水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.连续性和伯努利中等

风洞中的皮托静压管测得总压与静压之差为 1300 Pa。空气密度为 1.2 kg/m³。求风速 v。

p₀ − p = 1300 Paρ = 1.2 kg/m³

v = m/s

4.连续性和伯努利困难

一根内径 20 mm 的软管从敞口水箱中虹吸取水。软管的最高点 C 高出水面 2.5 m，出口（通大气）低于水面 5 m。忽略损失，取 g = 9.81 m/s²。求 C 点的绝对压强 p_C。大气压为 101.3 kPa。

d = 20 mmz_C = +2.5 mz₂ = −5 mg = 9.81 m/s²p_atm = 101.3 kPa

p_C = kPa

5.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 2.4 m/s 的速度流过一根长 300 m、内径 50 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.022，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 2.4 m/sL = 300 mD = 50 mmf = 0.022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 150 m、内径 300 mm、达西摩擦系数 f = 0.022 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 5）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 80 L/s？

Q = 80 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1.0

Δz = m

7.水泵与泵功率中等

一台水泵以 70 m 的扬程输送 10 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 70%，驱动它的电动机效率为 94%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 P_el，以 kW 计。

Q = 10 L/sH = 70 mη_pump = 70%η_motor = 94%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 60 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 8 m 的上游水箱。管道长 300 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 70%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 60 L/sΔz = 8 mL = 300 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 5η = 70%

P_shaft = kW

9.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形抹面混凝土渠道底宽 3.5 m，边坡 2:1（水平:竖直）。水以 1.3 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.012，底坡 S = 0.0015。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 3.5 my = 1.3 mz = 2n = 0.012S = 0.0015

Q = m³/s

10.明渠流（曼宁公式）困难

一根内径 375 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 0.9 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。

D = 375 mmn = 0.013V = 0.9 m/s

S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 69.9 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.75·1.5 = 69.9 kN

答案

F = 69.9 kN

2.静水压力

答案: y_cp = 3.25 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3·4.5 = 135.7 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·3³/12 = 3.375 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 3.375/(3·4.5) = 3.25 m

答案

y_cp = 3.25 m

3.连续性和伯努利

答案: v = 46.55 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

到驻点的伯努利方程

流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·1300/1.2) = 46.55 m/s

答案

v = 46.55 m/s

4.连续性和伯努利

答案: p_C = 27.72 kPa

软管中的流速

液面和出口都通大气，所以压强项相互抵消。

v = √(2g·5) = √(2·9.81·5) = 9.905 m/s

从液面到 C 的伯努利方程

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101.3 − 1000·(9.905²/2 + 9.81·2.5)/1000 = 101.3 − 73.58 = 27.72 kPa

答案

p_C = 27.72 kPa

如果该压强降到水的饱和蒸汽压，虹吸就会停止工作。

5.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 380.2 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(300/0.05)·2.4²/(2·9.81) = 38.75 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·38.75 = 380160 Pa = 380.2 kPa

答案

Δp = 380.2 kPa

6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 1.182 m

速度

V = Q/A = 0.08/0.07069 = 1.132 m/s

V²/(2g) = 0.06529 m

损失系数

f·L/D = 0.022·150/0.3 = 11

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 + 1.0 = 7.1

总水头损失

h_f = 11·0.06529 = 0.7181 m

h_m = 7.1·0.06529 = 0.4635 m

Δz = h_f + h_m = 1.182 m

答案

Δz = 1.182 m

7.水泵与泵功率

答案: P_el = 10.44 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·70 = 6.867 kW

轴功率

P_shaft = 6.867/0.7 = 9.81 kW

电功率

P_el = 9.81/0.94 = 10.44 kW

答案

P_el = 10.44 kW

8.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 11.03 kW

速度

V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22.5 + 5)·0.1859 = 5.113 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 8 + 5.113 = 13.11 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.06·13.11/0.7 = 11.03 kW

答案

P_shaft = 11.03 kW

9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 22.99 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (3.5 + 2·1.3)·1.3 = 7.93 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3.5 + 2·1.3·√(1 + 2²) = 9.314 m

R = A/P = 0.8514 m

速度

V = (1/0.012)·0.8514^2/3·0.0015^1/2 = 2.899 m/s

流量

Q = A·V = 7.93·2.899 = 22.99 m³/s

答案

Q = 22.99 m³/s

10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.003214 m/m

水力半径

R = D/4 = 0.375/4 = 0.09375 m

由曼宁公式解 S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.9/0.2064)² = 0.003214

答案

S = 0.003214

即每千米下降 3.214 m。

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