物料衡算
- 稳态
- 输入 = 输出
- 总物料衡算
- ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
- 组分衡算
- ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
- 蒸发器
- F·xF = P·xP, W = F − P
FE 化工考试练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 24 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
能量衡算
- 显热
- Q = ṁ·cp·ΔT
- 潜热
- Q = ṁ·hfg
- 混合
- ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
- 水
- cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)
理想气体定律
- 理想气体定律
- pV = nRT
- 气体常数
- R = 8.314 J/(mol·K)
- 联合气体定律
- p1V1/T1 = p2V2/T2
- 物质的量
- n = m/M
- 温度
- T[K] = T[°C] + 273.15
化学计量
- 物质的量
- n = m/M
- 浓度
- c = n/V
- 物质的量之比
- 使用配平方程式中的系数
- 限量反应物
- 最先耗尽的那种反应物
- 产率
- 实际产量 / 理论产量 × 100%
方法
- 写出并配平化学方程式。
- 把已知质量换算为物质的量：n = m/M。
- 用系数作为物质的量之比，求出所需物质的物质的量。
- 用 m = n·M 换算回质量。有两种反应物时，先找出限量反应物。
化学平衡
- 平衡常数
- Kc = [C]c[D]d/([A]a[B]b)
- ICE 表（三段式）
- 起始、变化（×化学计量数）、平衡
- 一元二次方程
- x = (−b + √(b² − 4ac))/(2a)
方法
- 写出 Kc：产物比反应物，各自以其系数为幂次。
- 列 ICE 表：初始量、变化量（按系数乘以 x 变化）、平衡量。
- 把平衡时的表达式代入 Kc，解出 x。
- 检查 x 是否足够小可以近似；否则解一元二次方程。
量热与焓变
- 热量
- q = m·c·ΔT
- 水
- c = 4.18 J/(g·°C)
- 量热计
- 放出的热量 = 吸收的热量
- 反应焓变
- ΔH° = ΣΔH°f(products) − ΣΔH°f(reactants)
反应动力学
- 一级
- ln(CA/CA0) = −kt
- 半衰期（一级）
- t½ = ln 2/k
- 二级
- 1/CA = 1/CA0 + kt
- 阿伦尼乌斯
- k = A·e−Ea/(RT)
- 两个温度
- ln(k2/k1) = (Ea/R)(1/T1 − 1/T2)
反应器尺寸计算（CSTR 与 PFR）
- 空时
- τ = V/Q
- CSTR，一级反应
- τ = X/(k·(1 − X)), CA = CA0/(1 + kτ)
- PFR，一级反应
- τ = ln(1/(1 − X))/k, CA = CA0·e−kτ
- 由体积求转化率
- CSTR: X = kτ/(1 + kτ), PFR: X = 1 − e−kτ
- N 个相同 CSTR 串联
- X = 1 − 1/(1 + kτi)N
换热器 (LMTD)
- 热负荷
- Q = U·A·ΔTlm
- 对数平均温差
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- 物流热量衡算
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
热传导
- 傅里叶定律
- Q̇ = kAΔT/L
- 导热热阻
- R = L/(kA)
- 对流热阻
- R = 1/(hA)
- 串联热阻
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U 值
- U = 1/(ΣR·A)
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2练习题
1.物料衡算中等
每小时需向物流 1 加入多少物流 2，才能使混合产品含 30% 的盐？求 ṁ2。
ṁ1 = 250 kg/hx1 = 50 %x2 = 15 %x3 = 30 %
ṁ2 = kg/h
2.物料衡算困难
蒸发器通过蒸出纯水来浓缩盐溶液。求产品流量 P，单位为 kg/h。
F = 2900 kg/hxF = 5 %xP = 55 %
P = kg/h
3.能量衡算中等
热乙醇在无热损失的逆流换热器中冷却水。求水的出口温度 tout。
ṁh = 3 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 120 → 90 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 15 °C
tout = °C
4.能量衡算困难
