电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）
VD = 0.7 V when conducting
放大区
VBE = 0.7 V, IC = β·IB, IE = (β + 1)·IB
固定偏置
IB = (VCC − 0.7)/RB
分压偏置
IB = (VTH − 0.7)/(RTH + (β + 1)RE)
分压器的戴维南等效
VTH = VCC·R2/(R1 + R2), RTH = R1∥R2
集电极回路
VCE = VCC − ICRC − IERE
饱和
IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC, IB ≥ IC(sat)/β

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压
Vo = D·Vin
升压
Vo = Vin/(1 − D)
反相升降压
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
理想功率平衡
VinIin = VoIo
电感纹波
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
电感平均电流
降压 Io；升压和升降压 Io/(1 − D)
输出纹波
降压 ΔIL/(8fC)；升压和升降压 Io·D/(fC)
CCM 边界
降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

  1. 判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
  2. 对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
  3. 求开关导通时的电感电压，再求 ΔIL = VL·D/(L·f)。
  4. 求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔIL/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等
RC​ = 5.6 kΩβ = 200RE​ = 680 ΩVCC​ = 12 VR1​ = 56 kΩR2​ = 8.2 kΩ

一只 β = 200 的 NPN 晶体管由 VCC = 12 V 分压偏置：R₁ = 56 kΩ 接在 VCC 与基极之间，R₂ = 8.2 kΩ 接在基极与地之间。集电极电阻为 RC = 5.6 kΩ，发射极电阻为 RE = 680 Ω。取 VBE = 0.7 V，并使用分压器的戴维南等效电路（不忽略基极电流）。 求集电极–发射极电压 VCE。

VCC = 12 VR1 = 56 kΩR2 = 8.2 kΩRC = 5.6 kΩRE = 680 Ωβ = 200
VCE = V
2.二极管与晶体管困难
+−≤ 18 V270 Ω5.6 V

一个 5.6 V 的齐纳稳压器有一个 270 Ω 的串联电阻。输入可能升到 18 V，负载可能被断开。求齐纳管必须耗散的最大功率 PZ,max。

Vin,max = 18 VVZ = 5.6 VR = 270 Ω
PZ,max = mW
3.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = 100 kΩR1​ = 47 kΩVin​ = 2 VRa​ = 10 kΩRb​ = 22 kΩ

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。 求输出电压 Vout。

Vin = 2 VRa = 10 kΩRb = 22 kΩR1 = 47 kΩRf = 100 kΩ
Vout = V
4.运放电路困难
−+Vout​C = 0.22 µFVin​ = 0.6 VR = 100 kΩ

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±12 V。在 t = 0 施加恒定输入 Vin = 0.6 V 时，电容未充电。 求 t = 200 ms 时的输出电压 Vout。

Vin = 0.6 VR = 100 kΩC = 0.22 µFVsat = ±12 Vt = 200 ms
Vout = V
5.RC 和 RL 暂态中等
R = 10 Ωt = 0L33 mHi(t)

电感中流过 1 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 电流降到 0.25 A 需要多长时间？求 t。

i(0) = 1 AR = 10 ΩL = 33 mH
t = ms
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​20 Vt = 0R = 2.2 kΩC68 µF+−vC​vC​(0) = 2 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 2 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 7.4 V？求 t。

Vs = 20 VR = 2.2 kΩC = 68 µFvC(0) = 2 V
t = ms
7.串并联电阻中等
R1​ = 20 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​10 ΩAR4​3 ΩB

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 9 VR1 = 20 ΩR2 = 10 ΩR3 = 3 ΩR4 = 3 Ω
Req = Ω
8.串并联电阻困难
R1​ = 20 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​36 VR2​30 ΩIR2​AR4​2 ΩBR6​5 Ω

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 36 VR1 = 20 ΩR2 = 30 ΩR3 = 30 ΩR4 = 2 ΩR5 = 15 ΩR6 = 5 Ω
IR2 = A
9.DC-DC 变换器中等
+−24 VLSCR = 5 Ω+−48 V

某理想升压变换器把 24 V 变成 48 V，负载为 5 Ω。求电感平均电流 IL。

Vin​ = 24 VVo​ = 48 VR = 5 Ω
IL = A
10.DC-DC 变换器困难
tiL​Imax​IL​DTT2T

某理想 升压 变换器在 50 kHz 下把 9 V 变成 36 V，负载为 25 Ω。求连续导通所需的最小电感 Lcrit。

Vin​ = 9 VVo​ = 36 Vf = 50 kHzR = 25 Ω
Lcrit = µH
11.惠斯通电桥与应变片中等
+−3 V400 Ω400 Ω + ΔR400 Ω400 Ωab+−Vab​ = ?

