0.6)²·4/(2250·10³) = 1.28 µH

答案

Lcrit = 1.28 µH
11.惠斯通电桥与应变片

答案: Vab = 12.5 mV

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

相对变化

ΔR/R = 5/1000 = 0.005

线性化输出

Vab ≈ 10·0.005/4 = 12.5 mV

答案

Vab = 12.5 mV

精确值为 12.47 mV；只要 ΔR/R 很小，这个近似就很好。

12.惠斯通电桥与应变片

答案: Vo = 1.59 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

电阻相对变化

ΔR/R = 2.12·500·10⁻⁶ = 0.00106

电桥输出

Vo = Vs·GF·ε/2 = 3·0.00106/2 = 1.59 mV

答案

Vo = 1.59 mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 4

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

ABCD000111100001111010010312041507161121130151141819011010

圈 0

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

(C′ + D′)
(A + B + D′)
(A′ + B + C′)
(A + B′ + C + D)

最简 POS 形式

F = (C′ + D′)(A + B + D′)(A′ + B + C′)(A + B′ + C + D)
N = 4

答案

N = 4
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: fout = 1.2 kHz

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

分频

fout = 12 kHz / 10 = 1.2 kHz

答案

fout = 1.2 kHz

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