热轻油在换热器中加热水，该换热器将热流体放出热量的 5% 散失到环境中。求所需的水流量 ṁc。
ṁh = 1 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 180 → 130 °Ct: 30 → 45 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)损失 = 5 %
ṁc = kg/s
5.理想气体定律中等
容积为 50 L 的容器中装有 160 g N₂，温度为 90 °C。按理想气体处理，求压强 P。
m = 160 gM = 28.01 g/molV = 50 LT = 90 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
6.理想气体定律困难
按理想气体处理，求CH₄在 450 kPa 和 150 °C 下的密度 ρ。
M = 16.04 g/molP = 450 kPaT = 150 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
7.化学计量中等
16 g Al 与 40 g Cl2 按 2Al + 3Cl2 → 2AlCl3 反应。最多能生成多少质量 m 的 AlCl3？
M(Al) = 26.98M(Cl2) = 70.9M(AlCl3) = 133.33 g/mol
m = g
8.化学计量困难
在反应 CH4 + 2O2 → CO2 + 2H2O 中，30 g CH4 完全反应（其他反应物过量），收集到 52.58 g H2O。求产率 Y。
M(CH4) = 16.04 g/molM(H2O) = 18.02 g/mol实际: 52.58 g
Y = %
9.化学平衡中等
将 1 mol/L 的 H₂ 和 1 mol/L 的 I₂ 放入容器中发生反应：H₂ + I₂ ⇌ 2HI，Kc = 4。求平衡浓度 [H2]。
[H₂]₀ = [I₂]₀ = 1 mol/LKc = 4
[H2] = mol/L
10.化学平衡困难
PCl₅ 发生分解：PCl₅ ⇌ PCl₃ + Cl₂，在反应温度下 Kc = 0.1。容器中起始时只有 0.8 mol/L 的 PCl₅。求平衡浓度 [Cl2]。
[PCl₅]₀ = 0.8 mol/LKc = 0.1
[Cl2] = mol/L
11.量热与焓变中等
将一块 250 g、温度为 200 °C 的锌块（c = 0.388 J/(g·°C)）投入隔热杯中 150 g、温度为 15 °C 的水（c = 4.18 J/(g·°C)）中。求末温 Tf。
mmetal = 250 gcmetal = 0.388 J/(g·°C)Tmetal = 200 °Cmwater = 150 gTwater = 15 °Ccwater = 4.18 J/(g·°C)
Tf = °C
12.量热与焓变困难
利用标准生成焓求反应 2C2H6 + 7O₂ → 4CO₂ + 6H₂O(l) 的 ΔH°。
ΔH°f(C2H6) = −84.7 kJ/molΔH°f(CO₂) = −393.5 kJ/molΔH°f(H₂O, l) = −285.8 kJ/molΔH°f(O₂) = 0
ΔH° = kJ
13.反应动力学中等
一个二级反应（−rA = k·CA²）的 k = 0.8 L/(mol·min)，初始浓度为 0.8 mol/L。求其第一个半衰期 t½。
k = 0.8 L/(mol·min)CA0 = 0.8 mol/L
t½ = min
14.反应动力学困难
某反应在 35 °C 时速率常数为 0.01 min⁻¹，活化能为 90 kJ/mol。求 55 °C 时的速率常数 k2。
k1 = 0.01 min⁻¹T1 = 35 °CT2 = 55 °CEa = 90 kJ/molR = 8.314 J/(mol·K)
k2 = min⁻¹
15.反应器尺寸计算（CSTR 与 PFR）中等
一个液相一级反应须达到 85% 的转化率。在进料流量、速率常数和转化率都相同时，CSTR 的体积须是 PFR 的多少倍？求该比值 VCSTR/VPFR。
X = 85%一级反应，k 和 Q 相同
VCSTR/VPFR =
16.反应器尺寸计算（CSTR 与 PFR）困难
一个液相一级反应（k = 0.12 min⁻¹）在两个串联的相同 CSTR 中进行，每个 500 L。进料流量为 50 L/min，密度恒定，反应器处于稳态。求总转化率 X，以百分比计。
V = 500 L (×2)Q = 50 L/mink = 0.12 min⁻¹
X = %
17.换热器 (LMTD)中等
一台并流换热器传热 90 kW。 热流体从 125 冷却到 80 °C，冷流体从 25 加热到 65 °C。总传热系数为 500 W/(m²·K)。求所需传热面积 A。
Q̇ = 90 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 125 → 80 °CTc: 25 → 65 °C
A = m²
18.换热器 (LMTD)困难
热油（1 kg/s，cp = 2.5 kJ/(kg·K)）在逆流换热器中从 115 冷却到 80 °C。它加热 0.5 kg/s 的水（cp = 4.18 kJ/(kg·K)），水的入口温度为 15 °C。已知 U = 800 W/(m²·K)，求所需传热面积 A。
