水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

3.连续性和伯努利中等

水从一个大型敞口水箱经直径 30 mm 的锐缘孔口流出。水位保持在孔口以上 5 m，流量系数为 0.63。求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

d = 30 mmh = 5 mC_d = 0.63g = 9.81 m/s²

Q = L/s

4.连续性和伯努利困难

一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 90 kPa。水从水面以下 4.5 m 处直径 50 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

p_air = 90 kPa (表压)h = 4.5 md = 50 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 3 m/s 的平均流速流过一根长 50 m、内径 150 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.018，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

V = 3 m/sL = 50 mD = 150 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

一根长 300 m、内径 250 mm（达西摩擦系数 f = 0.025）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 5）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 150 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 150 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0.025K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 5

H = m

7.水泵与泵功率中等

一台效率为 80% 的水泵以 74 m 的扬程输送 10 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 10 L/sH = 74 mη = 80%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 5 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 100 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 75%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 20 L/sΔz = 5 mL = 200 mD = 100 mmf = 0.02ΣK = 8η = 75%

P_shaft = kW

9.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形抹面混凝土渠道底宽 1 m，边坡 3:1（水平:竖直）。水以 1.7 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.012，底坡 S = 0.004。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 1 my = 1.7 mz = 3n = 0.012S = 0.004

Q = m³/s

10.明渠流（曼宁公式）困难

一条宽 5.5 m 的矩形植草土渠渠道须以 2.5 m 的水深均匀输送 30 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.03。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 30 m³/sb = 5.5 my = 2.5 mn = 0.03

S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 44.15 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·3 = 44.15 kN

答案

F = 44.15 kN

2.静水压力

答案: F = 397.3 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·9 = 397.3 kN

答案

F = 397.3 kN

3.连续性和伯努利

答案: Q = 4.411 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想射流速度

√(2gh) = √(2·9.81·5) = 9.905 m/s

实际流量

流量系数考虑了射流收缩和孔口边缘处的摩擦。

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.63·0.0007069·9.905 = 0.004411 m³/s = 4.411 L/s

答案

Q = 4.411 L/s

4.连续性和伯努利

答案: Q = 32.16 L/s

从液面到射流的伯努利方程

v = √(2·(90000/1000 + 9.81·4.5)) = 16.38 m/s

流量

Q = A·v = 0.001963·16.38 = 0.03216 m³/s = 32.16 L/s

答案

Q = 32.16 L/s

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 2.752 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 3²/(2·9.81) = 0.4587 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(50/0.15)·3²/(2·9.81) = 2.752 m

答案

h_f = 2.752 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: H = 17.8 m

速度

V = Q/A = 0.15/0.04909 = 3.056 m/s

V²/(2g) = 0.4759 m

损失系数

f·L/D = 0.025·300/0.25 = 30

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 = 6.4

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 30 + 6.4)·0.4759 = 17.8 m

答案

H = 17.8 m

7.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 9.074 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·74 = 7.259 kW

轴功率

P_shaft = P_h/η = 7.259/0.8 = 9.074 kW

答案

P_shaft = 9.074 kW

8.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 5.458 kW

速度

V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 8)·0.3305 = 15.86 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 5 + 15.86 = 20.86 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.02·20.86/0.75 = 5.458 kW

答案

P_shaft = 5.458 kW

9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 50.28 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (1 + 3·1.7)·1.7 = 10.37 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1.7·√(1 + 3²) = 11.75 m

R = A/P = 0.8824 m

速度

V = (1/0.012)·0.8824^2/3·0.004^1/2 = 4.849 m/s

流量

Q = A·V = 10.37·4.849 = 50.28 m³/s

答案

Q = 50.28 m³/s

10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.00299 m/m

几何参数

A = b·y = 5.5·2.5 = 13.75 m²

P = b + 2y = 5.5 + 2·2.5 = 10.5 m

R = A/P = 1.31 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.03·30/(13.75·1.197) = 0.05468

S = 0.05468² = 0.00299

答案

S = 0.00299

即每千米下降 2.99 m。

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