水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

3.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 200 mm 缩小到 75 mm。宽段压强为 290 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 200 mmd₂ = 75 mmp₁ = 290 kPav₁ = 0.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.连续性和伯努利困难

一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 90 kPa。水从水面以下 2.5 m 处直径 40 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

p_air = 90 kPa (表压)h = 2.5 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 1.2 m/s 的平均流速流过一根长 400 m、内径 50 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.03，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

V = 1.2 m/sL = 400 mD = 50 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 200 m、内径 150 mm、达西摩擦系数 f = 0.02 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 60 L/s？

Q = 60 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1.0

Δz = m

7.水泵与泵功率中等

一台水泵以 20 m 的扬程输送 15 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 80%，驱动它的电动机效率为 94%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 P_el，以 kW 计。

Q = 15 L/sH = 20 mη_pump = 80%η_motor = 94%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 60 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 18 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.025；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 72%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 60 L/sΔz = 18 mL = 100 mD = 200 mmf = 0.025ΣK = 6η = 72%

P_shaft = kW

9.明渠流（曼宁公式）中等

一条矩形砖砌渠道宽 6 m。水以 1.7 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.015，底坡 S = 0.0015。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 6 my = 1.7 mn = 0.015S = 0.0015

Q = m³/s

10.明渠流（曼宁公式）困难

一条宽 1 m 的矩形植草土渠渠道须以 2.3 m 的水深均匀输送 1.2 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.03。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 1.2 m³/sb = 1 my = 2.3 mn = 0.03

S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 193.1 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 2.5/2 = 5.25 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5.25·3.75 = 193.1 kN

答案

F = 193.1 kN

2.静水压力

答案: F = 220.7 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·9 = 220.7 kN

答案

F = 220.7 kN

3.连续性和伯努利

答案: p₂ = 283.8 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(200/75)² = 3.556 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 3.556²)/1000 = −6.196 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 290 + (−6.196) = 283.8 kPa

答案

p₂ = 283.8 kPa

4.连续性和伯努利

答案: Q = 19.02 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

从液面到射流的伯努利方程

v = √(2·(90000/1000 + 9.81·2.5)) = 15.13 m/s

流量

Q = A·v = 0.001257·15.13 = 0.01902 m³/s = 19.02 L/s

答案

Q = 19.02 L/s

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 17.61 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 1.2²/(2·9.81) = 0.07339 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(400/0.05)·1.2²/(2·9.81) = 17.61 m

答案

h_f = 17.61 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 22.95 m

速度

V = Q/A = 0.06/0.01767 = 3.395 m/s

V²/(2g) = 0.5876 m

损失系数

f·L/D = 0.02·200/0.15 = 26.67

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 + 1.0 = 12.4

总水头损失

h_f = 26.67·0.5876 = 15.67 m

h_m = 12.4·0.5876 = 7.286 m

Δz = h_f + h_m = 22.95 m

答案

Δz = 22.95 m

7.水泵与泵功率

答案: P_el = 3.914 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·20 = 2.943 kW

轴功率

P_shaft = 2.943/0.8 = 3.679 kW

电功率

P_el = 3.679/0.94 = 3.914 kW

答案

P_el = 3.914 kW

8.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 17.53 kW

速度

V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12.5 + 6)·0.1859 = 3.439 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 18 + 3.439 = 21.44 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.06·21.44/0.72 = 17.53 kW

答案

P_shaft = 17.53 kW

9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 27.81 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = b·y = 6·1.7 = 10.2 m²

P = b + 2y = 6 + 2·1.7 = 9.4 m

R = A/P = 1.085 m

速度

V = (1/0.015)·1.085^2/3·0.0015^1/2 = 2.726 m/s

流量

Q = A·V = 10.2·2.726 = 27.81 m³/s

答案

Q = 27.81 m³/s

10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.0008025 m/m

几何参数

A = b·y = 1·2.3 = 2.3 m²

P = b + 2y = 1 + 2·2.3 = 5.6 m

R = A/P = 0.4107 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.03·1.2/(2.3·0.5525) = 0.02833

S = 0.02833² = 0.0008025

答案

S = 0.0008025

即每千米下降 0.8025 m。

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