水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 1 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

3.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 200 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 120 kPa，流速为 0.75 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 200 mmd₂ = 50 mmp₁ = 120 kPav₁ = 0.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.连续性和伯努利困难

一根内径 32 mm 的软管从敞口水箱中虹吸取水。软管的最高点 C 高出水面 2.5 m，出口（通大气）低于水面 1.5 m。忽略损失，取 g = 9.81 m/s²。求 C 点的绝对压强 p_C。大气压为 101.3 kPa。

d = 32 mmz_C = +2.5 mz₂ = −1.5 mg = 9.81 m/s²p_atm = 101.3 kPa

p_C = kPa

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 2.1 m/s 的平均流速流过一根长 400 m、内径 75 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.025，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

V = 2.1 m/sL = 400 mD = 75 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 100 m、内径 100 mm、达西摩擦系数 f = 0.025 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 12 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 5）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 12 mL = 100 mD = 100 mmf = 0.025K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1.0

Q = L/s

7.水泵与泵功率中等

一台效率为 80% 的水泵以 56 m 的扬程输送 25 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 25 L/sH = 56 mη = 80%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 75 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 21 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 75 L/sΔz = 21 mL = 100 mD = 200 mmf = 0.022ΣK = 8

H = m

9.明渠流（曼宁公式）中等

一根内径 750 mm 的混凝土雨水管半满流。曼宁 n = 0.013，坡度 S = 0.001。求流量 Q，以 m³/s 计。

D = 750 mmn = 0.013S = 0.001

Q = m³/s

10.明渠流（曼宁公式）困难

一条底宽 3.5 m、边坡 2:1（水平:竖直）的梯形砖砌渠道须以 1.9 m 的水深均匀输送 32 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.015。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 32 m³/sb = 3.5 my = 1.9 mz = 2n = 0.015

S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 36.79 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·1.5 = 36.79 kN

答案

F = 36.79 kN

2.静水压力

答案: F = 43.26 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·3.5·1 = 43.26 kN

答案

F = 43.26 kN

3.连续性和伯努利

答案: p₂ = 48.28 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(200/50)² = 12 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 12²)/1000 = −71.72 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 120 + (−71.72) = 48.28 kPa

答案

p₂ = 48.28 kPa

4.连续性和伯努利

答案: p_C = 62.06 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

软管中的流速

液面和出口都通大气，所以压强项相互抵消。

v = √(2g·1.5) = √(2·9.81·1.5) = 5.425 m/s

从液面到 C 的伯努利方程

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101.3 − 1000·(5.425²/2 + 9.81·2.5)/1000 = 101.3 − 39.24 = 62.06 kPa

答案

p_C = 62.06 kPa

如果该压强降到水的饱和蒸汽压，虹吸就会停止工作。

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 29.97 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 2.1²/(2·9.81) = 0.2248 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(400/0.075)·2.1²/(2·9.81) = 29.97 m

答案

h_f = 29.97 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 21.07 L/s

损失系数

f·L/D = 0.025·100/0.1 = 25

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 + 1.0 = 7.7

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

12 = (25 + 7.7)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·12/32.7) = 2.683 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 2.683·0.007854 = 0.02107 m³/s = 21.07 L/s

答案

Q = 21.07 L/s

7.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 17.17 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.025·56 = 13.73 kW

轴功率

P_shaft = P_h/η = 13.73/0.8 = 17.17 kW

答案

P_shaft = 17.17 kW

8.水泵与泵功率

答案: H = 26.52 m

速度

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s

V²/(2g) = 0.2905 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11 + 8)·0.2905 = 5.519 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + h_L = 21 + 5.519 = 26.52 m

答案

H = 26.52 m

9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 0.176 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = 0.2209 m², R = D/4 = 0.1875 m

速度

V = (1/0.013)·0.1875^2/3·0.001^1/2 = 0.7969 m/s

流量

Q = A·V = 0.2209·0.7969 = 0.176 m³/s

答案

Q = 0.176 m³/s

10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.000987 m/m

几何参数

A = (b + z·y)·y = (3.5 + 2·1.9)·1.9 = 13.87 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3.5 + 2·1.9·√(1 + 2²) = 12 m

R = A/P = 1.156 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.015·32/(13.87·1.102) = 0.03142

S = 0.03142² = 0.000987

答案

S = 0.000987

即每千米下降 0.987 m。

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