水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

3.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 40 mm。宽段压强为 300 kPa，流速为 1 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 300 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 40 mm，同时升高 4 m。截面 1 处压强为 220 kPa，流速为 1.75 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 220 kPav₁ = 1.75 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 1.2 m/s 的速度流过一根长 800 m、内径 300 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.025，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 1.2 m/sL = 800 mD = 300 mmf = 0.025ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 200 m、内径 200 mm、达西摩擦系数 f = 0.015 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 100 L/s？

Q = 100 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1.0

Δz = m

7.水泵与泵功率中等

一台水泵以 48 m 的扬程输送 10 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 82%，驱动它的电动机效率为 88%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 P_el，以 kW 计。

Q = 10 L/sH = 48 mη_pump = 82%η_motor = 88%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 120 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 10 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 300 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 120 L/sΔz = 10 mL = 100 mD = 250 mmf = 0.022ΣK = 5p_tank = 300 kPa

H = m

9.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形砖砌渠道底宽 1 m，边坡 1.5:1（水平:竖直）。水以 1.1 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.015，底坡 S = 0.003。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 1 my = 1.1 mz = 1.5n = 0.015S = 0.003

Q = m³/s

10.明渠流（曼宁公式）困难

一根内径 600 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 0.9 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。

D = 600 mmn = 0.013V = 0.9 m/s

S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 386.3 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 2.5/2 = 5.25 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5.25·7.5 = 386.3 kN

答案

F = 386.3 kN

2.静水压力

答案: F = 64.38 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·3.75 = 64.38 kN

答案

F = 64.38 kN

3.连续性和伯努利

答案: p₂ = 281 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(100/40)² = 6.25 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 6.25²)/1000 = −19.03 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 300 + (−19.03) = 281 kPa

答案

p₂ = 281 kPa

4.连续性和伯努利

答案: p₂ = 122.5 kPa

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.75·(100/40)² = 10.94 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.75² − 10.94²)/1000 = −58.28 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·4/1000 = 39.24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 220 + (−58.28) − 39.24 = 122.5 kPa

答案

p₂ = 122.5 kPa

5.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 48 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(800/0.3)·1.2²/(2·9.81) = 4.893 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·4.893 = 48000 Pa = 48 kPa

答案

Δp = 48 kPa

6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 14.3 m

速度

V = Q/A = 0.1/0.03142 = 3.183 m/s

V²/(2g) = 0.5164 m

损失系数

f·L/D = 0.015·200/0.2 = 15

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 + 1.0 = 12.7

总水头损失

h_f = 15·0.5164 = 7.746 m

h_m = 12.7·0.5164 = 6.559 m

Δz = h_f + h_m = 14.3 m

答案

Δz = 14.3 m

7.水泵与泵功率

答案: P_el = 6.525 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·48 = 4.709 kW

轴功率

P_shaft = 4.709/0.82 = 5.742 kW

电功率

P_el = 5.742/0.88 = 6.525 kW

答案

P_el = 6.525 kW

8.水泵与泵功率

答案: H = 44.78 m

速度

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s

V²/(2g) = 0.3046 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (8.8 + 5)·0.3046 = 4.203 m

压力水头

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9.81) = 30.58 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 10 + 30.58 + 4.203 = 44.78 m

答案

H = 44.78 m

9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 7.462 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (1 + 1.5·1.1)·1.1 = 2.915 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1.1·√(1 + 1.5²) = 4.966 m

R = A/P = 0.587 m

速度

V = (1/0.015)·0.587^2/3·0.003^1/2 = 2.56 m/s

流量

Q = A·V = 2.915·2.56 = 7.462 m³/s

答案

Q = 7.462 m³/s

10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.001718 m/m

水力半径

R = D/4 = 0.6/4 = 0.15 m

由曼宁公式解 S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.9/0.2823)² = 0.001718

答案

S = 0.001718

即每千米下降 1.718 m。

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