水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 0.5 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.连续性和伯努利中等

风洞中的皮托静压管测得总压与静压之差为 200 Pa。空气密度为 1.2 kg/m³。求风速 v。

p₀ − p = 200 Paρ = 1.2 kg/m³

v = m/s

4.连续性和伯努利困难

一根内径 20 mm 的软管从敞口水箱中虹吸取水。软管的最高点 C 高出水面 3 m，出口（通大气）低于水面 3.5 m。忽略损失，取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q。

d = 20 mmz_C = +3 mz₂ = −3.5 mg = 9.81 m/s²

Q = L/s

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 2.8 m/s 的平均流速流过一根长 400 m、内径 150 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.022，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

V = 2.8 m/sL = 400 mD = 150 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

一根长 100 m、内径 200 mm（达西摩擦系数 f = 0.022）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 5）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 80 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 80 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 5

H = m

7.水泵与泵功率中等

一台效率为 85% 的水泵以 50 m 的扬程输送 15 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 15 L/sH = 50 mη = 85%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 10 m 的上游水箱。管道长 600 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.025；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 300 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 40 L/sΔz = 10 mL = 600 mD = 150 mmf = 0.025ΣK = 8p_tank = 300 kPa

H = m

9.明渠流（曼宁公式）中等

一条矩形抹面混凝土渠道宽 1.5 m。水以 0.5 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.012，底坡 S = 0.003。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 1.5 my = 0.5 mn = 0.012S = 0.003

Q = m³/s

10.明渠流（曼宁公式）困难

一条底宽 1 m、边坡 1.5:1（水平:竖直）的梯形清洁土渠渠道须以 2 m 的水深均匀输送 14 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.022。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 14 m³/sb = 1 my = 2 mz = 1.5n = 0.022

S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 176.6 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·9 = 176.6 kN

答案

F = 176.6 kN

2.静水压力

答案: y_cp = 1.083 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·1·1.5 = 15.08 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·1³/12 = 0.125 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1 + 0.125/(1·1.5) = 1.083 m

答案

y_cp = 1.083 m

3.连续性和伯努利

答案: v = 18.26 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

到驻点的伯努利方程

流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·200/1.2) = 18.26 m/s

答案

v = 18.26 m/s

4.连续性和伯努利

答案: Q = 2.603 L/s

软管中的流速

液面和出口都通大气，所以压强项相互抵消。

v = √(2g·3.5) = √(2·9.81·3.5) = 8.287 m/s

流量

Q = A·v = 0.0003142·8.287 = 0.002603 m³/s = 2.603 L/s

答案

Q = 2.603 L/s

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 23.44 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 2.8²/(2·9.81) = 0.3996 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(400/0.15)·2.8²/(2·9.81) = 23.44 m

答案

h_f = 23.44 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: H = 6.18 m

速度

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

损失系数

f·L/D = 0.022·100/0.2 = 11

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 = 6.7

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 11 + 6.7)·0.3305 = 6.18 m

答案

H = 6.18 m

7.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 8.656 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·50 = 7.357 kW

轴功率

P_shaft = P_h/η = 7.357/0.85 = 8.656 kW

答案

P_shaft = 8.656 kW

8.水泵与泵功率

答案: H = 68.78 m

速度

V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s

V²/(2g) = 0.2611 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (100 + 8)·0.2611 = 28.2 m

压力水头

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9.81) = 30.58 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 10 + 30.58 + 28.2 = 68.78 m

答案

H = 68.78 m

9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 1.534 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = b·y = 1.5·0.5 = 0.75 m²

P = b + 2y = 1.5 + 2·0.5 = 2.5 m

R = A/P = 0.3 m

速度

V = (1/0.012)·0.3^2/3·0.003^1/2 = 2.045 m/s

流量

Q = A·V = 0.75·2.045 = 1.534 m³/s

答案

Q = 1.534 m³/s

10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.001535 m/m

几何参数

A = (b + z·y)·y = (1 + 1.5·2)·2 = 8 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·2·√(1 + 1.5²) = 8.211 m

R = A/P = 0.9743 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.022·14/(8·0.9828) = 0.03917

S = 0.03917² = 0.001535

答案

S = 0.001535

即每千米下降 1.535 m。

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