物料衡算
- 稳态
- 输入 = 输出
- 总物料衡算
- ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
- 组分衡算
- ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
- 蒸发器
- F·xF = P·xP, W = F − P
FE 化工考试练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 24 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
能量衡算
- 显热
- Q = ṁ·cp·ΔT
- 潜热
- Q = ṁ·hfg
- 混合
- ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
- 水
- cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)
理想气体定律
- 理想气体定律
- pV = nRT
- 气体常数
- R = 8.314 J/(mol·K)
- 联合气体定律
- p1V1/T1 = p2V2/T2
- 物质的量
- n = m/M
- 温度
- T[K] = T[°C] + 273.15
化学计量
- 物质的量
- n = m/M
- 浓度
- c = n/V
- 物质的量之比
- 使用配平方程式中的系数
- 限量反应物
- 最先耗尽的那种反应物
- 产率
- 实际产量 / 理论产量 × 100%
方法
- 写出并配平化学方程式。
- 把已知质量换算为物质的量：n = m/M。
- 用系数作为物质的量之比，求出所需物质的物质的量。
- 用 m = n·M 换算回质量。有两种反应物时，先找出限量反应物。
化学平衡
- 平衡常数
- Kc = [C]c[D]d/([A]a[B]b)
- ICE 表（三段式）
- 起始、变化（×化学计量数）、平衡
- 一元二次方程
- x = (−b + √(b² − 4ac))/(2a)
方法
- 写出 Kc：产物比反应物，各自以其系数为幂次。
- 列 ICE 表：初始量、变化量（按系数乘以 x 变化）、平衡量。
- 把平衡时的表达式代入 Kc，解出 x。
- 检查 x 是否足够小可以近似；否则解一元二次方程。
量热与焓变
- 热量
- q = m·c·ΔT
- 水
- c = 4.18 J/(g·°C)
- 量热计
- 放出的热量 = 吸收的热量
- 反应焓变
- ΔH° = ΣΔH°f(products) − ΣΔH°f(reactants)
反应动力学
- 一级
- ln(CA/CA0) = −kt
- 半衰期（一级）
- t½ = ln 2/k
- 二级
- 1/CA = 1/CA0 + kt
- 阿伦尼乌斯
- k = A·e−Ea/(RT)
- 两个温度
- ln(k2/k1) = (Ea/R)(1/T1 − 1/T2)
反应器尺寸计算（CSTR 与 PFR）
- 空时
- τ = V/Q
- CSTR，一级反应
- τ = X/(k·(1 − X)), CA = CA0/(1 + kτ)
- PFR，一级反应
- τ = ln(1/(1 − X))/k, CA = CA0·e−kτ
- 由体积求转化率
- CSTR: X = kτ/(1 + kτ), PFR: X = 1 − e−kτ
- N 个相同 CSTR 串联
- X = 1 − 1/(1 + kτi)N
换热器 (LMTD)
- 热负荷
- Q = U·A·ΔTlm
- 对数平均温差
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- 物流热量衡算
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
热传导
- 傅里叶定律
- Q̇ = kAΔT/L
- 导热热阻
- R = L/(kA)
- 对流热阻
- R = 1/(hA)
- 串联热阻
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U 值
- U = 1/(ΣR·A)
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2练习题
1.物料衡算中等
每小时需向物流 1 加入多少物流 2，才能使混合产品含 25% 的盐？求 ṁ2。
ṁ1 = 250 kg/hx1 = 10 %x2 = 30 %x3 = 25 %
ṁ2 = kg/h
2.物料衡算困难
蒸发器通过蒸出纯水来浓缩盐溶液。求产品流量 P，单位为 kg/h。
F = 900 kg/hxF = 6 %xP = 50 %
P = kg/h
3.能量衡算中等
热乙醇在无热损失的逆流换热器中冷却水。求水的出口温度 tout。
ṁh = 1 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 140 → 70 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 25 °C
tout = °C
4.能量衡算困难
热乙二醇混合液在换热器中加热水，该换热器将热流体放出热量的 5% 散失到环境中。求所需的水流量 ṁc。
ṁh = 0.5 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 160 → 130 °Ct: 10 → 45 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)损失 = 5 %
