水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 0.5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 200 mm 缩小到 100 mm。宽段压强为 320 kPa，流速为 1 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 320 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.连续性和伯努利困难

一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 100 kPa。水从水面以下 4 m 处直径 20 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求射流速度 v。取 g = 9.81 m/s²。

p_air = 100 kPa (表压)h = 4 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

v = m/s

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 5 L/s 的流量流过一根长 500 m、内径 50 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.022，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

Q = 5 L/sL = 500 mD = 50 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

一根长 100 m、内径 250 mm（达西摩擦系数 f = 0.022）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 5）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 50 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 50 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 5

H = m

7.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 78 m 的扬程输送 30 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 38.3 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 30 L/sH = 78 mP_shaft = 38.3 kWg = 9.81 m/s²

η = %

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 60 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 14 m 的上游水箱。管道长 500 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.025；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 75%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 60 L/sΔz = 14 mL = 500 mD = 200 mmf = 0.025ΣK = 8η = 75%

P_shaft = kW

9.明渠流（曼宁公式）中等

一条矩形抹面混凝土渠道宽 3 m。水以 1.4 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.012，底坡 S = 0.005。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 3 my = 1.4 mn = 0.012S = 0.005

Q = m³/s

10.明渠流（曼宁公式）困难

一条宽 4 m 的矩形清洁土渠渠道须以 1.1 m 的水深均匀输送 4.5 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.022。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 4.5 m³/sb = 4 my = 1.1 mn = 0.022

S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 137.3 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2/2 = 3.5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·4 = 137.3 kN

答案

F = 137.3 kN

2.静水压力

答案: y_cp = 1.083 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·1·1 = 10.06 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0.08333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1 + 0.08333/(1·1) = 1.083 m

答案

y_cp = 1.083 m

3.连续性和伯努利

答案: p₂ = 312.5 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(200/100)² = 4 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 4²)/1000 = −7.5 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 320 + (−7.5) = 312.5 kPa

答案

p₂ = 312.5 kPa

4.连续性和伯努利

答案: v = 16.69 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

从液面到射流的伯努利方程

v = √(2·(100000/1000 + 9.81·4)) = 16.69 m/s

答案

v = 16.69 m/s

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 72.71 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.05²/4 = 0.001963 m²

V = Q/A = 0.005/0.001963 = 2.546 m/s

速度水头

V²/(2g) = 2.546²/(2·9.81) = 0.3305 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(500/0.05)·2.546²/(2·9.81) = 72.71 m

答案

h_f = 72.71 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: H = 0.8408 m

速度

V = Q/A = 0.05/0.04909 = 1.019 m/s

V²/(2g) = 0.05288 m

损失系数

f·L/D = 0.022·100/0.25 = 8.8

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 = 6.1

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 8.8 + 6.1)·0.05288 = 0.8408 m

答案

H = 0.8408 m

7.水泵与泵功率

答案: η = 59.94 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·78 = 22.96 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 22.96/38.3 = 59.94%

答案

η = 59.94%

8.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 21.27 kW

速度

V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (62.5 + 8)·0.1859 = 13.11 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 14 + 13.11 = 27.11 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.06·27.11/0.75 = 21.27 kW

答案

P_shaft = 21.27 kW

9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 19.96 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = b·y = 3·1.4 = 4.2 m²

P = b + 2y = 3 + 2·1.4 = 5.8 m

R = A/P = 0.7241 m

速度

V = (1/0.012)·0.7241^2/3·0.005^1/2 = 4.752 m/s

流量

Q = A·V = 4.2·4.752 = 19.96 m³/s

答案

Q = 19.96 m³/s

10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.0007997 m/m

几何参数

A = b·y = 4·1.1 = 4.4 m²

P = b + 2y = 4 + 2·1.1 = 6.2 m

R = A/P = 0.7097 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.022·4.5/(4.4·0.7956) = 0.02828

S = 0.02828² = 0.0007997

答案

S = 0.0007997

即每千米下降 0.7997 m。

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