ṁh = 1 kg/scp,h = 2.5 kJ/(kg·K)Th: 115 → 80 °Cṁc = 0.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 800 W/(m²·K)
A = m²
19.热传导中等
一面墙由 50 mm 的玻璃和 150 mm 的发泡聚苯乙烯组成，面积为 20 m²。外表面温度为 15 °C 和 -4 °C。 求通过墙体的热流量 Q̇。
L1 = 50 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0.035 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 15 °CT3 = -4 °C
Q̇ = W
20.热传导困难
由 100 mm 矿棉和 150 mm 石膏板组成的墙，将 21 °C 的房间与 -4 °C 的室外空气隔开。对流换热系数室内为 10 W/(m²·K)，室外为 30 W/(m²·K)，墙面积为 15 m²。 求通过墙体的热损失 Q̇。
L1 = 100 mm, k1 = 0.04 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 15 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -4 °C
Q̇ = W
21.管道摩擦与水头损失中等
水以 2.5 m/s 的平均流速流过一根长 50 m、内径 150 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.02，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。
V = 2.5 m/sL = 50 mD = 150 mmf = 0.02g = 9.81 m/s²
hf = m
22.管道摩擦与水头损失困难
一根长 100 m、内径 300 mm（达西摩擦系数 f = 0.02）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 0.2）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 75 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？
Q = 75 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 0.2
H = m
23.水泵与泵功率中等
一台水泵以 62 m 的扬程输送 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 60%，驱动它的电动机效率为 94%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 Pel，以 kW 计。
Q = 20 L/sH = 62 mηpump = 60%ηmotor = 94%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
24.水泵与泵功率困难
一台水泵把 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 39 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 100 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 求水泵须提供的扬程 H。
Q = 20 L/sΔz = 39 mL = 150 mD = 100 mmf = 0.018ΣK = 8
H = m
3溶液
1.物料衡算
答案: ṁ2 = 333.3 kg/h
稳态物料衡算：总量和每个组分都满足输入 = 输出。混合问题同时用到两者。
衡算
Total: ṁ3 = ṁ1 + ṁ2
盐: ṁ1x1 + ṁ2x2 = (ṁ1 + ṁ2)x3
求解 ṁ2
ṁ2 = ṁ1(x1 − x3)/(x3 − x2) = 250·(50 − 30)/(30 − 15) = 333.3 kg/h
答案
ṁ2 = 333.3 kg/h
2.物料衡算
答案: P = 263.6 kg/h
联结组分：只在一股物流中不变地通过的组分（这里是溶质）可直接关联各流量。其余由总衡算求出。
溶质衡算
F·xF = P·xP → P = 2900·5/55 = 263.6 kg/h
答案
P = 263.6 kg/h
3.能量衡算
答案: tout = 67.54 °C
换热器能量衡算：无损失时 ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。
热流体放出的热量
Q = 3·2.44·(120 − 90) = 219.6 kW
水吸收的热量
tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 15 + 219.6/(1·4.18) = 67.54 °C
