电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）
VD = 0.7 V when conducting
放大区
VBE = 0.7 V, IC = β·IB, IE = (β + 1)·IB
固定偏置
IB = (VCC − 0.7)/RB
分压偏置
IB = (VTH − 0.7)/(RTH + (β + 1)RE)
分压器的戴维南等效
VTH = VCC·R2/(R1 + R2), RTH = R1∥R2
集电极回路
VCE = VCC − ICRC − IERE
饱和
IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC, IB ≥ IC(sat)/β

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压
Vo = D·Vin
升压
Vo = Vin/(1 − D)
反相升降压
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
理想功率平衡
VinIin = VoIo
电感纹波
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
电感平均电流
降压 Io；升压和升降压 Io/(1 − D)
输出纹波
降压 ΔIL/(8fC)；升压和升降压 Io·D/(fC)
CCM 边界
降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

  1. 判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
  2. 对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
  3. 求开关导通时的电感电压，再求 ΔIL = VL·D/(L·f)。
  4. 求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔIL/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等
RC​ = 1.2 kΩβ = 200VCC​ = 10 VRB​ = 470 kΩ

一只 β = 200 的 NPN 晶体管由电源 VCC = 10 V 经基极电阻 RB = 470 kΩ 偏置。集电极电阻为 RC = 1.2 kΩ，发射极接地。取 VBE = 0.7 V，并假设晶体管工作在放大区。 求集电极–发射极电压 VCE。

VCC = 10 VRB = 470 kΩRC = 1.2 kΩβ = 200VBE = 0.7 V
VCE = V
2.二极管与晶体管困难
RC​ = 680 Ωβ = 50IC​ = ?VCC​ = 5 V3.3 VRB​ = 220 kΩ

一只 β = 50 的 NPN 晶体管控制一个接在 VCC = 5 V 与其集电极之间的 680 Ω 负载电阻。发射极接地。基极由 3.3 V 逻辑输出经基极电阻 RB = 220 kΩ 驱动。取 VBE = 0.7 V，VCE(sat) = 0.2 V。 求输入为高电平时的集电极电流 IC，以 mA 计。先判断晶体管是否饱和。

VCC = 5 VRC = 680 Ωβ = 50Vin = 3.3 VVBE = 0.7 VVCE(sat) = 0.2 VRB = 220 kΩ
IC = mA
3.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = 10 kΩVin​R1​ = 2 kΩ

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源；其输出饱和电压为 ±12 V。 反相放大器由正弦波驱动。求输出不削波时的最大输入幅值 Vin,max（峰值）。

R1 = 2 kΩRf = 10 kΩVsat = ±12 V
Vin,max = V
4.运放电路困难
−+Vout​Rf​ = 1 kΩV1​ = 1.7 VR1​ = 1 kΩV2​ = 1.9 VR2​ = 10 kΩIf​

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。 求流过反馈电阻、流向输出端的电流 If。

V1 = 1.7 VV2 = 1.9 VR1 = 1 kΩR2 = 10 kΩRf = 1 kΩ
If = mA
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​5 Vt = 0R = 33 ΩL10 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时的电流 i。

Vs = 5 VR = 33 ΩL = 10 mHt = 1 ms
i = A
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​20 Vt = 0R = 2.2 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 10 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 10 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 13 V？求 t。

Vs = 20 VR = 2.2 kΩC = 100 µFvC(0) = 10 V
t = ms
7.串并联电阻中等
R1​ = 2 ΩIR1​R3​ = 20 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩAR4​12 ΩB

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 9 VR1 = 2 ΩR2 = 6 ΩR3 = 20 ΩR4 = 12 Ω
IR1 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 20 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​20 ΩAR4​20 ΩBR6​5 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 30 VR1 = 20 ΩR2 = 20 ΩR3 = 6 ΩR4 = 20 ΩR5 = 6 ΩR6 = 5 Ω
Req = Ω
9.DC-DC 变换器中等
tiL​Imax​ = ?Imin​Io​DTT2T

