静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
水力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
连续性和伯努利
- 连续性
- A1v1 = A2v2
- 伯努利方程
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 圆面积
- A = πd²/4
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
明渠流（曼宁公式）
- 曼宁公式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 水力半径
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 矩形
- A = b·y, P = b + 2y
- 梯形（边坡 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 圆管，满流或半满流
- R = D/4
- 所需坡度
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2练习题
1.静水压力中等
一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 1.5 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。
d = 1 mH = 1 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.连续性和伯努利中等
水以 6 L/s 流过一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 50 mm。窄段的压强为 280 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p1。
Q = 6 L/sd1 = 100 mmd2 = 50 mmp2 = 280 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.连续性和伯努利困难
一个水平文丘里流量计（入口 250 mm，喉部 125 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 400 mm。流量系数为 0.96。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。
d1 = 250 mmd2 = 125 mmΔh = 400 mmCd = 0.96ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管道摩擦与水头损失中等
水（ρ = 1000 kg/m³）以 1.7 m/s 的速度流过一根长 500 m、内径 200 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.025，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。
V = 1.7 m/sL = 500 mD = 200 mmf = 0.025ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管道摩擦与水头损失困难
两个敞口水池由一根长 150 m、内径 250 mm、达西摩擦系数 f = 0.022 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 10 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。
Δz = 10 mL = 150 mD = 250 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Q = L/s
7.水泵与泵功率中等
一台效率为 75% 的水泵以 42 m 的扬程输送 150 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 150 L/sH = 42 mη = 75%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.水泵与泵功率困难
一台水泵把 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 22 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 82%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 40 L/sΔz = 22 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.022ΣK = 6η = 82%
Pshaft = kW
9.明渠流（曼宁公式）中等
一条梯形植草土渠渠道底宽 1 m，边坡 1.5:1（水平:竖直）。水以 1 m 的水深作均匀流。 曼宁 n = 0.03，底坡 S = 0.003。求流量 Q，以 m³/s 计。
b = 1 my = 1 mz = 1.5n = 0.03S = 0.003
Q = m³/s
10.明渠流（曼宁公式）困难
一条宽 4 m 的矩形清洁土渠渠道 须以 1.9 m 的水深均匀输送 21 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.022。求所需底坡 S（以 m/m 计）。
Q = 21 m³/sb = 4 my = 1.9 mn = 0.022
S = m/m
3溶液
1.静水压力
答案: F = 134.9 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m
A = H·b = 2.5·2 = 5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.75·5 = 134.9 kN
答案
F = 134.9 kN
2.静水压力
答案: ycp = 1.556 m
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·1.5·2 = 25.9 kN
压力中心
压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。
Ic = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0.1667 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1.5 + 0.1667/(1.5·2) = 1.556 m
答案
ycp = 1.556 m
3.连续性和伯努利
答案: p1 = 284.4 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
流速
v1 = Q/A1 = 0.006/0.007854 = 0.7639 m/s
v2 = Q/A2 = 0.006/0.001963 = 3.056 m/s
伯努利方程
p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 280 + ½·1000·(3.056² − 0.7639²)/1000 = 280 + 4.377 = 284.4 kPa
答案
p1 = 284.4 kPa
4.连续性和伯努利
答案: Q = 121 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
由压差计求压强差
Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.4 = 49442 Pa
喉部流速
连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。
β = 125/250 = 0.5
v2 = √(2·49442/(1000·(1 − 0.0625))) = 10.27 m/s
实际流量
Q = Cd·A2·v2 = 0.96·0.01227·10.27 = 0.121 m³/s = 121 L/s
答案
Q = 121 L/s
5.管道摩擦与水头损失
答案: Δp = 90.31 kPa
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
水头损失
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(500/0.2)·1.7²/(2·9.81) = 9.206 m
压降
管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·hf。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·9.206 = 90312 Pa = 90.31 kPa
答案
Δp = 90.31 kPa
6.管道摩擦与水头损失
答案: Q = 163.9 L/s
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
损失系数
f·L/D = 0.022·150/0.25 = 13.2
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 + 1.0 = 4.4
能量方程
两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。
10 = (13.2 + 4.4)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·10/17.6) = 3.339 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 3.339·0.04909 = 0.1639 m³/s = 163.9 L/s
答案
Q = 163.9 L/s
7.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 82.4 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·42 = 61.8 kW
轴功率
Pshaft = Ph/η = 61.8/0.75 = 82.4 kW
答案
Pshaft = 82.4 kW
8.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 14.03 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s
V²/(2g) = 0.2611 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 6)·0.2611 = 7.312 m
泵扬程
H = Δz + hL = 22 + 7.312 = 29.31 m
轴功率
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.04·29.31/0.82 = 14.03 kW
答案
Pshaft = 14.03 kW
9.明渠流（曼宁公式）
答案: Q = 3.037 m³/s
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = (b + z·y)·y = (1 + 1.5·1)·1 = 2.5 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1·√(1 + 1.5²) = 4.606 m
R = A/P = 0.5428 m
速度
V = (1/0.03)·0.54282/3·0.0031/2 = 1.215 m/s
流量
Q = A·V = 2.5·1.215 = 3.037 m³/s
答案
Q = 3.037 m³/s
10.明渠流（曼宁公式）
答案: S = 0.003826 m/m
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = b·y = 4·1.9 = 7.6 m²
P = b + 2y = 4 + 2·1.9 = 7.8 m
R = A/P = 0.9744 m
由曼宁公式解 S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.022·21/(7.6·0.9828) = 0.06185
S = 0.06185² = 0.003826
答案
S = 0.003826
即每千米下降 3.826 m。
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