水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 2.5 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.连续性和伯努利中等

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 300 mm，喉部直径 150 mm。入口处的压强比喉部高 54 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d₁ = 300 mmd₂ = 150 mmp₁ − p₂ = 54 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.连续性和伯努利困难

一根内径 40 mm 的软管从敞口水箱中虹吸取水。软管的最高点 C 高出水面 1.5 m，出口（通大气）低于水面 1 m。忽略损失，取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q。

d = 40 mmz_C = +1.5 mz₂ = −1 mg = 9.81 m/s²

Q = L/s

5.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 2.9 m/s 的速度流过一根长 500 m、内径 200 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.022，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 2.9 m/sL = 500 mD = 200 mmf = 0.022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.管道摩擦与水头损失困难

一根长 100 m、内径 250 mm（达西摩擦系数 f = 0.025）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 0.2）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 100 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 100 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0.025K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 0.2

H = m

7.水泵与泵功率中等

一台水泵以 56 m 的扬程输送 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 72%，驱动它的电动机效率为 95%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 P_el，以 kW 计。

Q = 40 L/sH = 56 mη_pump = 72%η_motor = 95%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 75 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 14 m 的上游水箱。管道长 500 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.025；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 75 L/sΔz = 14 mL = 500 mD = 200 mmf = 0.025ΣK = 6

H = m

9.明渠流（曼宁公式）中等

一根内径 450 mm 的混凝土雨水管刚好满流（作为明渠，不承压）。曼宁 n = 0.013，坡度 S = 0.001。求流量 Q，以 m³/s 计。

D = 450 mmn = 0.013S = 0.001

Q = m³/s

10.明渠流（曼宁公式）困难

一条底宽 1 m、边坡 1:1（水平:竖直）的梯形植草土渠渠道须以 2.5 m 的水深均匀输送 6.9 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.03。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 6.9 m³/sb = 1 my = 2.5 mz = 1n = 0.03

S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 239.1 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·7.5 = 239.1 kN

答案

F = 239.1 kN

2.静水压力

答案: y_cp = 3.595 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2/2 = 3.5 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·3 = 103 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·2³/12 = 1 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.5 + 1/(3.5·3) = 3.595 m

答案

y_cp = 3.595 m

3.连续性和伯努利

答案: Q = 189.7 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v₁ = v₂·(150/300)² = 0.25·v₂

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·54000/(1000·(1 − 0.0625))) = 10.73 m/s

v₁ = 2.683 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.01767·10.73 = 0.1897 m³/s = 189.7 L/s

答案

Q = 189.7 L/s

4.连续性和伯努利

答案: Q = 5.566 L/s

软管中的流速

液面和出口都通大气，所以压强项相互抵消。

v = √(2g·1) = √(2·9.81·1) = 4.429 m/s

流量

Q = A·v = 0.001257·4.429 = 0.005566 m³/s = 5.566 L/s

答案

Q = 5.566 L/s

5.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 231.3 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(500/0.2)·2.9²/(2·9.81) = 23.58 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·23.58 = 231275 Pa = 231.3 kPa

答案

Δp = 231.3 kPa

6.管道摩擦与水头损失

答案: H = 2.602 m

速度

V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s

V²/(2g) = 0.2115 m

损失系数

f·L/D = 0.025·100/0.25 = 10

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 0.2 = 1.3

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 10 + 1.3)·0.2115 = 2.602 m

答案

H = 2.602 m

7.水泵与泵功率

答案: P_el = 32.13 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·56 = 21.97 kW

轴功率

P_shaft = 21.97/0.72 = 30.52 kW

电功率

P_el = 30.52/0.95 = 32.13 kW

答案

P_el = 32.13 kW

8.水泵与泵功率

答案: H = 33.9 m

速度

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s

V²/(2g) = 0.2905 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (62.5 + 6)·0.2905 = 19.9 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + h_L = 14 + 19.9 = 33.9 m

答案

H = 33.9 m

9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 0.09016 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = 0.159 m², R = D/4 = 0.1125 m

速度

V = (1/0.013)·0.1125^2/3·0.001^1/2 = 0.5669 m/s

流量

Q = A·V = 0.159·0.5669 = 0.09016 m³/s

答案

Q = 0.09016 m³/s

10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.0005025 m/m

几何参数

A = (b + z·y)·y = (1 + 1·2.5)·2.5 = 8.75 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·2.5·√(1 + 1²) = 8.071 m

R = A/P = 1.084 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.03·6.9/(8.75·1.055) = 0.02242

S = 0.02242² = 0.0005025

答案

S = 0.0005025

即每千米下降 0.5025 m。

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