某降压变换器把 24 V 变成 9.6 V，负载为 10 Ω。开关频率为 40 kHz，L = 100 µH。求电感电流峰值 Imax。

Vin​ = 24 VVo​ = 9.6 Vf = 40 kHzL = 100 µHR = 10 Ω
Imax = A
10.DC-DC 变换器困难
+−15 VSLC = 100 µFR = 20 Ω−+−35 V

某理想 升降压 变换器在 20 kHz 下把 15 V 变成 −35 V，负载为 20 Ω。输出电容为 100 µF。求输出电压纹波的峰峰值 ΔVo，单位为 mV。

Vin​ = 15 VVo​ = −35 Vf = 20 kHzC = 100 µFR = 20 Ω
ΔVo = mV
11.惠斯通电桥与应变片中等
+−15 VR1​ = 80 ΩR2​ = 400 ΩR3​ = 120 ΩR4​ = 100 Ωab+−Rth​ = ?

求图示电桥从输出端 a、b 看进去的戴维南电阻 Rth。

Vs = 15 VR1 = 80 ΩR2 = 400 ΩR3 = 120 ΩR4 = 100 Ω
Rth = Ω
12.惠斯通电桥与应变片困难
+−12 V1000 Ω − ΔR1000 Ω + ΔR1000 Ω + ΔR1000 Ω − ΔRab+−Vo​ = ?

某称重传感器（应变片全桥）在额定载荷 100 kg 时的额定输出为 1.5 mV/V。激励电压为 12 V。求它在 25 kg 载荷下的输出 Vo。

1.5 mV/VFrated = 100 kgVs = 12 VF = 25 kg
Vo = mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABC00011110011001130214050706

用卡诺图求 F(A, B, C) = Σm(0, 3, 4) 的最简和之积 (POS) 形式。它有多少个和项（因子）N？

F(A, B, C) = Σm(0, 3, 4)
N =
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
CLKD123456

一个上升沿触发的 D 触发器从 Q = 0 开始，接收到所示的输入。点选 Q 第一次从 1 回到 0 的时钟边沿。

Q₀ = 0D
  1. 1时钟边沿 1
  2. 2时钟边沿 2
  3. 3时钟边沿 3
  4. 4时钟边沿 4
  5. 5时钟边沿 5
  6. 6时钟边沿 6

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: VCE = 5.251 V

BJT 静态工作点：在放大区，VBE = 0.7 V，IC = β·IB，IE = (β + 1)·IB。用 KVL 由基极回路求 IB，再求 IC，然后由集电极–发射极回路求 VCE。基极的分压器用其戴维南等效电路代替：VTH = VCC·R₂/(R₁ + R₂)，RTH = R₁∥R₂；发射极电阻在基极回路中相当于放大了 (β + 1) 倍。

基极电流

IB = (VCC − VBE)/RB = (10 − 0.7)/470 kΩ = 19.79 µA

集电极电流

IC = β·IB = 200·19.79 µA = 3.957 mA

集电极–发射极电压

VCE = 10 − 3.957 mA·1.2 kΩ = 5.251 V

答案

VCE = 5.251 V
2.二极管与晶体管

答案: IC = 0.5909 mA

BJT 用作开关：要使负载完全导通，晶体管须驱动到饱和，此时 VCE = VCE(sat)，集电极电流由负载决定：IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC。饱和至少需要 IB = IC(sat)/β。若基极电流更小，晶体管仍处于放大区，IC = β·IB。