答案
tout = 67.54 °C
4.能量衡算
答案: ṁc = 1.591 kg/s
有损失的能量衡算：放出热量 = 吸收热量 + 损失热量。
放出热量
Qh = 1·2.1·(180 − 130) = 105 kW
传给水的热量
Qc = (1 − 0.05)·105 = 99.75 kW
水流量
ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 99.75/(4.18·15) = 1.591 kg/s
答案
ṁc = 1.591 kg/s
5.理想气体定律
答案: P = 344.9 kPa
理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。
物质的量
n = m/M = 160/28.01 = 5.712 mol
T = 90 + 273.15 = 363.1 K
压强
P = nRT/V = 5.712·8.314·363.1/0.05 = 344.9 kPa
答案
P = 344.9 kPa
6.理想气体定律
答案: ρ = 2.052 kg/m³
理想气体密度：ρ = PM/(RT)。
整理气体定律
PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 150 + 273.15 = 423.1 K
密度
ρ = 450·16.04/(8.314·423.1) = 2.052 kg/m³
答案
ρ = 2.052 kg/m³
7.化学计量
答案: m = 50.15 g
化学计量：配平的方程式计的是粒子数，不是克数。用 n = m/M 把质量换算为物质的量，以方程式系数作为物质的量之比，再用 m = n·M 换算回质量。有两种反应物时，限量反应物是先耗尽、决定生成多少产物的那一种。
各反应物的物质的量
n(Al) = 16/26.98 = 0.593 mol
n(Cl2) = 40/70.9 = 0.5642 mol
限量反应物
0.593/2 = 0.2965, 0.5642/3 = 0.1881 → Cl2
产物的质量
n(AlCl3) = 0.1881·2 = 0.3761 mol
m = 0.3761·133.33 = 50.15 g
答案
m = 50.15 g
8.化学计量
答案: Y = 78 %
化学计量：配平的方程式计的是粒子数，不是克数。用 n = m/M 把质量换算为物质的量，以方程式系数作为物质的量之比，再用 m = n·M 换算回质量。有两种反应物时，限量反应物是先耗尽、决定生成多少产物的那一种。
理论产量
n(CH4) = 30/16.04 = 1.87 mol
m = 1.87·2/1·18.02 = 67.41 g
产率
Y = 52.58/67.41·100 = 78%
答案
Y = 78%
9.化学平衡
答案: [H2] = 0.5 mol/L
化学平衡：对于 aA + bB ⇌ cC + dD，平衡常数为 Kc = [C]c[D]d/([A]a[B]b)，其中使用平衡时的浓度。ICE 表（起始、变化、平衡，即三段式）通过一个未知数 x（按化学计量数缩放）把起始量与平衡量联系起来。
平衡表达式
4 = (2x)²/(1 − x)²
开平方
2 = 2x/(1 − x) → x = 1·2/(2 + 2) = 0.5 mol/L
平衡浓度
[H₂] = 1 − x = 0.5 mol/L
答案
[H2] = 0.5 mol/L
10.化学平衡
答案: [Cl2] = 0.2372 mol/L
化学平衡：对于 aA + bB ⇌ cC + dD，平衡常数为 Kc = [C]c[D]d/([A]a[B]b)，其中使用平衡时的浓度。ICE 表（起始、变化、平衡，即三段式）通过一个未知数 x（按化学计量数缩放）把起始量与平衡量联系起来。
平衡表达式
0.1 = x²/(0.8 − x) → x² + 0.1·x − 0.08 = 0
解一元二次方程
x = (−0.1 + √(0.1² + 4·0.08))/2 = 0.2372 mol/L
平衡浓度
[Cl₂] = x = 0.2372 mol/L
答案
[Cl2] = 0.2372 mol/L
11.量热与焓变
答案: Tf = 39.79 °C
热量与焓：加热一种物质需要 q = m·c·ΔT。在量热计中，热物体放出的热量等于冷物体吸收的热量。反应的焓变可由生成焓求出：ΔH° = ΣΔH°f(生成物) − ΣΔH°f(反应物)，每一项都乘以其化学计量数。
热量平衡
250·0.388·(200 − Tf) = 150·4.18·(Tf − 15)
求末温
Tf = (97·200 + 627·15)/(97 + 627) = 39.79 °C
答案
Tf = 39.79 °C
12.量热与焓变
答案: ΔH° = −3119 kJ
热量与焓：加热一种物质需要 q = m·c·ΔT。在量热计中，热物体放出的热量等于冷物体吸收的热量。反应的焓变可由生成焓求出：ΔH° = ΣΔH°f(生成物) − ΣΔH°f(反应物)，每一项都乘以其化学计量数。
反应焓变
ΔH° = [4·(−393.5) + 6·(−285.8)] − [2·(−84.7) + 7·0] = −3119 kJ
