水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

3.连续性和伯努利中等

水从一个大型敞口水箱经直径 40 mm 的锐缘孔口流出。水位保持在孔口以上 3 m，流量系数为 0.64。求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

d = 40 mmh = 3 mC_d = 0.64g = 9.81 m/s²

Q = L/s

4.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 150 mm 缩小到 50 mm，同时升高 3 m。截面 1 处压强为 310 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 150 mmd₂ = 50 mmp₁ = 310 kPav₁ = 0.5 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 40 L/s 的流量流过一根长 200 m、内径 150 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.03，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

Q = 40 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 400 m、内径 300 mm、达西摩擦系数 f = 0.022 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 75 L/s？

Q = 75 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1.0

Δz = m

7.水泵与泵功率中等

一台效率为 75% 的水泵以 12 m 的扬程输送 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 20 L/sH = 12 mη = 75%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 75 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 19 m 的上游水箱。管道长 600 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 70%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 75 L/sΔz = 19 mL = 600 mD = 200 mmf = 0.022ΣK = 8η = 70%

P_shaft = kW

9.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形砖砌渠道底宽 4 m，边坡 1:1（水平:竖直）。水以 2.3 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.015，底坡 S = 0.002。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 4 my = 2.3 mz = 1n = 0.015S = 0.002

Q = m³/s

10.明渠流（曼宁公式）困难

一条宽 4 m 的矩形未抹面混凝土渠道须以 1 m 的水深均匀输送 9.8 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.014。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 9.8 m³/sb = 4 my = 1 mn = 0.014

S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 103 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2/2 = 3.5 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·3 = 103 kN

答案

F = 103 kN

2.静水压力

答案: F = 110.4 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.75·3 = 110.4 kN

答案

F = 110.4 kN

3.连续性和伯努利

答案: Q = 6.17 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想射流速度

√(2gh) = √(2·9.81·3) = 7.672 m/s

实际流量

流量系数考虑了射流收缩和孔口边缘处的摩擦。

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.64·0.001257·7.672 = 0.00617 m³/s = 6.17 L/s

答案

Q = 6.17 L/s

4.连续性和伯努利

答案: p₂ = 270.6 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(150/50)² = 4.5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 4.5²)/1000 = −10 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·3/1000 = 29.43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 310 + (−10) − 29.43 = 270.6 kPa

答案

p₂ = 270.6 kPa

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 10.45 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.15²/4 = 0.01767 m²

V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s

速度水头

V²/(2g) = 2.264²/(2·9.81) = 0.2611 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(200/0.15)·2.264²/(2·9.81) = 10.45 m

答案

h_f = 10.45 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 2.412 m

速度

V = Q/A = 0.075/0.07069 = 1.061 m/s

V²/(2g) = 0.05738 m

损失系数

f·L/D = 0.022·400/0.3 = 29.33

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 + 1.0 = 12.7

总水头损失

h_f = 29.33·0.05738 = 1.683 m

h_m = 12.7·0.05738 = 0.7287 m

Δz = h_f + h_m = 2.412 m

答案

Δz = 2.412 m

7.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 3.139 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·12 = 2.354 kW

轴功率

P_shaft = P_h/η = 2.354/0.75 = 3.139 kW

答案

P_shaft = 3.139 kW

8.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 42.56 kW

速度

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s

V²/(2g) = 0.2905 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (66 + 8)·0.2905 = 21.5 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 19 + 21.5 = 40.5 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.075·40.5/0.7 = 42.56 kW

答案

P_shaft = 42.56 kW

9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 53.53 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (4 + 1·2.3)·2.3 = 14.49 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·2.3·√(1 + 1²) = 10.51 m

R = A/P = 1.379 m

速度

V = (1/0.015)·1.379^2/3·0.002^1/2 = 3.694 m/s

流量

Q = A·V = 14.49·3.694 = 53.53 m³/s

答案

Q = 53.53 m³/s

10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.00202 m/m

几何参数

A = b·y = 4·1 = 4 m²

P = b + 2y = 4 + 2·1 = 6 m

R = A/P = 0.6667 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.014·9.8/(4·0.7631) = 0.04495

S = 0.04495² = 0.00202

答案

S = 0.00202

即每千米下降 2.02 m。

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