电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）: V_D = 0.7 V when conducting
放大区: V_BE = 0.7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
固定偏置: I_B = (V_CC − 0.7)/R_B
分压偏置: I_B = (V_TH − 0.7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
分压器的戴维南等效: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
集电极回路: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
饱和: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压: V_o = D·V_in
升压: V_o = V_in/(1 − D)
反相升降压: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
理想功率平衡: V_inI_in = V_oI_o
电感纹波: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
电感平均电流: 降压 I_o；升压和升降压 I_o/(1 − D)
输出纹波: 降压 ΔI_L/(8fC)；升压和升降压 I_o·D/(fC)
CCM 边界: 降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
求开关导通时的电感电压，再求 ΔI_L = V_L·D/(L·f)。
求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔI_L/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
出量: V_ab = V_a − V_b
平衡: R₁/R₂ = R₃/R₄
滑线电桥: R/R_x = l/(100 − l)
戴维南电阻: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
灵敏系数: ΔR/R = GF·ε
电桥输出: 1/4 桥 V_s·GF·ε/4，半桥 V_s·GF·ε/2，全桥 V_s·GF·ε
小变化，一个臂: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
应力: σ = E·ε

方法

把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
对不平衡电桥，由分压器求出 V_a 和 V_b 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 V_s·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等

一只 β = 120 的 NPN 晶体管由 V_CC = 12 V 分压偏置：R₁ = 33 kΩ 接在 V_CC 与基极之间，R₂ = 22 kΩ 接在基极与地之间。集电极电阻为 R_C = 1.5 kΩ，发射极电阻为 R_E = 1.5 kΩ。取 V_BE = 0.7 V，并使用分压器的戴维南等效电路（不忽略基极电流）。求集电极电流 I_C，以 mA 计。

V_CC = 12 VR₁ = 33 kΩR₂ = 22 kΩR_C = 1.5 kΩR_E = 1.5 kΩβ = 120

I_C = mA

2.二极管与晶体管困难

一个二极管被建模为 0.6 V 与 25 Ω 串联（高于 0.6 V 时导通）。它与一个 220 Ω 的电阻串联，接在 3 V 电源两端。求二极管线与负载线相交处的工作电流 I_D。

V_s = 3 VR = 220 ΩV₀ = 0.6 Vr_d = 25 Ω

I_D = mA

3.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = −1 VR_a = 100 kΩR_b = 10 kΩR₁ = 1 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

4.运放电路困难

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±14 V。在 t = 0 施加恒定输入 V_in = 1 V 时，电容未充电。 t = 0 之后多长时间输出达到饱和？求 t。

V_in = 1 VR = 47 kΩC = 0.22 µFV_sat = ±14 V

t = ms

5.RC 和 RL 暂态中等

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。开关在 t = 0 闭合时电容未充电。求 t = 120 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 9 VR₁ = 6.8 kΩR₂ = 10 kΩC = 10 µFt = 120 ms

v_C = V

6.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 10 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 15.6 V？求 t。

V_s = 24 VR = 2.2 kΩC = 22 µFv_C(0) = 10 V

t = ms

7.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 30 VR₁ = 3 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

8.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 18 VR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 3 Ω

R_eq = Ω

9.DC-DC 变换器中等

某降压变换器把 9 V 变成 6.3 V，负载为 2.5 Ω。开关频率为 20 kHz，L = 68 µH。求电感电流峰值 I_max。

Vin = 9 VVo = 6.3 Vf = 20 kHzL = 68 µHR = 2.5 Ω

I_max = A

10.DC-DC 变换器困难

某理想反相升降压变换器在 20 kHz 下把 36 V 变成 −54 V，负载为 5 Ω。求连续导通所需的最小电感 L_crit。

Vin = 36 VVo = −54 Vf = 20 kHzR = 5 Ω

L_crit = µH

11.惠斯通电桥与应变片中等

某电桥的四个臂均为 350 Ω，V_s = 5 V。传感器 R₂ 增大了 ΔR = 2.8 Ω。用小变化近似求输出 V_ab，单位为 mV。

V_s = 5 VR = 350 ΩΔR = 2.8 Ω

V_ab = mV

12.惠斯通电桥与应变片困难

某电桥的各臂为 120 Ω，激励电压为 10 V，采用四个工作应变片，两个受拉、两个受压（全桥）。灵敏系数为 2，应变为 1200 µε。求电桥输出 V_o，单位为 mV。