基极电流

IB = (3.3 − 0.7)/220 kΩ = 11.82 µA

饱和还是放大？

β·IB 小于 IC(sat)，所以晶体管仍处于放大区。

β·IB = 0.5909 mA
IC(sat) = (5 − 0.2)/680 = 7.059 mA

集电极电流

IC = β·IB = 0.5909 mA

答案

IC = 0.5909 mA

晶体管处于放大区，所以负载没有完全接通。

3.运放电路

答案: Vin,max = 2.4 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

增益

|Av| = Rf/R1 = 10/2 = 5

削波前的最大输入

Vin,max = Vsat/|Av| = 12/5 = 2.4 V

答案

Vin,max = 2.4 V
4.运放电路

答案: If = 1.89 mA

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I1 = V1/R1 = 1.7/1 = 1.7 mA
I2 = V2/R2 = 1.9/10 = 0.19 mA
If = I1 + I2 = 1.89 mA

答案

If = 1.89 mA
5.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.1459 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 10 mH / 33 Ω = 0.303 ms
i(∞) = Vs/R = 5/33 = 0.1515 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.1515·(1 − e−1/0.303) = 0.1459 A

答案

i = 0.1459 A
6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 78.47 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 10 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 2.2 kΩ · 100 µF = 220 ms
vC(t) = 20 + (10 − 20)·e−t/τ

求解时间

13 = 20 + (−10)·e−t/τ → e−t/τ = (13 − 20)/(10 − 20) = 0.7
t = τ·ln((10 − 20)/(13 − 20)) = 220·ln(1.429) = 78.47 ms

答案

t = 78.47 ms
7.串并联电阻

答案: IR1 = 1.276 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 2 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩAR4​12 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 20 + 12 = 32 Ω
R2 ∥ 32 = 6·32/(6+32) = 5.053 Ω
Req = R1 + 5.053 = 2 + 5.053 = 7.053 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 9/7.053 = 1.276 A

答案

IR1 = 1.276 A
8.串并联电阻

答案: Req = 27.91 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 20 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​20 ΩAR4​20 ΩBR6​5 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 6 + 5 = 11 Ω
R4 ∥ 11 = 7.097 Ω
R3 + 7.097 = 13.1 Ω
R2 ∥ 13.1 = 7.914 Ω
Req = R1 + 7.914 = 20 + 7.914 = 27.91 Ω

答案

Req = 27.91 Ω
9.DC-DC 变换器

答案: Imax = 1.68 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 9.6/24 = 0.4

平均电流和纹波电流

Io = 9.6/10 = 0.96 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 14.4·0.4/(100·10⁻⁶·40·10³) = 1.44 A

峰值电流

Imax = 0.96 + 1.44/2 = 1.68 A

答案

Imax = 1.68 A
10.DC-DC 变换器

答案: ΔVo = 612.5 mV

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 35/(15 + 35) = 0.7

负载电流

Io = 35/20 = 1.75 A

输出纹波

ΔVo = 1.75·0.7/(20·10³·100·10⁻⁶) = 612.5 mV

答案

ΔVo = 612.5 mV
11.惠斯通电桥与应变片

答案: Rth = 121.2 Ω

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

电源短路

R₁∥R₂ = 80·400/480 = 66.67 Ω
R₃∥R₄ = 120·100/220 = 54.55 Ω

戴维南电阻

Rth = 121.2 Ω

答案

Rth = 121.2 Ω
12.惠斯通电桥与应变片

答案: Vo = 4.5 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

满量程输出

1.5·12 = 18 mV

该载荷下的输出

Vo = 18·25/100 = 4.5 mV

答案

Vo = 4.5 mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

ABC00011110011001130214050706

圈 0

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

(B + C′)
(B′ + C)
(A′ + C′)

最简 POS 形式

F = (B + C′)(B′ + C)(A′ + C′)
N = 3

答案

N = 3

还存在另一种大小相同的圈法；它的项数和文字数相同。

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: 时钟边沿 3

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的 Q

D 触发器在每个上升沿复制 D：Q⁺ = D。

1: D = 1 → Q = 1
2: D = 1 → Q = 1
3: D = 0 → Q = 0
4: D = 0 → Q = 0
5: D = 0 → Q = 0
6: D = 1 → Q = 1

第一次从 1 变为 0

时钟边沿 3

答案

时钟边沿 3

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