某电桥的四个臂均为 400 Ω，Vs = 3 V。传感器 R₂ 增大了 ΔR = 4 Ω。用小变化近似求输出 Vab，单位为 mV。

Vs = 3 VR = 400 ΩΔR = 4 Ω
Vab = mV
12.惠斯通电桥与应变片困难
+−5 V350 Ω − ΔR350 Ω + ΔR350 Ω350 Ωab+−Vo​ = ?

某电桥的各臂为 350 Ω，激励电压为 5 V，采用 相邻臂上的两个工作应变片，一个受拉、一个受压（半桥）。灵敏系数为 2，应变为 1500 µε。求电桥输出 Vo，单位为 mV。

Vs = 5 VGF = 2ε = 1500 µε
Vo = mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABCD0001111000011110111111

在这个卡诺图中，恰有一个 1 没有相邻的 1，所以它在最简 SOP 形式中仍是单个格子的圈（含四个文字的完整最小项）。跨越卡诺图边界的相邻关系也要计入。点选该格子。

F = Σm(1, 4, 10, 11, 12, 14)
  1. 1AB = 00, CD = 00
  2. 2AB = 00, CD = 01
  3. 3AB = 00, CD = 11
  4. 4AB = 00, CD = 10
  5. 5AB = 01, CD = 00
  6. 6AB = 01, CD = 01
  7. 7AB = 01, CD = 11
  8. 8AB = 01, CD = 10
  9. 9AB = 11, CD = 00
  10. 10AB = 11, CD = 01
  11. 11AB = 11, CD = 11
  12. 12AB = 11, CD = 10
  13. 13AB = 10, CD = 00
  14. 14AB = 10, CD = 01
  15. 15AB = 10, CD = 11
  16. 16AB = 10, CD = 10
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
ABCD00011110000111101011X31204051716012113115X14X809011110

求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 6, 7, 10, 13, 15) + d(3, 8, 14) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它包含多少个文字 L？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 6, 7, 10, 13, 15) + d(3, 8, 14)
L =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: VCE = 4.725 V

BJT 静态工作点：在放大区，VBE = 0.7 V，IC = β·IB，IE = (β + 1)·IB。用 KVL 由基极回路求 IB，再求 IC，然后由集电极–发射极回路求 VCE。基极的分压器用其戴维南等效电路代替：VTH = VCC·R₂/(R₁ + R₂)，RTH = R₁∥R₂；发射极电阻在基极回路中相当于放大了 (β + 1) 倍。

分压器的戴维南等效

VTH = 12·8.2/(56 + 8.2) = 1.533 V
RTH = 56·8.2/(56 + 8.2) = 7.153 kΩ

基极电流

沿基极回路列 KVL；发射极电流为 (β + 1)·IB。

IB = (1.533 − 0.7)/(7.153 + 201·0.68) = 5.789 µA

集电极电流

IC = 200·5.789 µA = 1.158 mA
IE = 201·5.789 µA = 1.164 mA

集电极–发射极电压

VCE = 12 − 1.158·5.6 − 1.164·0.68 = 4.725 V

答案

VCE = 4.725 V
2.二极管与晶体管

答案: PZ,max = 257.2 mW

齐纳稳压器：反向偏置的齐纳二极管在电流保持高于最小值 IZ,min 时维持其电压 VZ。串联电阻 R 承担输入与输出之间的差值：IR = (Vin − VZ)/R。该电流分给负载 IL = VZ/RL 和齐纳管 IZ = IR − IL。按最坏情况设计：最低输入与最大负载时仍须留有 IZ,min，而最高输入与空载时齐纳管功率最大，PZ = VZ·IZ。

最坏情况的齐纳电流

IZ = 12.4/270 = 45.93 mA

齐纳功率

PZ = 5.6·45.93 = 257.2 mW

答案

PZ,max = 257.2 mW
3.运放电路

答案: Vout = 4.301 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = Vin·Rb/(Ra + Rb) = 2·22/(10 + 22) = 1.375 V

