水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 2 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

3.连续性和伯努利中等

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 150 mm，喉部直径 75 mm。入口处的压强比喉部高 19 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ − p₂ = 19 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 200 mm 缩小到 50 mm，同时升高 7 m。截面 1 处压强为 250 kPa，流速为 0.75 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 200 mmd₂ = 50 mmp₁ = 250 kPav₁ = 0.75 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 1.3 m/s 的速度流过一根长 400 m、内径 300 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.025，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 1.3 m/sL = 400 mD = 300 mmf = 0.025ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.管道摩擦与水头损失困难

一根长 200 m、内径 300 mm（达西摩擦系数 f = 0.022）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 0.2）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 120 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 120 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 0.2

H = m

7.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 66 m 的扬程输送 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 54 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 50 L/sH = 66 mP_shaft = 54 kWg = 9.81 m/s²

η = %

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 75 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 11 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 75 L/sΔz = 11 mL = 100 mD = 200 mmf = 0.018ΣK = 8

H = m

9.明渠流（曼宁公式）中等

一条矩形清洁土渠渠道宽 6 m。水以 0.6 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.022，底坡 S = 0.003。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 6 my = 0.6 mn = 0.022S = 0.003

Q = m³/s

10.明渠流（曼宁公式）困难

一根内径 250 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 0.75 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。

D = 250 mmn = 0.013V = 0.75 m/s

S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 78.48 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4·2 = 78.48 kN

答案

F = 78.48 kN

2.静水压力

答案: F = 98.88 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·2·4 = 98.88 kN

答案

F = 98.88 kN

3.连续性和伯努利

答案: Q = 28.13 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v₁ = v₂·(75/150)² = 0.25·v₂

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·19000/(1000·(1 − 0.0625))) = 6.367 m/s

v₁ = 1.592 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.004418·6.367 = 0.02813 m³/s = 28.13 L/s

答案

Q = 28.13 L/s

4.连续性和伯努利

答案: p₂ = 109.6 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(200/50)² = 12 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 12²)/1000 = −71.72 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·7/1000 = 68.67 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 250 + (−71.72) − 68.67 = 109.6 kPa

答案

p₂ = 109.6 kPa

5.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 28.17 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(400/0.3)·1.3²/(2·9.81) = 2.871 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·2.871 = 28167 Pa = 28.17 kPa

答案

Δp = 28.17 kPa

6.管道摩擦与水头损失

答案: H = 2.58 m

速度

V = Q/A = 0.12/0.07069 = 1.698 m/s

V²/(2g) = 0.1469 m

损失系数

f·L/D = 0.022·200/0.3 = 14.67

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 0.2 = 1.9

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 14.67 + 1.9)·0.1469 = 2.58 m

答案

H = 2.58 m

7.水泵与泵功率

答案: η = 59.95 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.05·66 = 32.37 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 32.37/54 = 59.95%

答案

η = 59.95%

8.水泵与泵功率

答案: H = 15.94 m

速度

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s

V²/(2g) = 0.2905 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (9 + 8)·0.2905 = 4.938 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + h_L = 11 + 4.938 = 15.94 m

答案

H = 15.94 m

9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 5.646 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = b·y = 6·0.6 = 3.6 m²

P = b + 2y = 6 + 2·0.6 = 7.2 m

R = A/P = 0.5 m

速度

V = (1/0.022)·0.5^2/3·0.003^1/2 = 1.568 m/s

流量

Q = A·V = 3.6·1.568 = 5.646 m³/s

答案

Q = 5.646 m³/s

10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.003833 m/m

水力半径

R = D/4 = 0.25/4 = 0.0625 m

由曼宁公式解 S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.75/0.1575)² = 0.003833

答案

S = 0.003833

即每千米下降 3.833 m。

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