答案
ΔH° = −3119 kJ
为负值：该反应放出热量（放热反应）。
13.反应动力学
答案: t½ = 1.562 min
Integrated rate laws: zero order: C = C₀ − kt (straight line, t½ = C₀/(2k)); first order: ln(C₀/C) = kt (t½ = ln 2/k); second order: 1/C − 1/C₀ = kt (t½ = 1/(kC₀)). Conversion X means C = C₀(1 − X).
二级反应的半衰期
t½ = 1/(k·CA0) = 1/(0.8·0.8) = 1.562 min
答案
t½ = 1.562 min
之后每个半衰期都是前一个的两倍长，因为 C₀ 已经减半。
14.反应动力学
答案: k2 = 0.08508 min⁻¹
反应速率：一级反应 −dC/dt = kC，所以 C = C₀·e−kt，半衰期 ln 2/k 与浓度无关。二级反应 1/C = 1/C₀ + kt。速率常数随温度按阿伦尼乌斯公式增大：k = A·e−Ea/(RT)。
绝对温度
T1 = 308.1 K, T2 = 328.1 K
阿伦尼乌斯比值
ln(k2/k1) = −(90000/8.314)·(1/328.1 − 1/308.1) = 2.141
k2 = 0.01·e2.141 = 0.08508 min⁻¹
答案
k2 = 0.08508 min⁻¹
15.反应器尺寸计算（CSTR 与 PFR）
答案: VCSTR/VPFR = 2.987
稳态下理想反应器中的一级反应（−rA = k·CA），空时 τ = V/Q。CSTR 是全混的，因此整个体积都在较低的出口浓度下反应：τ = X/(k·(1 − X))，CA = CA0/(1 + k·τ)。在 PFR 中，每一薄层流体都像一个小间歇反应器那样反应：τ = ln(1/(1 − X))/k，CA = CA0·e−k·τ。达到相同转化率时，CSTR 所需体积总是大于 PFR。
每个反应器的 k·τ
CSTR: k·τ = X/(1 − X) = 0.85/0.15 = 5.667
PFR: k·τ = ln(1/(1 − X)) = ln(6.667) = 1.897
体积之比
VCSTR/VPFR = 5.667/1.897 = 2.987
答案
VCSTR/VPFR = 2.987
转化率高时差距迅速增大。
16.反应器尺寸计算（CSTR 与 PFR）
答案: X = 79.34 %
稳态下理想反应器中的一级反应（−rA = k·CA），空时 τ = V/Q。CSTR 是全混的，因此整个体积都在较低的出口浓度下反应：τ = X/(k·(1 − X))，CA = CA0/(1 + k·τ)。在 PFR 中，每一薄层流体都像一个小间歇反应器那样反应：τ = ln(1/(1 − X))/k，CA = CA0·e−k·τ。达到相同转化率时，CSTR 所需体积总是大于 PFR。
空时
τ = V/Q = 500/50 = 10 min, kτ = 0.12·10 = 1.2
转化率
C1/CA0 = 1/(1 + kτ) = 1/(1 + 1.2) = 0.4545
C2/CA0 = 1/(1 + kτ)² = 0.2066
X = 1 − 0.2066 = 79.34%
答案
X = 79.34%
17.换热器 (LMTD)
答案: A = 4.017 m²
对数平均温差法 (LMTD)：两股流体之间的温差沿换热器变化，因此传热方程使用其对数平均值：Q̇ = U·A·ΔTlm，其中 ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)，ΔT₁ 和 ΔT₂ 为两端温差。进出口温度相同时，逆流的 ΔTlm 大于并流。
两端温差
并流时，两个入口在同一端，两个出口在另一端。
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 125 − 25 = 100 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 80 − 65 = 15 K
对数平均温差
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100 − 15)/ln(100/15) = 44.8 K
面积
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 90000/(500·44.8) = 4.017 m²
答案
A = 4.017 m²
18.换热器 (LMTD)
答案: A = 1.778 m²
对数平均温差法 (LMTD)：两股流体之间的温差沿换热器变化，因此传热方程使用其对数平均值：Q̇ = U·A·ΔTlm，其中 ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)，ΔT₁ 和 ΔT₂ 为两端温差。进出口温度相同时，逆流的 ΔTlm 大于并流。
热负荷和水的出口温度
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2.5·35 = 87.5 kW