同相增益

V₋ = V₊，流过 R₁ 的电流也流过 Rf。

Vout = V₊·(1 + Rf/R1) = 1.375·(1 + 100/47) = 4.301 V

答案

Vout = 4.301 V
4.运放电路

答案: Vout = −5.455 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 100 kΩ · 0.22 µF = 22 ms
斜坡速率 = −Vin/(RC) = −0.6/22 = −0.02727 V/ms

给定时刻的输出

理想值在 ±Vsat 以内，所以积分器尚未限幅。

Vout = −Vin·t/(RC) = −0.6·200/22 = −5.455 V

答案

Vout = −5.455 V
5.RC 和 RL 暂态

答案: t = 4.575 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 33 mH / 10 Ω = 3.3 ms

求解时间

0.25 = 1·e−t/τ → t = τ·ln(1/0.25)
t = 3.3·ln(4) = 4.575 ms

答案

t = 4.575 ms
6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 53.36 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 2 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 2.2 kΩ · 68 µF = 149.6 ms
vC(t) = 20 + (2 − 20)·e−t/τ

求解时间

7.4 = 20 + (−18)·e−t/τ → e−t/τ = (7.4 − 20)/(2 − 20) = 0.7
t = τ·ln((2 − 20)/(7.4 − 20)) = 149.6·ln(1.429) = 53.36 ms

答案

t = 53.36 ms
7.串并联电阻

答案: Req = 23.75 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 20 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​10 ΩAR4​3 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 3 + 3 = 6 Ω
R2 ∥ 6 = 10·6/(10+6) = 3.75 Ω
Req = R1 + 3.75 = 20 + 3.75 = 23.75 Ω

答案

Req = 23.75 Ω
8.串并联电阻

答案: IR2 = 0.5228 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 20 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​36 VR2​30 ΩAR4​2 ΩBR6​5 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 15 + 5 = 20 Ω
R4 ∥ 20 = 1.818 Ω
R3 + 1.818 = 31.82 Ω
R2 ∥ 31.82 = 15.44 Ω
Req = R1 + 15.44 = 20 + 15.44 = 35.44 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 36/35.44 = 1.016 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 36 − 1.016·20 = 15.68 V
IR2 = VA/R2 = 15.68/30 = 0.5228 A

答案

IR2 = 0.5228 A
9.DC-DC 变换器

答案: IL = 19.2 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 1 − 24/48 = 0.5

负载电流

Io = 48/5 = 9.6 A

电感电流

IL = Io/(1 − D) = 9.6/0.5 = 19.2 A

答案

IL = 19.2 A
10.DC-DC 变换器

答案: Lcrit = 11.72 µH

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 1 − 9/36 = 0.75

边界条件

令电感平均电流等于纹波电流的一半，解出 L。

Lcrit = D(1 − D)²·R/(2f)

临界电感

Lcrit = 0.75(1 − 0.75)²·25/(250·10³) = 11.72 µH

答案

Lcrit = 11.72 µH
11.惠斯通电桥与应变片

答案: Vab = 7.5 mV

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

相对变化

ΔR/R = 4/400 = 0.01

线性化输出

Vab ≈ 3·0.01/4 = 7.5 mV

答案

Vab = 7.5 mV

精确值为 7.463 mV；只要 ΔR/R 很小，这个近似就很好。

12.惠斯通电桥与应变片

答案: Vo = 7.5 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

电阻相对变化

ΔR/R = 2·1500·10⁻⁶ = 0.003

电桥输出

Vo = Vs·GF·ε/2 = 5·0.003/2 = 7.5 mV

答案

Vo = 7.5 mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: AB = 00, CD = 01

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

每个 1 的邻格

有相邻 1 的 1 可以加入由两个或更多格子组成的圈。

m1: m0, m3, m5, m9 → 0
ABCD0001111000011110111111

孤立的 1

m1 = A′B′C′D → AB = 00, CD = 01

答案

AB = 00, CD = 01
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 9

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

CD′, B′D′, BC, A′C, A′B′, ABD
ABCD00011110000111101011X31204051716012113115X14X809011110

最小覆盖

F = CD′ + BC + A′B′ + ABD
L = 9

答案

L = 9

还存在另一种大小相同的圈法；它的项数和文字数相同。

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