ṁc = kg/s
5.理想气体定律中等
容积为 50 L 的容器中装有 10 g CH₄，温度为 55 °C。按理想气体处理，求压强 P。
m = 10 gM = 16.04 g/molV = 50 LT = 55 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
6.理想气体定律困难
一定量的CH₄从 200 kPa、20 L、20 °C 变化到 250 kPa 和 240 °C。求新的体积 V2。
P1 = 200 kPaV1 = 20 LT1 = 20 °CP2 = 250 kPaT2 = 240 °C
V2 = L
7.化学计量中等
20 g H2 与 48 g O2 按 2H2 + O2 → 2H2O 反应。最多能生成多少质量 m 的 H2O？
M(H2) = 2.016M(O2) = 32M(H2O) = 18.02 g/mol
m = g
8.化学计量困难
在反应 2Al + 3Cl2 → 2AlCl3 中，10 g Al 完全反应（其他反应物过量），收集到 37.06 g AlCl3。求产率 Y。
M(Al) = 26.98 g/molM(AlCl3) = 133.33 g/mol实际: 37.06 g
Y = %
9.化学平衡中等
将 0.1 mol/L 的 H₂ 和 0.1 mol/L 的 I₂ 放入容器中发生反应：H₂ + I₂ ⇌ 2HI，Kc = 49。求平衡浓度 [H2]。
[H₂]₀ = [I₂]₀ = 0.1 mol/LKc = 49
[H2] = mol/L
10.化学平衡困难
PCl₅ 发生分解：PCl₅ ⇌ PCl₃ + Cl₂，在反应温度下 Kc = 0.05。容器中起始时只有 1 mol/L 的 PCl₅。求平衡浓度 [Cl2]。
[PCl₅]₀ = 1 mol/LKc = 0.05
[Cl2] = mol/L
11.量热与焓变中等
将一块 200 g、温度为 100 °C 的铜块（c = 0.385 J/(g·°C)）投入隔热杯中 300 g、温度为 17 °C 的水（c = 4.18 J/(g·°C)）中。求末温 Tf。
mmetal = 200 gcmetal = 0.385 J/(g·°C)Tmetal = 100 °Cmwater = 300 gTwater = 17 °Ccwater = 4.18 J/(g·°C)
Tf = °C
12.量热与焓变困难
利用标准生成焓，求 100 g C2H6（M = 30.07 g/mol）完全燃烧时放出的热量 q：2C2H6 + 7O₂ → 4CO₂ + 6H₂O(l)。q 以正数表示。
ΔH°f(C2H6) = −84.7 kJ/molΔH°f(CO₂) = −393.5 kJ/molΔH°f(H₂O, l) = −285.8 kJ/molΔH°f(O₂) = 0
q = kJ
13.反应动力学中等
间歇反应器中的一级反应 k = 0.05 min⁻¹。达到 90% 转化率需要多长时间？求 t。
k = 0.05 min⁻¹X = 90 %
t = min
14.反应动力学困难
一个反应的活化能为 100 kJ/mol。在 20 °C 时反应太慢。须加热到多少温度 T2（以 °C 表示）才能使反应快 4 倍？
Ea = 100 kJ/molT1 = 20 °Ck2/k1 = 4R = 8.314 J/(mol·K)
T2 = °C
15.反应器尺寸计算（CSTR 与 PFR）中等
一个液相一级反应须达到 90% 的转化率。在进料流量、速率常数和转化率都相同时，CSTR 的体积须是 PFR 的多少倍？求该比值 VCSTR/VPFR。
X = 90%一级反应，k 和 Q 相同
VCSTR/VPFR =
16.反应器尺寸计算（CSTR 与 PFR）困难
一个液相一级反应（k = 0.25 min⁻¹）在进料流量为 20 L/min 的 200 L CSTR 中进行。密度恒定，反应器处于稳态。求转化率 X，以百分比计。
V = 200 LQ = 20 L/mink = 0.25 min⁻¹
X = %
17.换热器 (LMTD)中等
一台管壳式换热器（单壳程、双管程）须传递 730 kW。热流体从 170 °C 冷却到 125 °C，冷流体从 20 °C 加热到 155 °C。该布置的 LMTD 修正系数为 F = 0.9，U = 200 W/(m²·K)。求所需的传热面积 A。
Q̇ = 730 kWF = 0.9U = 200 W/(m²·K)Th: 170 → 125 °CTc: 20 → 155 °C
A = m²
18.换热器 (LMTD)困难
在一台逆流换热器中，两股流体的热容量流率相同，ṁ·cp = 1 kW/K。热流体以 130 °C 进入，冷流体以 10 °C 进入。换热器的 A = 5 m²，U = 800 W/(m²·K)。求热流体出口温度 Th,out。
Ch = Cc = 1 kW/KTh,in = 130 °CTc,in = 10 °CA = 5 m²U = 800 W/(m²·K)
Th,out = °C
19.热传导中等
一面墙由 50 mm 的石膏板和 50 mm 的混凝土组成，面积为 15 m²。外表面温度为 15 °C 和 -7 °C。 求通过墙体的热流量 Q̇。
L1 = 50 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 1.4 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 15 °CT3 = -7 °C
Q̇ = W