V_s = 10 VGF = 2ε = 1200 µε

V_o = mV

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(1, 4, 8, 9, 10, 12, 13, 15) 的最简积之和 (SOP) 形式。它有多少个乘积项 N？

F(A, B, C, D) = Σm(1, 4, 8, 9, 10, 12, 13, 15)

N =

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

一个上升沿触发的 T 触发器从 Q = 0 开始，接收到所示的输入。点选 Q 第一次从 1 回到 0 的时钟边沿。

Q₀ = 0T

1时钟边沿 1
2时钟边沿 2
3时钟边沿 3
4时钟边沿 4
5时钟边沿 5
6时钟边沿 6
7时钟边沿 7
8时钟边沿 8

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: I_C = 2.527 mA

BJT 静态工作点：在放大区，V_BE = 0.7 V，I_C = β·I_B，I_E = (β + 1)·I_B。用 KVL 由基极回路求 I_B，再求 I_C，然后由集电极–发射极回路求 V_CE。基极的分压器用其戴维南等效电路代替：V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂)，R_TH = R₁∥R₂；发射极电阻在基极回路中相当于放大了 (β + 1) 倍。

分压器的戴维南等效

V_TH = 12·22/(33 + 22) = 4.8 V

R_TH = 33·22/(33 + 22) = 13.2 kΩ

基极电流

沿基极回路列 KVL；发射极电流为 (β + 1)·I_B。

I_B = (4.8 − 0.7)/(13.2 + 121·1.5) = 21.06 µA

集电极电流

I_C = 120·21.06 µA = 2.527 mA

I_E = 121·21.06 µA = 2.548 mA

答案

I_C = 2.527 mA

2.二极管与晶体管

答案: I_D = 9.796 mA

LED 与二极管电路：正向偏置的 LED 无论电流多大，压降都约为其正向电压 V_F（红光约 2 V，蓝光或白光约 3 V）。串联电阻决定电流：n 个 LED 串联时 R = (V_s − n·V_F)/I。用更精确的二极管模型 V = V₀ + I·r_d 时，工作点在二极管线与负载线 I = (V_s − V)/R 相交处，所以 I = (V_s − V₀)/(R + r_d)。

联立两个方程

3 = 0.6 + I·(220 + 25)

工作电流

I_D = 2.4/245 = 9.796 mA

V_D = 0.6 + 0.009796·25 = 0.8449 V

答案

I_D = 9.796 mA

3.运放电路

答案: V_out = −2.091 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = −1·10/(100 + 10) = −0.09091 V

同相增益

V₋ = V₊，流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = −0.09091·(1 + 22/1) = −2.091 V

答案

V_out = −2.091 V

4.运放电路

答案: t = 144.8 ms

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 47 kΩ · 0.22 µF = 10.34 ms

斜坡速率 = −V_in/(RC) = −1/10.34 = −0.09671 V/ms

达到饱和的时间

|V_in|·t/(RC) = V_sat → t = V_sat·RC/|V_in| = 14·10.34/1 = 144.8 ms

答案

t = 144.8 ms

5.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 5.081 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 R_th；把电容断开，求它最终稳定的电压。

