水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

3.连续性和伯努利中等

水以 39 L/s 流过一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 100 mm。窄段的压强为 100 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p₁。

Q = 39 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₂ = 100 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 150 mm 缩小到 100 mm，同时升高 3 m。截面 1 处压强为 170 kPa，流速为 2.25 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 170 kPav₁ = 2.25 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 12 L/s 的流量流过一根长 300 m、内径 150 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.015，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

Q = 12 L/sL = 300 mD = 150 mmf = 0.015g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 150 m、内径 250 mm、达西摩擦系数 f = 0.022 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 23 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 23 mL = 150 mD = 250 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1.0

Q = L/s

7.水泵与泵功率中等

一台效率为 78% 的水泵以 38 m 的扬程输送 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 80 L/sH = 38 mη = 78%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 18 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.025；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 40 L/sΔz = 18 mL = 200 mD = 150 mmf = 0.025ΣK = 8

H = m

9.明渠流（曼宁公式）中等

一条矩形植草土渠渠道宽 5 m。水以 1.6 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.03，底坡 S = 0.0005。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 5 my = 1.6 mn = 0.03S = 0.0005

Q = m³/s

10.明渠流（曼宁公式）困难

一条底宽 3.5 m、边坡 1:1（水平:竖直）的梯形植草土渠渠道须以 0.6 m 的水深均匀输送 3.1 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.03。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 3.1 m³/sb = 3.5 my = 0.6 mz = 1n = 0.03

S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 353.2 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4·9 = 353.2 kN

答案

F = 353.2 kN

2.静水压力

答案: F = 49.44 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·2·2 = 49.44 kN

答案

F = 49.44 kN

3.连续性和伯努利

答案: p₁ = 109.9 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.039/0.01767 = 2.207 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.039/0.007854 = 4.966 m/s

伯努利方程

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 100 + ½·1000·(4.966² − 2.207²)/1000 = 100 + 9.893 = 109.9 kPa

答案

p₁ = 109.9 kPa

4.连续性和伯努利

答案: p₂ = 130.3 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.25·(150/100)² = 5.063 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.25² − 5.063²)/1000 = −10.28 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·3/1000 = 29.43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 170 + (−10.28) − 29.43 = 130.3 kPa

答案

p₂ = 130.3 kPa

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 0.7051 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.15²/4 = 0.01767 m²

V = Q/A = 0.012/0.01767 = 0.6791 m/s

速度水头

V²/(2g) = 0.6791²/(2·9.81) = 0.0235 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(300/0.15)·0.6791²/(2·9.81) = 0.7051 m

答案

h_f = 0.7051 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 206.1 L/s

损失系数

f·L/D = 0.022·150/0.25 = 13.2

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 + 1.0 = 12.4

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

23 = (13.2 + 12.4)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·23/25.6) = 4.198 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 4.198·0.04909 = 0.2061 m³/s = 206.1 L/s

答案

Q = 206.1 L/s

7.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 38.23 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.08·38 = 29.82 kW

轴功率

P_shaft = P_h/η = 29.82/0.78 = 38.23 kW

答案

P_shaft = 38.23 kW

8.水泵与泵功率

答案: H = 28.79 m

速度

V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s

V²/(2g) = 0.2611 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (33.33 + 8)·0.2611 = 10.79 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + h_L = 18 + 10.79 = 28.79 m

答案

H = 28.79 m

9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 5.865 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = b·y = 5·1.6 = 8 m²

P = b + 2y = 5 + 2·1.6 = 8.2 m

R = A/P = 0.9756 m

速度

V = (1/0.03)·0.9756^2/3·0.0005^1/2 = 0.7332 m/s

流量

Q = A·V = 8·0.7332 = 5.865 m³/s

答案

Q = 5.865 m³/s

10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.003874 m/m

几何参数

A = (b + z·y)·y = (3.5 + 1·0.6)·0.6 = 2.46 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3.5 + 2·0.6·√(1 + 1²) = 5.197 m

R = A/P = 0.4733 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.03·3.1/(2.46·0.6074) = 0.06224

S = 0.06224² = 0.003874

答案

S = 0.003874

即每千米下降 3.874 m。

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering