水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 3 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

3.连续性和伯努利中等

水从一个大型敞口水箱经直径 25 mm 的锐缘孔口流出。水位保持在孔口以上 5 m，流量系数为 0.65。求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

d = 25 mmh = 5 mC_d = 0.65g = 9.81 m/s²

Q = L/s

4.连续性和伯努利困难

一根内径 50 mm 的软管从敞口水箱中虹吸取水。软管的最高点 C 高出水面 1 m，出口（通大气）低于水面 2 m。忽略损失，取 g = 9.81 m/s²。求 C 点的绝对压强 p_C。大气压为 101.3 kPa。

d = 50 mmz_C = +1 mz₂ = −2 mg = 9.81 m/s²p_atm = 101.3 kPa

p_C = kPa

5.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 2.8 m/s 的速度流过一根长 1000 m、内径 200 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.03，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 2.8 m/sL = 1000 mD = 200 mmf = 0.03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.管道摩擦与水头损失困难

一根长 150 m、内径 200 mm（达西摩擦系数 f = 0.018）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 5）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 60 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 60 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 5

H = m

7.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 40 m 的扬程输送 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 9.2 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 20 L/sH = 40 mP_shaft = 9.2 kWg = 9.81 m/s²

η = %

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 35 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.025；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 80 L/sΔz = 35 mL = 200 mD = 200 mmf = 0.025ΣK = 8

H = m

9.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形砾石渠道底宽 4 m，边坡 1:1（水平:竖直）。水以 1.3 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.025，底坡 S = 0.0015。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 4 my = 1.3 mz = 1n = 0.025S = 0.0015

Q = m³/s

10.明渠流（曼宁公式）困难

一根内径 300 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 1.2 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。

D = 300 mmn = 0.013V = 1.2 m/s

S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 159.4 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·5 = 159.4 kN

答案

F = 159.4 kN

2.静水压力

答案: F = 194.2 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2.5·9 = 194.2 kN

答案

F = 194.2 kN

3.连续性和伯努利

答案: Q = 3.16 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想射流速度

√(2gh) = √(2·9.81·5) = 9.905 m/s

实际流量

流量系数考虑了射流收缩和孔口边缘处的摩擦。

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.65·0.0004909·9.905 = 0.00316 m³/s = 3.16 L/s

答案

Q = 3.16 L/s

4.连续性和伯努利

答案: p_C = 71.87 kPa

软管中的流速

液面和出口都通大气，所以压强项相互抵消。

v = √(2g·2) = √(2·9.81·2) = 6.264 m/s

从液面到 C 的伯努利方程

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101.3 − 1000·(6.264²/2 + 9.81·1)/1000 = 101.3 − 29.43 = 71.87 kPa

答案

p_C = 71.87 kPa

如果该压强降到水的饱和蒸汽压，虹吸就会停止工作。

5.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 588 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(1000/0.2)·2.8²/(2·9.81) = 59.94 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·59.94 = 588000 Pa = 588 kPa

答案

Δp = 588 kPa

6.管道摩擦与水头损失

答案: H = 3.886 m

速度

V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

损失系数

f·L/D = 0.018·150/0.2 = 13.5

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 = 6.4

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 13.5 + 6.4)·0.1859 = 3.886 m

答案

H = 3.886 m

7.水泵与泵功率

答案: η = 85.3 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·40 = 7.848 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 7.848/9.2 = 85.3%

答案

η = 85.3%

8.水泵与泵功率

答案: H = 45.91 m

速度

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (25 + 8)·0.3305 = 10.91 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + h_L = 35 + 10.91 = 45.91 m

答案

H = 45.91 m

9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 9.931 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (4 + 1·1.3)·1.3 = 6.89 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1.3·√(1 + 1²) = 7.677 m

R = A/P = 0.8975 m

速度

V = (1/0.025)·0.8975^2/3·0.0015^1/2 = 1.441 m/s

流量

Q = A·V = 6.89·1.441 = 9.931 m³/s

答案

Q = 9.931 m³/s

10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.007694 m/m

水力半径

R = D/4 = 0.3/4 = 0.075 m

由曼宁公式解 S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·1.2/0.1778)² = 0.007694

答案

S = 0.007694

即每千米下降 7.694 m。

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