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6.8·10/(6.8 + 10) = 4.048 kΩ

v_C(∞) = 9·10/(6.8 + 10) = 5.357 V

时间常数

τ = R_th·C = 4.048·10 = 40.48 ms

充电曲线

v_C(t) = 5.357·(1 − e^−120/40.48) = 5.081 V

答案

v_C = 5.081 V

6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 24.72 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 10 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 2.2 kΩ · 22 µF = 48.4 ms

v_C(t) = 24 + (10 − 24)·e^−t/τ

求解时间

15.6 = 24 + (−14)·e^−t/τ → e^−t/τ = (15.6 − 24)/(10 − 24) = 0.6

t = τ·ln((10 − 24)/(15.6 − 24)) = 48.4·ln(1.667) = 24.72 ms

答案

t = 24.72 ms

7.串并联电阻

答案: R_eq = 5.667 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 4 + 4 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 4·8/(4+8) = 2.667 Ω

R_eq = R₁ + 2.667 = 3 + 2.667 = 5.667 Ω

答案

R_eq = 5.667 Ω

8.串并联电阻

答案: R_eq = 21.88 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 30 + 3 = 33 Ω

R₄ ∥ 33 = 7.674 Ω

R₃ + 7.674 = 32.67 Ω

R₂ ∥ 32.67 = 1.885 Ω

R_eq = R₁ + 1.885 = 20 + 1.885 = 21.88 Ω

答案

R_eq = 21.88 Ω

9.DC-DC 变换器

答案: I_max = 3.215 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）V_o = D·V_in，升压（boost）V_o = V_in/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|V_o| = V_in·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：V_in·I_in = V_o·I_o。开关导通期间，电感电流上升 ΔI_L = V_L·D·T/L，其中降压变换器的 V_L = V_in − V_o，升压和升降压变换器为 V_in。输出纹波对降压变换器为 ΔV_o = ΔI_L/(8fC)，对升压和升降压变换器为 I_o·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔI_L/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 6.3/9 = 0.7

平均电流和纹波电流

I_o = 6.3/2.5 = 2.52 A

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 2.7·0.7/(68·10⁻⁶·20·10³) = 1.39 A

峰值电流

I_max = 2.52 + 1.39/2 = 3.215 A

答案

I_max = 3.215 A

10.DC-DC 变换器

答案: L_crit = 20 µH

占空比

D = 54/(36 + 54) = 0.6

边界条件

令电感平均电流等于纹波电流的一半，解出 L。

L_crit = (1 − D)²·R/(2f)

临界电感

L_crit = (1 − 0.6)²·5/(220·10³) = 20 µH

答案

L_crit = 20 µH

11.惠斯通电桥与应变片

答案: V_ab = 10 mV

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 V_s。左侧分压器 R₁–R₂ 给出 V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂)，右侧分压器 R₃–R₄ 给出 V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)；输出为 V_ab = V_a − V_b。当 R₁/R₂ = R₃/R₄，即 R₁·R₄ = R₂·R₃ 时，电桥平衡（V_ab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄。

相对变化

ΔR/R = 2.8/350 = 0.008

线性化输出

V_ab ≈ 5·0.008/4 = 10 mV

答案

V_ab = 10 mV

精确值为 9.96 mV；只要 ΔR/R 很小，这个近似就很好。

12.惠斯通电桥与应变片

答案: V_o = 24 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 V_o ≈ V_s·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 V_s·GF·ε/2，四个（全桥）给出 V_s·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

电阻相对变化

ΔR/R = 2·1200·10⁻⁶ = 0.0024

电桥输出

V_o = V_s·GF·ε = 10·0.0024 = 24 mV

答案

V_o = 24 mV

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 4

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

B′C′D

BC′D′

AB′D′

ABD

最简 SOP 形式

F = B′C′D + BC′D′ + AB′D′ + ABD

N = 4

答案

N = 4

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: 时钟边沿 8

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的 Q

T 触发器在 T = 1 时每个上升沿翻转，在 T = 0 时保持。

1: T = 0 → Q = 0

2: T = 1 → Q = 1

3: T = 0 → Q = 1

4: T = 0 → Q = 1

5: T = 0 → Q = 1

6: T = 0 → Q = 1

7: T = 0 → Q = 1

8: T = 1 → Q = 0

第一次从 1 变为 0

时钟边沿 8

答案

时钟边沿 8

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