20.热传导困难
由 200 mm 石膏板和 100 mm 木材组成的墙，将 20 °C 的房间与 2 °C 的室外空气隔开。对流换热系数室内为 6 W/(m²·K)，室外为 25 W/(m²·K)，墙面积为 8 m²。 求通过墙体的热损失 Q̇。
L1 = 200 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 8 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 2 °C
Q̇ = W
21.管道摩擦与水头损失中等
水以 25 L/s 的流量流过一根长 800 m、内径 200 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.025，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。
Q = 25 L/sL = 800 mD = 200 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²
hf = m
22.管道摩擦与水头损失困难
两个敞口水池由一根长 100 m、内径 150 mm、达西摩擦系数 f = 0.02 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 30 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 5）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。
Δz = 30 mL = 100 mD = 150 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 5Kexit = 1.0
Q = L/s
23.水泵与泵功率中等
一台水泵以 56 m 的扬程输送 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 70%，驱动它的电动机效率为 90%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 Pel，以 kW 计。
Q = 20 L/sH = 56 mηpump = 70%ηmotor = 90%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
24.水泵与泵功率困难
一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 7 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 2（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 70%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 50 L/sΔz = 7 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.02ΣK = 2η = 70%
Pshaft = kW
3溶液
1.物料衡算
答案: ṁ2 = 750 kg/h
稳态物料衡算：总量和每个组分都满足输入 = 输出。混合问题同时用到两者。
衡算
Total: ṁ3 = ṁ1 + ṁ2
盐: ṁ1x1 + ṁ2x2 = (ṁ1 + ṁ2)x3
求解 ṁ2
ṁ2 = ṁ1(x1 − x3)/(x3 − x2) = 250·(10 − 25)/(25 − 30) = 750 kg/h
答案
ṁ2 = 750 kg/h
2.物料衡算
答案: P = 108 kg/h
联结组分：只在一股物流中不变地通过的组分（这里是溶质）可直接关联各流量。其余由总衡算求出。
溶质衡算
F·xF = P·xP → P = 900·6/50 = 108 kg/h
答案
P = 108 kg/h
3.能量衡算
答案: tout = 38.62 °C
换热器能量衡算：无损失时 ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。
热流体放出的热量
Q = 1·2.44·(140 − 70) = 170.8 kW
水吸收的热量
tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 25 + 170.8/(3·4.18) = 38.62 °C
答案
tout = 38.62 °C
4.能量衡算
答案: ṁc = 0.3506 kg/s
有损失的能量衡算：放出热量 = 吸收热量 + 损失热量。
放出热量
Qh = 0.5·3.6·(160 − 130) = 54 kW
传给水的热量
Qc = (1 − 0.05)·54 = 51.3 kW
水流量
ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 51.3/(4.18·35) = 0.3506 kg/s
答案
ṁc = 0.3506 kg/s
5.理想气体定律
答案: P = 34.02 kPa
理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。
物质的量
n = m/M = 10/16.04 = 0.6234 mol
T = 55 + 273.15 = 328.1 K
压强
P = nRT/V = 0.6234·8.314·328.1/0.05 = 34.02 kPa
