水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 0.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 40 mm。宽段压强为 220 kPa，流速为 2.25 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 220 kPav₁ = 2.25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 40 mm，同时升高 9 m。截面 1 处压强为 330 kPa，流速为 1 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 330 kPav₁ = 1 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 40 L/s 的流量流过一根长 200 m、内径 150 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.028，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

Q = 40 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0.028g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 150 m、内径 150 mm、达西摩擦系数 f = 0.015 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 18 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 0.2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 18 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 0.2K_exit = 1.0

Q = L/s

7.水泵与泵功率中等

一台水泵以 46 m 的扬程输送 30 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 75%，驱动它的电动机效率为 92%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 P_el，以 kW 计。

Q = 30 L/sH = 46 mη_pump = 75%η_motor = 92%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 9 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.025；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 50 L/sΔz = 9 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.025ΣK = 6

H = m

9.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形未抹面混凝土渠道底宽 5.5 m，边坡 1:1（水平:竖直）。水以 1 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.014，底坡 S = 0.0008。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 5.5 my = 1 mz = 1n = 0.014S = 0.0008

Q = m³/s

10.明渠流（曼宁公式）困难

一条底宽 3 m、边坡 1.5:1（水平:竖直）的梯形植草土渠渠道须以 1 m 的水深均匀输送 2.6 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.03。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 2.6 m³/sb = 3 my = 1 mz = 1.5n = 0.03

S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 110.4 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·5 = 110.4 kN

答案

F = 110.4 kN

2.静水压力

答案: y_cp = 2.375 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·4.5 = 88.29 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·3³/12 = 3.375 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2 + 3.375/(2·4.5) = 2.375 m

答案

y_cp = 2.375 m

3.连续性和伯努利

答案: p₂ = 191.2 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.25·(75/40)² = 7.91 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.25² − 7.91²)/1000 = −28.75 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 220 + (−28.75) = 191.2 kPa

答案

p₂ = 191.2 kPa

4.连续性和伯努利

答案: p₂ = 222.7 kPa

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(100/40)² = 6.25 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 6.25²)/1000 = −19.03 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·9/1000 = 88.29 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 330 + (−19.03) − 88.29 = 222.7 kPa

答案

p₂ = 222.7 kPa

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 9.749 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.15²/4 = 0.01767 m²

V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s

速度水头

V²/(2g) = 2.264²/(2·9.81) = 0.2611 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(200/0.15)·2.264²/(2·9.81) = 9.749 m

答案

h_f = 9.749 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 79.16 L/s

损失系数

f·L/D = 0.015·150/0.15 = 15

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.6

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

18 = (15 + 2.6)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·18/17.6) = 4.479 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 4.479·0.01767 = 0.07916 m³/s = 79.16 L/s

答案

Q = 79.16 L/s

7.水泵与泵功率

答案: P_el = 19.62 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·46 = 13.54 kW

轴功率

P_shaft = 13.54/0.75 = 18.05 kW

电功率

P_el = 18.05/0.92 = 19.62 kW

答案

P_el = 19.62 kW

8.水泵与泵功率

答案: H = 12.2 m

速度

V = Q/A = 0.05/0.03142 = 1.592 m/s

V²/(2g) = 0.1291 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18.75 + 6)·0.1291 = 3.195 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + h_L = 9 + 3.195 = 12.2 m

答案

H = 12.2 m

9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 11.13 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (5.5 + 1·1)·1 = 6.5 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5.5 + 2·1·√(1 + 1²) = 8.328 m

R = A/P = 0.7805 m

速度

V = (1/0.014)·0.7805^2/3·0.0008^1/2 = 1.713 m/s

流量

Q = A·V = 6.5·1.713 = 11.13 m³/s

答案

Q = 11.13 m³/s

10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.0005012 m/m

几何参数

A = (b + z·y)·y = (3 + 1.5·1)·1 = 4.5 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1·√(1 + 1.5²) = 6.606 m

R = A/P = 0.6812 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.03·2.6/(4.5·0.7742) = 0.02239

S = 0.02239² = 0.0005012

答案

S = 0.0005012

即每千米下降 0.5012 m。

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