水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.连续性和伯努利中等

水以 8 L/s 流过一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 50 mm。窄段的压强为 100 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p₁。

Q = 8 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₂ = 100 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.连续性和伯努利困难

一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 30 kPa。水从水面以下 3 m 处直径 40 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求射流速度 v。取 g = 9.81 m/s²。

p_air = 30 kPa (表压)h = 3 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

v = m/s

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 15 L/s 的流量流过一根长 500 m、内径 100 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.025，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

Q = 15 L/sL = 500 mD = 100 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 150 m、内径 300 mm、达西摩擦系数 f = 0.018 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 0.2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 75 L/s？

Q = 75 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 0.2K_exit = 1.0

Δz = m

7.水泵与泵功率中等

一台水泵以 64 m 的扬程输送 25 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 60%，驱动它的电动机效率为 94%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 P_el，以 kW 计。

Q = 25 L/sH = 64 mη_pump = 60%η_motor = 94%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 38 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 75%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 50 L/sΔz = 38 mL = 100 mD = 150 mmf = 0.018ΣK = 6η = 75%

P_shaft = kW

9.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形清洁土渠渠道底宽 5 m，边坡 3:1（水平:竖直）。水以 0.6 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.022，底坡 S = 0.004。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 5 my = 0.6 mz = 3n = 0.022S = 0.004

Q = m³/s

10.明渠流（曼宁公式）困难

一根内径 300 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 0.75 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。

D = 300 mmn = 0.013V = 0.75 m/s

S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 64.38 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·3.75 = 64.38 kN

答案

F = 64.38 kN

2.静水压力

答案: y_cp = 2.939 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2.75·2.5 = 59.35 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1·2.5³/12 = 1.302 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.75 + 1.302/(2.75·2.5) = 2.939 m

答案

y_cp = 2.939 m

3.连续性和伯努利

答案: p₁ = 107.8 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.008/0.007854 = 1.019 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.008/0.001963 = 4.074 m/s

伯努利方程

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 100 + ½·1000·(4.074² − 1.019²)/1000 = 100 + 7.781 = 107.8 kPa

答案

p₁ = 107.8 kPa

4.连续性和伯努利

答案: v = 10.9 m/s

从液面到射流的伯努利方程

v = √(2·(30000/1000 + 9.81·3)) = 10.9 m/s

答案

v = 10.9 m/s

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 23.24 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.1²/4 = 0.007854 m²

V = Q/A = 0.015/0.007854 = 1.91 m/s

速度水头

V²/(2g) = 1.91²/(2·9.81) = 0.1859 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(500/0.1)·1.91²/(2·9.81) = 23.24 m

答案

h_f = 23.24 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 0.6656 m

速度

V = Q/A = 0.075/0.07069 = 1.061 m/s

V²/(2g) = 0.05738 m

损失系数

f·L/D = 0.018·150/0.3 = 9

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.6

总水头损失

h_f = 9·0.05738 = 0.5164 m

h_m = 2.6·0.05738 = 0.1492 m

Δz = h_f + h_m = 0.6656 m

答案

Δz = 0.6656 m

7.水泵与泵功率

答案: P_el = 27.83 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.025·64 = 15.7 kW

轴功率

P_shaft = 15.7/0.6 = 26.16 kW

电功率

P_el = 26.16/0.94 = 27.83 kW

答案

P_el = 27.83 kW

8.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 29.66 kW

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 6)·0.408 = 7.345 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 38 + 7.345 = 45.34 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.05·45.34/0.75 = 29.66 kW

答案

P_shaft = 29.66 kW

9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 7.029 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (5 + 3·0.6)·0.6 = 4.08 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·0.6·√(1 + 3²) = 8.795 m

R = A/P = 0.4639 m

速度

V = (1/0.022)·0.4639^2/3·0.004^1/2 = 1.723 m/s

流量

Q = A·V = 4.08·1.723 = 7.029 m³/s

答案

Q = 7.029 m³/s

10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.003006 m/m

水力半径

R = D/4 = 0.3/4 = 0.075 m

由曼宁公式解 S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.75/0.1778)² = 0.003006

答案

S = 0.003006

即每千米下降 3.006 m。

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