水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

3.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 250 kPa，流速为 3 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 250 kPav₁ = 3 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 50 mm，同时升高 3 m。截面 1 处压强为 380 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 380 kPav₁ = 0.5 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 1.8 m/s 的速度流过一根长 300 m、内径 250 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.025，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 1.8 m/sL = 300 mD = 250 mmf = 0.025ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 200 m、内径 200 mm、达西摩擦系数 f = 0.022 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 40 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 5）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 40 mL = 200 mD = 200 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1.0

Q = L/s

7.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 22 m 的扬程输送 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 23 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 80 L/sH = 22 mP_shaft = 23 kWg = 9.81 m/s²

η = %

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 100 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 6 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 250 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 100 L/sΔz = 6 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.02ΣK = 8p_tank = 250 kPa

H = m

9.明渠流（曼宁公式）中等

一根内径 1200 mm 的混凝土雨水管刚好满流（作为明渠，不承压）。曼宁 n = 0.013，坡度 S = 0.0008。求流量 Q，以 m³/s 计。

D = 1200 mmn = 0.013S = 0.0008

Q = m³/s

10.明渠流（曼宁公式）困难

一条底宽 3.5 m、边坡 2:1（水平:竖直）的梯形抹面混凝土渠道须以 0.6 m 的水深均匀输送 9.8 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.012。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 9.8 m³/sb = 3.5 my = 0.6 mz = 2n = 0.012

S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 132.4 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·4.5 = 132.4 kN

答案

F = 132.4 kN

2.静水压力

答案: F = 37.77 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·1.75·2.5 = 37.77 kN

答案

F = 37.77 kN

3.连续性和伯努利

答案: p₂ = 231.7 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(75/50)² = 6.75 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 6.75²)/1000 = −18.28 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 250 + (−18.28) = 231.7 kPa

答案

p₂ = 231.7 kPa

4.连续性和伯努利

答案: p₂ = 350.1 kPa

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(75/50)² = 1.125 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 1.125²)/1000 = −0.5078 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·3/1000 = 29.43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 380 + (−0.5078) − 29.43 = 350.1 kPa

答案

p₂ = 350.1 kPa

5.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 48.6 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(300/0.25)·1.8²/(2·9.81) = 4.954 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·4.954 = 48600 Pa = 48.6 kPa

答案

Δp = 48.6 kPa

6.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 161.5 L/s

损失系数

f·L/D = 0.022·200/0.2 = 22

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 + 1.0 = 7.7

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

40 = (22 + 7.7)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·40/29.7) = 5.14 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 5.14·0.03142 = 0.1615 m³/s = 161.5 L/s

答案

Q = 161.5 L/s

7.水泵与泵功率

答案: η = 75.07 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.08·22 = 17.27 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 17.27/23 = 75.07%

答案

η = 75.07%

8.水泵与泵功率

答案: H = 36.56 m

速度

V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s

V²/(2g) = 0.2115 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16 + 8)·0.2115 = 5.077 m

压力水头

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9.81) = 25.48 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 6 + 25.48 + 5.077 = 36.56 m

答案

H = 36.56 m

9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 1.103 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = 1.131 m², R = D/4 = 0.3 m

速度

V = (1/0.013)·0.3^2/3·0.0008^1/2 = 0.975 m/s

流量

Q = A·V = 1.131·0.975 = 1.103 m³/s

答案

Q = 1.103 m³/s

10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.004954 m/m

几何参数

A = (b + z·y)·y = (3.5 + 2·0.6)·0.6 = 2.82 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3.5 + 2·0.6·√(1 + 2²) = 6.183 m

R = A/P = 0.4561 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.012·9.8/(2.82·0.5925) = 0.07038

S = 0.07038² = 0.004954

答案

S = 0.004954

即每千米下降 4.954 m。

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