水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

3.连续性和伯努利中等

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 100 mm，喉部直径 60 mm。入口处的压强比喉部高 19 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d₁ = 100 mmd₂ = 60 mmp₁ − p₂ = 19 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.连续性和伯努利困难

一个水平文丘里流量计（入口 100 mm，喉部 50 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 90 mm。流量系数为 0.96。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmΔh = 90 mmC_d = 0.96ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 5 L/s 的流量流过一根长 200 m、内径 100 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.028，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

Q = 5 L/sL = 200 mD = 100 mmf = 0.028g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 150 m、内径 150 mm、达西摩擦系数 f = 0.018 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 34 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 5）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 34 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1.0

Q = L/s

7.水泵与泵功率中等

一台效率为 85% 的水泵以 66 m 的扬程输送 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 20 L/sH = 66 mη = 85%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 100 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 9 m 的上游水箱。管道长 300 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.025；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 100 L/sΔz = 9 mL = 300 mD = 250 mmf = 0.025ΣK = 5

H = m

9.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形未抹面混凝土渠道底宽 3 m，边坡 2:1（水平:竖直）。水以 2.2 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.014，底坡 S = 0.003。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 3 my = 2.2 mz = 2n = 0.014S = 0.003

Q = m³/s

10.明渠流（曼宁公式）困难

一条底宽 3 m、边坡 1:1（水平:竖直）的梯形砖砌渠道须以 0.6 m 的水深均匀输送 4.7 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.015。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 4.7 m³/sb = 3 my = 0.6 mz = 1n = 0.015

S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 176.6 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·6 = 176.6 kN

答案

F = 176.6 kN

2.静水压力

答案: F = 155.4 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·4·4.5 = 155.4 kN

答案

F = 155.4 kN

3.连续性和伯努利

答案: Q = 18.68 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v₁ = v₂·(60/100)² = 0.36·v₂

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·19000/(1000·(1 − 0.1296))) = 6.607 m/s

v₁ = 2.379 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.002827·6.607 = 0.01868 m³/s = 18.68 L/s

答案

Q = 18.68 L/s

4.连续性和伯努利

答案: Q = 9.183 L/s

由压差计求压强差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.09 = 11125 Pa

喉部流速

连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。

β = 50/100 = 0.5

v₂ = √(2·11125/(1000·(1 − 0.0625))) = 4.872 m/s

实际流量

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.96·0.001963·4.872 = 0.009183 m³/s = 9.183 L/s

答案

Q = 9.183 L/s

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 1.157 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.1²/4 = 0.007854 m²

V = Q/A = 0.005/0.007854 = 0.6366 m/s

速度水头

V²/(2g) = 0.6366²/(2·9.81) = 0.02066 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(200/0.1)·0.6366²/(2·9.81) = 1.157 m

答案

h_f = 1.157 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 91.1 L/s

损失系数

f·L/D = 0.018·150/0.15 = 18

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 + 1.0 = 7.1

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

34 = (18 + 7.1)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·34/25.1) = 5.155 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 5.155·0.01767 = 0.0911 m³/s = 91.1 L/s

答案

Q = 91.1 L/s

7.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 15.23 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·66 = 12.95 kW

轴功率

P_shaft = P_h/η = 12.95/0.85 = 15.23 kW

答案

P_shaft = 15.23 kW

8.水泵与泵功率

答案: H = 16.4 m

速度

V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s

V²/(2g) = 0.2115 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 5)·0.2115 = 7.403 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + h_L = 9 + 7.403 = 16.4 m

答案

H = 16.4 m

9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 74.62 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (3 + 2·2.2)·2.2 = 16.28 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·2.2·√(1 + 2²) = 12.84 m

R = A/P = 1.268 m

速度

V = (1/0.014)·1.268^2/3·0.003^1/2 = 4.583 m/s

流量

Q = A·V = 16.28·4.583 = 74.62 m³/s

答案

Q = 74.62 m³/s

10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.003001 m/m

几何参数

A = (b + z·y)·y = (3 + 1·0.6)·0.6 = 2.16 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·0.6·√(1 + 1²) = 4.697 m

R = A/P = 0.4599 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.015·4.7/(2.16·0.5958) = 0.05478

S = 0.05478² = 0.003001

答案

S = 0.003001

即每千米下降 3.001 m。

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