答案
P = 34.02 kPa
6.理想气体定律
答案: V2 = 28.01 L
联合气体定律：对一定量的理想气体，P1V1/T1 = P2V2/T2。
绝对温度
T1 = 293.1 K, T2 = 513.1 K
联合气体定律
V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 20·(200/250)·(513.1/293.1) = 28.01 L
答案
V2 = 28.01 L
7.化学计量
答案: m = 54.06 g
化学计量：配平的方程式计的是粒子数，不是克数。用 n = m/M 把质量换算为物质的量，以方程式系数作为物质的量之比，再用 m = n·M 换算回质量。有两种反应物时，限量反应物是先耗尽、决定生成多少产物的那一种。
各反应物的物质的量
n(H2) = 20/2.016 = 9.921 mol
n(O2) = 48/32 = 1.5 mol
限量反应物
9.921/2 = 4.96, 1.5/1 = 1.5 → O2
产物的质量
n(H2O) = 1.5·2 = 3 mol
m = 3·18.02 = 54.06 g
答案
m = 54.06 g
8.化学计量
答案: Y = 74.99 %
化学计量：配平的方程式计的是粒子数，不是克数。用 n = m/M 把质量换算为物质的量，以方程式系数作为物质的量之比，再用 m = n·M 换算回质量。有两种反应物时，限量反应物是先耗尽、决定生成多少产物的那一种。
理论产量
n(Al) = 10/26.98 = 0.3706 mol
m = 0.3706·2/2·133.33 = 49.42 g
产率
Y = 37.06/49.42·100 = 74.99%
答案
Y = 74.99%
9.化学平衡
答案: [H2] = 0.02222 mol/L
化学平衡：对于 aA + bB ⇌ cC + dD，平衡常数为 Kc = [C]c[D]d/([A]a[B]b)，其中使用平衡时的浓度。ICE 表（起始、变化、平衡，即三段式）通过一个未知数 x（按化学计量数缩放）把起始量与平衡量联系起来。
平衡表达式
49 = (2x)²/(0.1 − x)²
开平方
7 = 2x/(0.1 − x) → x = 0.1·7/(2 + 7) = 0.07778 mol/L
平衡浓度
[H₂] = 0.1 − x = 0.02222 mol/L
答案
[H2] = 0.02222 mol/L
10.化学平衡
答案: [Cl2] = 0.2 mol/L
化学平衡：对于 aA + bB ⇌ cC + dD，平衡常数为 Kc = [C]c[D]d/([A]a[B]b)，其中使用平衡时的浓度。ICE 表（起始、变化、平衡，即三段式）通过一个未知数 x（按化学计量数缩放）把起始量与平衡量联系起来。
平衡表达式
0.05 = x²/(1 − x) → x² + 0.05·x − 0.05 = 0
解一元二次方程
x = (−0.05 + √(0.05² + 4·0.05))/2 = 0.2 mol/L
平衡浓度
[Cl₂] = x = 0.2 mol/L
答案
[Cl2] = 0.2 mol/L
11.量热与焓变
答案: Tf = 21.8 °C
热量与焓：加热一种物质需要 q = m·c·ΔT。在量热计中，热物体放出的热量等于冷物体吸收的热量。反应的焓变可由生成焓求出：ΔH° = ΣΔH°f(生成物) − ΣΔH°f(反应物)，每一项都乘以其化学计量数。
热量平衡
200·0.385·(100 − Tf) = 300·4.18·(Tf − 17)
求末温
Tf = (77·100 + 1254·17)/(77 + 1254) = 21.8 °C
答案
Tf = 21.8 °C
12.量热与焓变
答案: q = 5187 kJ
热量与焓：加热一种物质需要 q = m·c·ΔT。在量热计中，热物体放出的热量等于冷物体吸收的热量。反应的焓变可由生成焓求出：ΔH° = ΣΔH°f(生成物) − ΣΔH°f(反应物)，每一项都乘以其化学计量数。
反应焓变
ΔH° = [4·(−393.5) + 6·(−285.8)] − [2·(−84.7) + 7·0] = −3119 kJ
给定质量放出的热量
n = 100/30.07 = 3.326 mol
q = n·|ΔH°/2| = 3.326·1560 = 5187 kJ
答案
q = 5187 kJ
13.反应动力学
答案: t = 46.05 min
反应速率：一级反应 −dC/dt = kC，所以 C = C₀·e−kt，半衰期 ln 2/k 与浓度无关。二级反应 1/C = 1/C₀ + kt。速率常数随温度按阿伦尼乌斯公式增大：k = A·e−Ea/(RT)。
转化率和浓度
C/C0 = 1 − X = 0.1
求解时间
t = −ln(1 − X)/k = −ln(0.1)/0.05 = 46.05 min
答案
t = 46.05 min
14.反应动力学
答案: T2 = 30.25 °C
Reaction rates: for a first-order reaction −dC/dt = kC, so C = C₀·e−kt and the half-life ln 2/k does not depend on concentration. For a second-order reaction 1/C = 1/C₀ + kt. The rate constant rises with temperature following Arrhenius: k = A·e−Ea/(RT).
