水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 3 mH = 1 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 40 mm。宽段压强为 150 kPa，流速为 0.75 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 150 kPav₁ = 0.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 75 mm，同时升高 1 m。截面 1 处压强为 360 kPa，流速为 2.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 360 kPav₁ = 2.5 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 12 L/s 的流量流过一根长 500 m、内径 100 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.015，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

Q = 12 L/sL = 500 mD = 100 mmf = 0.015g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 150 m、内径 300 mm、达西摩擦系数 f = 0.02 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 120 L/s？

Q = 120 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1.0

Δz = m

7.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 56 m 的扬程输送 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 14.6 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 20 L/sH = 56 mP_shaft = 14.6 kWg = 9.81 m/s²

η = %

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 7 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 3（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 78%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 40 L/sΔz = 7 mL = 100 mD = 150 mmf = 0.022ΣK = 3η = 78%

P_shaft = kW

9.明渠流（曼宁公式）中等

一根内径 900 mm 的混凝土雨水管刚好满流（作为明渠，不承压）。曼宁 n = 0.013，坡度 S = 0.0005。求流量 Q，以 m³/s 计。

D = 900 mmn = 0.013S = 0.0005

Q = m³/s

10.明渠流（曼宁公式）困难

一条宽 2.5 m 的矩形砾石渠道须以 2 m 的水深均匀输送 5.3 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.025。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 5.3 m³/sb = 2.5 my = 2 mn = 0.025

S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 176.6 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·9 = 176.6 kN

答案

F = 176.6 kN

2.静水压力

答案: y_cp = 3.524 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3.5·2 = 70.39 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0.1667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.5 + 0.1667/(3.5·2) = 3.524 m

答案

y_cp = 3.524 m

3.连续性和伯努利

答案: p₂ = 146.8 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(75/40)² = 2.637 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 2.637²)/1000 = −3.195 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 150 + (−3.195) = 146.8 kPa

答案

p₂ = 146.8 kPa

4.连续性和伯努利

答案: p₂ = 343.4 kPa

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.5·(100/75)² = 4.444 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.5² − 4.444²)/1000 = −6.752 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·1/1000 = 9.81 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 360 + (−6.752) − 9.81 = 343.4 kPa

答案

p₂ = 343.4 kPa

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 8.924 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.1²/4 = 0.007854 m²

V = Q/A = 0.012/0.007854 = 1.528 m/s

速度水头

V²/(2g) = 1.528²/(2·9.81) = 0.119 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(500/0.1)·1.528²/(2·9.81) = 8.924 m

答案

h_f = 8.924 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 2.071 m

速度

V = Q/A = 0.12/0.07069 = 1.698 m/s

V²/(2g) = 0.1469 m

损失系数

f·L/D = 0.02·150/0.3 = 10

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 + 1.0 = 4.1

总水头损失

h_f = 10·0.1469 = 1.469 m

h_m = 4.1·0.1469 = 0.6023 m

Δz = h_f + h_m = 2.071 m

答案

Δz = 2.071 m

7.水泵与泵功率

答案: η = 75.25 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·56 = 10.99 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 10.99/14.6 = 75.25%

答案

η = 75.25%

8.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 5.842 kW

速度

V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s

V²/(2g) = 0.2611 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (14.67 + 3)·0.2611 = 4.614 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 7 + 4.614 = 11.61 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.04·11.61/0.78 = 5.842 kW

答案

P_shaft = 5.842 kW

9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 0.4048 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = 0.6362 m², R = D/4 = 0.225 m

速度

V = (1/0.013)·0.225^2/3·0.0005^1/2 = 0.6363 m/s

流量

Q = A·V = 0.6362·0.6363 = 0.4048 m³/s

答案

Q = 0.4048 m³/s

10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.0009964 m/m

几何参数

A = b·y = 2.5·2 = 5 m²

P = b + 2y = 2.5 + 2·2 = 6.5 m

R = A/P = 0.7692 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.025·5.3/(5·0.8395) = 0.03157

S = 0.03157² = 0.0009964

答案

S = 0.0009964

即每千米下降 0.9964 m。

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