水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 4 mH = 2 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.连续性和伯努利中等

水以 14 L/s 流过一根水平管道，管径从 80 mm 缩小到 40 mm。窄段的压强为 60 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p₁。

Q = 14 L/sd₁ = 80 mmd₂ = 40 mmp₂ = 60 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.连续性和伯努利困难

一个喷泉喷嘴竖直向上。在喷嘴正下方，供水管直径为 75 mm，表压为 40 kPa。喷嘴出口直径为 30 mm，喷嘴前后的高度差可忽略。忽略损失和空气阻力，求射流高出喷嘴的高度 H。取 g = 9.81 m/s²。

d₁ = 75 mmp₁ = 40 kPa (表压)d₂ = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 1.5 m/s 的平均流速流过一根长 500 m、内径 300 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.022，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

V = 1.5 m/sL = 500 mD = 300 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 400 m、内径 300 mm、达西摩擦系数 f = 0.02 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 25 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 25 mL = 400 mD = 300 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1.0

Q = L/s

7.水泵与泵功率中等

一台效率为 80% 的水泵以 52 m 的扬程输送 10 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 10 L/sH = 52 mη = 80%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 60 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 8 m 的上游水箱。管道长 600 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.025；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 60 L/sΔz = 8 mL = 600 mD = 200 mmf = 0.025ΣK = 8

H = m

9.明渠流（曼宁公式）中等

一条矩形未抹面混凝土渠道宽 3 m。水以 0.8 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.014，底坡 S = 0.005。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 3 my = 0.8 mn = 0.014S = 0.005

Q = m³/s

10.明渠流（曼宁公式）困难

一条底宽 1 m、边坡 3:1（水平:竖直）的梯形抹面混凝土渠道须以 1 m 的水深均匀输送 5 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.012。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 5 m³/sb = 1 my = 1 mz = 3n = 0.012

S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 82.77 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·3.75 = 82.77 kN

答案

F = 82.77 kN

2.静水压力

答案: y_cp = 5.067 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·5·2 = 123.6 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0.6667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5 + 0.6667/(5·2) = 5.067 m

答案

y_cp = 5.067 m

3.连续性和伯努利

答案: p₁ = 118.2 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.014/0.005027 = 2.785 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.014/0.001257 = 11.14 m/s

伯努利方程

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 60 + ½·1000·(11.14² − 2.785²)/1000 = 60 + 58.18 = 118.2 kPa

答案

p₁ = 118.2 kPa

4.连续性和伯努利

答案: H = 4.185 m

出口流速

β = 30/75 = 0.4

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·40000/(1000·0.9744)) = 9.061 m/s

射流高度

沿射流的伯努利方程：在最高点速度为零，压强又回到大气压。

H = v₂²/(2g) = 9.061²/(2·9.81) = 4.185 m

答案

H = 4.185 m

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 4.205 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 1.5²/(2·9.81) = 0.1147 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(500/0.3)·1.5²/(2·9.81) = 4.205 m

答案

h_f = 4.205 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 282.2 L/s

损失系数

f·L/D = 0.02·400/0.3 = 26.67

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 + 1.0 = 4.1

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

25 = (26.67 + 4.1)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·25/30.77) = 3.993 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 3.993·0.07069 = 0.2822 m³/s = 282.2 L/s

答案

Q = 282.2 L/s

7.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 6.377 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·52 = 5.101 kW

轴功率

P_shaft = P_h/η = 5.101/0.8 = 6.377 kW

答案

P_shaft = 6.377 kW

8.水泵与泵功率

答案: H = 23.43 m

速度

V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (75 + 8)·0.1859 = 15.43 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + h_L = 8 + 15.43 = 23.43 m

答案

H = 23.43 m

9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 7.856 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = b·y = 3·0.8 = 2.4 m²

P = b + 2y = 3 + 2·0.8 = 4.6 m

R = A/P = 0.5217 m

速度

V = (1/0.014)·0.5217^2/3·0.005^1/2 = 3.273 m/s

流量

Q = A·V = 2.4·3.273 = 7.856 m³/s

答案

Q = 7.856 m³/s

10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.0005041 m/m

几何参数

A = (b + z·y)·y = (1 + 3·1)·1 = 4 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1·√(1 + 3²) = 7.325 m

R = A/P = 0.5461 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.012·5/(4·0.6681) = 0.02245

S = 0.02245² = 0.0005041

答案

S = 0.0005041

即每千米下降 0.5041 m。

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