绝对温度
T1 = 293.1 K
由阿伦尼乌斯方程求 T₂
1/T2 = 1/293.1 − 8.314·ln(4)/100000 = 3.411 × 10⁻³ − 1.153 × 10⁻⁴ = 3.296 × 10⁻³ K⁻¹
T2 = 303.4 K = 30.25 °C
答案
T2 = 30.25 °C
15.反应器尺寸计算（CSTR 与 PFR）
答案: VCSTR/VPFR = 3.909
稳态下理想反应器中的一级反应（−rA = k·CA），空时 τ = V/Q。CSTR 是全混的，因此整个体积都在较低的出口浓度下反应：τ = X/(k·(1 − X))，CA = CA0/(1 + k·τ)。在 PFR 中，每一薄层流体都像一个小间歇反应器那样反应：τ = ln(1/(1 − X))/k，CA = CA0·e−k·τ。达到相同转化率时，CSTR 所需体积总是大于 PFR。
每个反应器的 k·τ
CSTR: k·τ = X/(1 − X) = 0.9/0.1 = 9
PFR: k·τ = ln(1/(1 − X)) = ln(10) = 2.303
体积之比
VCSTR/VPFR = 9/2.303 = 3.909
答案
VCSTR/VPFR = 3.909
转化率高时差距迅速增大。
16.反应器尺寸计算（CSTR 与 PFR）
答案: X = 71.43 %
稳态下理想反应器中的一级反应（−rA = k·CA），空时 τ = V/Q。CSTR 是全混的，因此整个体积都在较低的出口浓度下反应：τ = X/(k·(1 − X))，CA = CA0/(1 + k·τ)。在 PFR 中，每一薄层流体都像一个小间歇反应器那样反应：τ = ln(1/(1 − X))/k，CA = CA0·e−k·τ。达到相同转化率时，CSTR 所需体积总是大于 PFR。
空时
τ = V/Q = 200/20 = 10 min, kτ = 0.25·10 = 2.5
转化率
X = kτ/(1 + kτ) = 2.5/(1 + 2.5) = 71.43%
答案
X = 71.43%
17.换热器 (LMTD)
答案: A = 87.69 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
两端温差（逆流）
逆流时，热流体入口对着冷流体出口，热流体出口对着冷流体入口。
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 170 − 155 = 15 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 125 − 20 = 105 K
对数平均温差
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (15 − 105)/ln(15/105) = 46.25 K
面积
A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 730000/(200·0.9·46.25) = 87.69 m²
答案
A = 87.69 m²
18.换热器 (LMTD)
答案: Th,out = 34 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
恒定温差
冷流体出口对着热流体入口：Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out)，所以 ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂。
ΔTlm = Th,out − Tc,in
能量平衡等于传热方程
1·(130 − Th,out) = 4·(Th,out − 10)
Th,out = (1·130 + 4·10)/(1 + 4) = 34 °C
答案
Th,out = 34 °C
传递的热量：Q̇ = 96 kW；冷流体以 106 °C 离开。
19.热传导
答案: Q̇ = 1001 W
热阻：通过串联各层的稳态热流类似于通过串联电阻的电流：Q̇ = ΔT/ΣR，导热层 R = L/(kA)，对流表面 R = 1/(hA)。各层的温降与其热阻成正比。
各层热阻
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.17·15) = 0.01961 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(1.4·15) = 0.002381 K/W
热流量
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 22/0.02199 = 1001 W
答案
Q̇ = 1001 W
20.热传导
答案: Q̇ = 73.05 W
热阻：通过串联各层的稳态热流类似于通过串联电阻的电流：Q̇ = ΔT/ΣR，导热层 R = L/(kA)，对流表面 R = 1/(hA)。各层的温降与其热阻成正比。
串联热阻
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·8) = 0.02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.17·8) = 0.1471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0.17·8) = 0.07353 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·8) = 0.005 K/W
ΣR = 0.2464 K/W
热损失
Q̇ = (20 − (2))/0.2464 = 73.05 W
答案
Q̇ = 73.05 W
21.管道摩擦与水头损失
答案: hf = 3.228 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
平均流速
A = π·0.2²/4 = 0.03142 m²
V = Q/A = 0.025/0.03142 = 0.7958 m/s
速度水头
V²/(2g) = 0.7958²/(2·9.81) = 0.03228 m
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(800/0.2)·0.7958²/(2·9.81) = 3.228 m
答案
hf = 3.228 m
22.管道摩擦与水头损失
答案: Q = 94.84 L/s
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
损失系数
f·L/D = 0.02·100/0.15 = 13.33
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 + 1.0 = 7.1
能量方程
两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。
30 = (13.33 + 7.1)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·30/20.43) = 5.367 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 5.367·0.01767 = 0.09484 m³/s = 94.84 L/s
答案
Q = 94.84 L/s
23.水泵与泵功率
答案: Pel = 17.44 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·56 = 10.99 kW
轴功率
Pshaft = 10.99/0.7 = 15.7 kW
电功率
Pel = 15.7/0.9 = 17.44 kW
答案
Pel = 17.44 kW
24.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 11.2 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 2)·0.408 = 8.977 m
泵扬程
H = Δz + hL = 7 + 8.977 = 15.98 m
轴功率
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.05·15.98/0.7 = 11.2 kW
答案
Pshaft = 11.2 kW
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