Tc,out = 15 + 87.5/(0.5·4.18) = 56.87 °C
两端温差
逆流时，热流体入口对着冷流体出口，热流体出口对着冷流体入口。
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 56.87 = 58.13 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 15 = 65 K
对数平均温差
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (58.13 − 65)/ln(58.13/65) = 61.5 K
面积
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 87500/(800·61.5) = 1.778 m²
答案
A = 1.778 m²
19.热传导
答案: Q̇ = 87.6 W
热阻：通过串联各层的稳态热流类似于通过串联电阻的电流：Q̇ = ΔT/ΣR，导热层 R = L/(kA)，对流表面 R = 1/(hA)。各层的温降与其热阻成正比。
各层热阻
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.96·20) = 0.002604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0.035·20) = 0.2143 K/W
热流量
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 19/0.2169 = 87.6 W
答案
Q̇ = 87.6 W
20.热传导
答案: Q̇ = 106.7 W
热阻：通过串联各层的稳态热流类似于通过串联电阻的电流：Q̇ = ΔT/ΣR，导热层 R = L/(kA)，对流表面 R = 1/(hA)。各层的温降与其热阻成正比。
串联热阻
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·15) = 0.006667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.04·15) = 0.1667 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0.17·15) = 0.05882 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·15) = 0.002222 K/W
ΣR = 0.2344 K/W
热损失
Q̇ = (21 − (-4))/0.2344 = 106.7 W
答案
Q̇ = 106.7 W
21.管道摩擦与水头损失
答案: hf = 2.124 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度水头
V²/(2g) = 2.5²/(2·9.81) = 0.3186 m
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(50/0.15)·2.5²/(2·9.81) = 2.124 m
答案
hf = 2.124 m
22.管道摩擦与水头损失
答案: H = 0.5317 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度
V = Q/A = 0.075/0.07069 = 1.061 m/s
V²/(2g) = 0.05738 m
损失系数
f·L/D = 0.02·100/0.3 = 6.667
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 0.2 = 1.6
能量方程
出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。
H = (1 + 6.667 + 1.6)·0.05738 = 0.5317 m
答案
H = 0.5317 m
23.水泵与泵功率
答案: Pel = 21.57 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·62 = 12.16 kW
轴功率
Pshaft = 12.16/0.6 = 20.27 kW
电功率
Pel = 20.27/0.94 = 21.57 kW
答案
Pel = 21.57 kW
24.水泵与泵功率
答案: H = 50.57 m
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (27 + 8)·0.3305 = 11.57 m
泵扬程
两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。
H = Δz + hL = 39 + 11.57 = 50.57 m
答案
H = 50.57 m
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